Esame di Statistica A-Di Prof. M. Romanazzi

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1 1 Università di Venezia Esame di Statistica A-Di Prof. M. Romanazzi 12 Giugno 2015 Cognome e Nome N. Matricola Valutazione Il punteggio massimo teorico di questa prova è 30/30 e lode (4/30 per ciascuno degli 8 esercizi). La prova è sufficiente se il punteggio è maggiore o uguale a 18/30. L esame è individuale. Non è consentito consultare libri o appunti di qualsiasi genere. È ammesso l uso della calcolatrice tascabile e del personal computer. Prova orale. La prova orale è obbligatoria se il voto è 18 o superiore a 28. Negli altri casi è a richiesta dello studente. Motivo di esclusione. Durante l esame è vietato l uso di telefoni cellulari o strumenti assimilabili.

2 2 1. Domenica si corre il gran premio di M*** e Francesco vuol calcolare la probabilità che vinca Axel, il suo pilota preferito. Se non piove, la probabilità di vittoria è Se invece piove, la probabilità di vittoria è 0.4. Il servizio meteorologico prevede pioggia domenica con probabilità 0.6. Domanda 1 Qual è la probabilità che domenica prossima vinca Axel? Domanda 2 Domenica Francesco festeggia perchè Axel ha vinto. Come valuti la probabilità che domenica sia piovuto, alla luce di tale informazione? 2. La variabile aleatoria discreta X assume i valori 0, 1, x 0 con probabilità positive rispettivamente uguali a 0.5, 0.3 e p 0 mentre la probabilità di altri valori è nulla. Sappiamo che E(X) = 0.8. Domanda 1 Ricava p 0 e x 0. p 0 = x 0 = Domanda 2 Calcola la varianza di X e di X 1. V ar(x) = V ar(x 1) = 3. Il voto di Diritto, indicato con X (trentesimi), è una variabile aleatoria normalmente distribuita con media µ X = 23 e deviazione standard σ X = 2. Domanda 1 Calcola la probabilità p che il voto di uno studente casualmente scelto sia inferiore a 21. Qual è il voto x 0 superato dal 70% dei partecipanti all esame? p = x 0 = Domanda 2 Il voto di Informatica, indicato con Y (trentesimi), si distribuisce anch esso in modo normale, con parametri µ Y = 26, σ Y = 3. Il voto di Diritto e il voto di Informatica sono stocasticamente indipendenti. Qual è la probabilità p che uno studente scelto a caso abbia il voto di Diritto più alto del voto di Informatica? p = 0 p < 0.25 p = 0.5 p > 0.75 p = 1 p = 4. Un oleificio effettua un controllo per campione della qualità del prodotto. Una bottiglia casualmente scelta ha una probabilità p A = 0.02, ritenuta fisiologica, di essere difettosa. Domanda 1 Considera un campione di n = 10 bottiglie scelte a caso da una partita di N n bottiglie. Qual è la probabilità p 0 che nessuna bottiglia sia trovata difettosa e qual è la probabilità p 1 che 2 o più bottiglie siano trovate difettose? p 0 = p 1 =

3 3 Domanda 2 In un campione di 40 bottiglie scelte a caso, 5 sono difettose. Questo risultato rientra nello standard di qualità della ditta? Giustifica accuratamente. No, non rientra perchè Sì, rientra perchè Altro (specificare): 5. Una variabile X ha media µ = 10 e deviazione standard σ = 4. Da essa estraiamo a caso e con reinserimento n dati X 1,..., X n e consideriamo le trasformazioni T n = n i=1 X i e X n = T n /n. Domanda 1 Quali valori deve assumere n se vogliamo che SE( X n ) < 0.5? Domanda 2 Considera l evento E n : 9 < X n < 11. Valuta P (E n ) assumendo n = 100. Qual è il valore limite, per n di P (E n )? Se n = 100, P (E n ) lim n P (E n ) = 6. La Figura 1 mostra il diagramma scatola-baffi dei voti di Statistica nell ultimo appello, separatamente per femmine (n F = 57) e maschi (n M = 55). Domanda 1 Ricava dal diagramma, approssimativamente, il voto minimo, il voto massimo e i quartili, per le femmine. x Min = x 0.25 = x 0.5 = x 0.75 = x Max = Domanda 2 Qual è la tipologia distributiva suggerita dal diagramma, per le femmine? Usa le seguenti caratteristiche: simmetria / asimmetria negativa o positiva, uniforme, normale, con dati sparsi. Confronta inoltre la distribuzione delle femmine con quella dei maschi, evidenziando le eventuali differenze. Tipologia distributiva: Confronto: 7. Si dà spesso per scontato che la percentuale di promossi nell esame di Statistica, indicata con p A, non superi il 50%. Vogliamo confrontare questa teoria con i risultati dell ultimo appello. A tale scopo consideriamo il sistema d ipotesi H 0 : p A 0.5, H 1 : p A > 0.5 (livello di significatività α = 0.05). Sono stati valutati 112 studenti e i promossi sono risultati 67. Domanda 1 Descrivi la regione di rigetto di H 0 e riporta il valore osservato della statistica test. Regione di rigetto di H 0 : Valore osservato statistica test:

4 4 Esame di Statistica 25/5/2015 Voto (trentesimi) Femmine Maschi Figura 1: Diagramma scatola-baffi. Domanda 2 H 0 è rigettata? Completa l analisi calcolando il valore p. No, H 0 non è rigettata Sì, H 0 è rigettata Valore p: 8. È noto che la frazione di anziani nella popolazione italiana è elevata, ma qual è la relazione tra maschi e femmine? In un campione casuale di n = 25 comuni del Veneto abbiamo rilevato le variabili X : % di anziani tra i residenti di sesso femminile, Y : % di anziani tra i residenti di sesso maschile (fonte: ISTAT, censimento 2011). Le statistiche riassuntive sono risultate n i=1 x i = , n i=1 y i = , n i=1 x2 i = , n i=1 y2 i = Domanda 1 Ricava gli intervalli di confidenza per µ X e µ Y, le medie delle variabili nella popolazione di tutti i comuni veneti (livello di confidenza 1 α = 0.95). Alla luce dei risultati, si può ritenere µ Y < µ X?

5 5 IC per µ X : IC per µ Y : Falso, perchè Vero, perchè Altro (specificare) Domanda 2 La Figura 2 mostra il diagramma di dispersione dei dati campionari (pallini neri) insieme col centroide della distribuzione (asterisco). Sono anche rappresentate quattro rette A, B, C, D. Quale valore assume il coefficiente di correlazione lineare r X,Y? Qual è la retta dei minimi quadrati ŷ = a + bx? Giustifica accuratamente entrambe le risposte. Campione di comuni del Veneto Popolazione anziana (maschi, %) * A B C D Popolazione anziana (femmine, %) Censimento 2011 Figura 2: Diagramma di dispersione. r X,Y = 1 1 < r X,Y < 0 r X,Y = 0 0 < r X,Y < 1 r X,Y = 1 Altro (specificare) La retta dei minimi quadrati è (scegli tra A, B, C, D): Giustificazione: