Il sistema di riferimento cartesiano

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1 1 Il sistema di riferimento cartesiano Un sistema di riferimento cartesiano si compone di due semirette orientate, tra loro perpendicolari, dette assi cartesiani. L asse delle ascisse (o delle x), è quello orizzontale. L asse delle ordinate (o delle y), è quello verticale. Il punto di intersezione degli assi è detto origine. Il piano cartesiano si può dividere in quattro settori denominati quadranti; essi sono numerati dal primo in alto a destra e si procede in senso antiorario. Area 2 - Capitolo 3 - PAG

2 2 La distanza tra due punti Per determinare la distanza tra due punti nel piano cartesiano si possono presentare tre casi. I caso I due punti hanno la stessa ordinata Vogliamo calcolare la distanza tra i punti: A 2; 2 e B 4; 2 AB x B x A REGOLA. La misura del segmento AB con A e B aventi uguale ordinata è data dal valore assoluto della differenza delle rispettive ascisse. In simboli: AB x B x A Area 2 - Capitolo 3 - PAG

3 2 La distanza tra due punti II caso I due punti hanno la stessa ascissa Vogliamo calcolare la distanza tra i punti: A 2; 3 e B 2; 4 AB y B y A REGOLA. La misura del segmento AB con A e B aventi uguale ascissa è data dal valore assoluto della differenza delle rispettive ordinate. In simboli: AB y B y A Area 2 - Capitolo 3 - PAG

4 2 La distanza tra due punti III caso I due punti hanno ascisse e ordinate diverse Vogliamo calcolare la distanza tra i punti: A 1; 2 e B 4; 2 Consideriamo il triangolo rettangolo ABC, ottenuto tracciando da A e da B rispettivamente le parallele agli assi x e y, e calcoliamo la lunghezza della sua ipotenusa con il teorema di Pitagora: AB REGOLA. Per determinare la distanza tra due punti A e B si applica il teorema di Pitagora e si calcola la misura dell ipotenusa del triangolo rettangolo avente per cateti le proiezioni del segmento AB sugli assi cartesiani. In simboli. AB x A x B 2 y A y B 2 Area 2 - Capitolo 3 - PAG

5 2 Le coordinate del punto medio di un segmento REGOLA. Le coordinate del punto medio M di un segmento AB sono date dalle semisomme delle ascisse e delle ordinate degli estremi del segmento. In simboli: M x A x B 2 ; y A y B 2 Vogliamo calcolare le coordinate del punto medio M del segmento di estremi A 2; 3 x M Applichiamo direttamente la formula: e y M Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 338 B4;

6 3 Il concetto di funzione DEFINIZIONE. Una relazione R da un insieme A verso un insieme B, che associa ad ogni elemento di A uno ed uno solo elemento di B, prende il nome di funzione. Il dominio di una funzione è l insieme degli elementi a A che hanno un immagine in B. Il codominio di una funzione è l insieme degli elementi b B che hanno una controimmagine in A. Area 2 - Capitolo 3 - PAG

7 Gennaio Febbraio Marzo Aprile Maggio Giugno Luglio Agosto Settembre Ottobre Novembre Dicembre mm di pioggia 3 Le funzioni empiriche Consideriamo la quantità di pioggia caduta nei vari mesi dell anno in una località e disegnamone il grafico Mesi dell anno Una funzione di questo tipo viene detta empirica perché non è possibile stabilire un legame fra il mese dell anno e i millimetri di pioggia. Area 2 - Capitolo 3 - PAG

8 3 Le funzioni matematiche Indicando con x gli elementi dell insieme A (dominio) e con y gli elementi dell insieme B (codominio) possiamo dire che DEFINIZIONE. La funzione matematica è un tipo di funzione in cui il variare della y rispetto alla x avviene sulla base di un meccanismo fisso che può essere espresso mediante una precisa formula matematica. Per mezzo di questa formula i valori assunti dalla y (in seguito al variare della x) possono essere determinati con precisione e sicurezza. In simboli possiamo scrivere che oppure Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 341 y fx f : x y e si legge << y uguale effe di x >> e si legge << f è tale da portare x in y >> 8

