MATEMATICA Laurea Triennale in Scienze Geologiche Prof. Giuseppe Maria COCLITE anno accademico 2013/2014

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1 MATEMATICA Laurea Triennale in Scienze Geologiche Prof. Giuseppe Maria COCLITE anno accademico 2013/2014 Preliminari. I numeri razionali e irrazionali. Irrazionalità di 2. Densità di Q in R. Classi separate. Completezza di R ). Intervalli. Funzioni pari, funzioni dispari, funzioni periodiche. Restrizioni, prolungamenti. Funzioni iniettive, funzioni invertibili. Funzione inversa. Funzione composta. Funzioni monotone. Monotonia e invertibilità. Esistenza e unicità della radice n-esima. Le funzioni elementari: valore assoluto, segno, parte intera, potenze, logaritmi, trigonometriche, trigonometriche inverse. Le diseguaglianze: sin x x tan x, x < π/2. Minimo e massimo di un insieme. Minoranti e maggioranti. Insiemi limitati e insiemi non limitati (inferiormente, superiormente)., +. Esistenza del minimo (risp. massimo) dei maggioranti (risp. minoranti) di un insieme limitato superiormente (risp. inferiormente) (*). Estremo inferiore, estremo superiore. Proprietà caratteristiche dell estremo inferiore e dell estremo superiore. Il numero di Neper. Minimi, massimi, minoranti, maggioranti, estremi di una funzione. Funzione limitata e funzione non limitata (inferiormente, superiormente). Capitolo P (P.1, Valore assoluto e diseguaglianze: 7,..., 42); (P.4, Funzioni e grafici elementari: 1,..., 6, 23,..., 34); (P.5, Funzioni composte: 11,..., 16, 25, 26, 27); (P.6, Polinomi e funzioni razionali: 1,..., 10, 13,..., 16); (P.7, Richiami di trigonometria: 1,..., 49). (3.1, Funzioni iniettive e invertibilità: 1,...,12); (3.2, Funzioni esponenziali e logaritmiche: 1,..., 18, 29, 30); (3.3, Funzioni esponenziali e logaritmiche in base e: 1,...,18); (3.5, Funzioni trigonometriche inverse: 1,...,18) Limiti di successioni. Insieme ampliato dei numeri reali: R. Forme indeterminate. Intorni in R. Limite di una successione. Unicità del limite (*). Limitatezza delle successioni convergenti (*). Non limitatezza delle successioni divergenti (*). Limite di una combinazione lineare, prodotto e quoziente di successioni. Teorema della permanenza del segno (*). Teoremi di confronto (*). Teorema della convergenza obbligata o dei carabinieri (*). Criteri di divergenza (*). Limite del prodotto di una successione infinitesima e di una limitata (*). Limite della somma di una successione divergente e di una limitata (*). Regolartà delle successioni monotone (*). Il 1

2 2 numero di Neper come limite di una successione. Alcuni limiti notevoli. Confronto d infiniti e d infinitesimi. Capitolo 9 (9.1, Limiti di successioni: 1,..., 12, 14,..., 29). Limiti di funzioni. Limite di una funzione reale. Unicità del limite. Limite da sinistra e limite da destra. Relazione fra limiti unilateri e bilateri. Limite di una combinazione lineare, prodotto e quoziente di funzioni. Teorema della permanenza del segno. Teoremi di confronto. Teorema della convergenza obbligata o dei carabinieri. Criteri di divergenza. Limite del prodotto di una funzione infinitesima e di una limitata. Limite della somma di una funzione divergente e di una limitata. Limiti notevoli. Confronto di infinitesimi e di infiniti. Funzioni continue. Funzioni continue. Continuità delle funzioni composte, combinazioni lineari, prodotto e quoziente di funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Discontinuità di I, II specie ed eliminabili. Prolungamenti continui. Teorema degli zeri e metodo di bisezione per il calcolo delle radici di una equazione. Teorema dei valori intermedi (*). Teorema di Weierstrass. Capitolo 1 (1.2, Limiti di funzioni: 7,...,36, 49,..., 56, 59, 60); (1.3, Limiti di funzioni: 1,...,33); (1.4, Limiti di funzioni: 11,...,20, 27,..., 30); (1.Riassunto, Limiti di funzioni: 5,...,28). (3.4, Limiti coinvolgenti le funzioni esponenziali e logarirtiche: 1,...,8); (4.9, Limiti coinvolgenti le funzioni trigonometriche: 1,...,13) Calcolo differenziale. Derivate. Funzioni differenziabili. Retta tangente in un punto al grafico di una funzione. Continuità delle funzioni differenziabili (*). Derivata di una combinazione lineare, di un prodotto, di un rapporto di funzioni differenziabili. Derivata di una funzione composta di funzioni differenziabili e di una funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. Estremi relativi e punti di estremo relativo per una funzione. Punti stazionari. Teorema di Fermat (*). Teorema di Rolle (*). Teorema di Lagrange o di interpolazione costante (*). Caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo (*). Criteri di monotonia. Metodi per la

3 ricerca dei punti di estremo relativo. Teorema di interpolazione lineare (*). Funzioni convesse e funzioni concave. Punti di flesso. Criteri di convessità in un intervallo (*). Metodi per la ricerca dei punti di flesso. Caratterizzazione delle funzioni lineari. Asintoti. Diagramma qualitativo di una funzione. Teoremi di De l Hopital. Teorema e applicazioni della formula di Taylor. Capitolo 2 (2.1, Calcolo di rette tangenti: 1,..., 10, 13,..., 18); (2.2, Sulla definizione di derivata: 11,..., 38); (2.3, Calcolo di derivate: 1,..., 30); (2.4, Derivate di funzioni composte: 1,..., 16); (2.5, Derivate di funzioni trigonometriche: 3,..., 34); (2.6, Teorema di Lagrange e Teoremi di monotonia: 1,..., 4, 8,..., 15) (3.3, Derivate di funzioni esponenziali e logaritmiche: 19,...,48); (3.5, Derivate delle funzioni trigonometriche inverse: 19,...,30) (4.2, Estremi di una funzione: 1,...,44); (4.3, Concavità: 1,...,35); (4.4, Diagrammi qualitativi di funzioni: 7,...,39); (4.7, Linearizzazione: 1,...,10,15,...,22); (4.8, Applicazioni del Teorema di Taylor: 1,...,26); (4.9, Applicazioni del Teorema di De l Hopital: 14,...,26) 3 Calcolo integrale. Misura di rettangoloidi. Partizioni di un intervallo. Somme integrali. Separatezza delle classi delle somme integrali inferiore e delle somme integrali superiore. Funzioni integrabili secondo Riemann. Criterio di integrabilità. Integrabilità delle funzioni generalmente continue. Integrabilità delle funzioni monotone (*). Integrale definito. Teoremi della media (*). Additività e linearità dell integrale definito. Confronto di integrali (*). Definizione e differenziabilità della funzione integrale ed esistenza delle primitive di una funzione continua in un intervallo (*). Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale (*). Primitive e loro proprità in un intervallo. Integrale indefinito. Integrazione definita e indefinita per decomposizione in somma, per parti, per sostituzione. Formula di Hermit. Calcolo di aree. Integrazione di funzioni non limitate. Integrazione su intervalli non limitati. Criteri di integrabilità per confronto di funzioni positive. Confronto asintotico. Funzioni assolutamente integrabili. Capitolo 5

4 4 (5.3, Somme integrali: 1,...,6); (5.4, Calcolo di integrali mediante il calcolo di aree: 3,...,38); (5.5, Integrali definiti e funzioni integrali: 1,..., 44); (5.6, Metodo di sostituzione: 1,..., 24, 26, 28, 32,..., 36, 39,..., 47); (5.7, Calcolo di aree: 1,...,16). Capitolo 6 (6.1, Integrazione per parti: 1,..., 23); (6.2, Integrazione di funzioni irrazionali: 1,..., 10, 14, 15, 17,..., 20, 24,..., 26,..., 28,..., 31, 33,..., 36); (6.3, Integrazione di funzioni razionali: 1,..., 6, 9,..., 16, 20,..., 28, 30, 34); (6.5, Integrali impropri: 1,..., 22, 30,..., 37, 40, 41). (6.Riassunto, Tecniche di integrazione: 1,..., 14, 16,..., 40, 42,..., 57, 59, 61,..., 61,..., 80). Capitolo 7 (7.1, Calcolo di volumi: 1,..., 23); (7.3, Calcolo di lunghezze di curve: 1,...,14). Serie Somma di una serie. Condizione necessaria di convergenza (*). Regolarità delle serie a termini positivi (*). Serie geometrica. Serie telescopica. Serie armoniche (*). Capitolo 9 (9.2, Serie: 1,..., 18). Equazioni differenziali. Definizioni. Equazioni lineari. Teorema di Cauchy per equazioni lineari del primo ordine. Equazioni di Bernoulli. Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari a coefficienti costanti del secondo ordine. Variazione delle costanti. Esercizi: P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica 2, parte prima, 9 a edizione. (Equazioni lineari del primo ordine: 4,..., 11). (Equazioni lineari del secondo ordine: 14,..., 18, 34,..., 36, 38,..., 41, 47,..., 49). Capitolo 5 (Equazioni a variabili separabili: 1,..., 4, 7, 8, 10,..., 12). P.S. È richiesta la dimostrazione dei Teoremi contrassegnati da (*).

5 5 Testi consigliati [1] P. Marcellini, C. Sbordone. Elementi di Calcolo Casa Editrice Liguori, Napoli, [2] R. A. Adams. Calcolo Differenziale 1. Casa Editrice Ambrosiana, Milano 2003.