9 4 La funzione di proporzionalità diretta DEFINIZIONE. Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se raddoppiando, triplicando, dimezzando l una, raddoppia, triplica, si dimezza anche l altra. DEFINIZIONE. Due grandezze sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante. In generale se x e y sono una qualsiasi coppia di valori corrispondenti, indicata con m la costante di proporzionalità diretta abbiamo: y x m quindi y mx con m 0 La formula precedente rappresenta la funzione di proporzionalità diretta; in essa m rappresenta il coefficiente di proporzionalità diretta. Area 2 - Capitolo 3 - PAG

10 4 Rappresentazione cartesiana della funzione y = mx Consideriamo la funzione di proporzionalità diretta di equazione y 3x in cui il coefficiente di proporzionalità è 3. Il grafico della funzione y = 3x è una retta passante per l origine degli assi, quindi generalizzando possiamo dire che: DEFINIZIONE. La legge di proporzionalità diretta è rappresentata nel piano cartesiano da una retta passante per l origine. Area 2 - Capitolo 3 - PAG

11 4 Considerazioni sul coefficiente di proporzionalità diretta PROPRIETÀ. La funzione y = mx rappresenta sempre una retta passante per l origine, inoltre: se m > 0 la retta appartiene al 1 e 3 quadrante; se m < 0 la retta appartiene al 2 e 4 quadrante. Area 2 - Capitolo 3 - PAG

12 4 Considerazioni sul coefficiente di proporzionalità diretta PROPRIETÀ. Nella funzione y = mx: se m = 1 la retta è la bisettrice del 1 e 3 quadrante; se m = 1 la retta è la bisettrice del 2 e 4 quadrante. Area 2 - Capitolo 3 - PAG

13 4 Considerazioni sul coefficiente di proporzionalità diretta PROPRIETÀ. Maggiore è il valore del coefficiente angolare m (in valore assoluto) tanto più l inclinazione della retta si avvicina all asse y. Area 2 - Capitolo 3 - PAG

14 5 La retta nel piano cartesiano Rappresentiamo nel piano la funzione y 2x 3 Più in generale: PROPRIETÀ. Ogni funzione del tipo y = mx + q (con m e q costanti) rappresenta l equazione di una retta; m è il coefficiente angolare e q rappresenta l ordinata all origine. È importante notare che l equazione generica di una retta y = mx + q non è più una funzione di proporzionalità diretta. Area 2 - Capitolo 3 - PAG

15 5 Le equazioni di rette particolari Rette parallele all asse x PROPRIETÀ. y = k (con k costante) è l equazione di una retta parallela all asse delle x. Se k > 0 le rette parallele all asse x appartengono al semipiano positivo delle ordinate; se k < 0 le rette appartengono al semipiano negativo delle ordinate; se k = 0 la retta coincide con l asse x e la sua equazione diventa y = 0; diremo allora che y = 0 è l equazione dell asse x. Area 2 - Capitolo 3 - PAG

16 5 Le equazioni di rette particolari Rette parallele all asse y PROPRIETÀ. x = h (con h costante) è l equazione di una retta parallela all asse delle y. Se h > 0 le rette parallele all asse y appartengono al semipiano positivo delle ascisse; se h < 0 le rette appartengono al semipiano negativo delle ascisse; se h = 0 la retta coincide con l asse y e la sua equazione diventa x = 0; diremo allora che x = 0 è l equazione dell asse y. Area 2 - Capitolo 3 - PAG

17 5 Le equazioni di rette particolari Rette tra loro parallele PROPRIETÀ. Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare. In simboli, date: r : y mx q s : y m x q r s se e solo se m m Area 2 - Capitolo 3 - PAG

18 5 Le equazioni di rette particolari Rette tra loro perpendicolari PROPRIETÀ. Due rette sono perpendicolari se il coefficiente angolare della prima è l antireciproco dell altro. In simboli, date r : y mx q s : y m x q rs se e solo se m 1 m ovvero m m 1 Area 2 - Capitolo 3 - PAG

19 5 L intersezione di una retta con gli assi cartesiani REGOLA. Le coordinate dei due punti di intersezione di una retta di equazione y = mx + q con gli assi x e y si ottengono ponendo in essa y = 0 e x = 0 e calcolando i valori corrispondenti dell ascissa e dell ordinata dei due punti. Troviamo, ad esempio, i punti d intersezione con gli assi della retta y 5 x 5 2 se x 0 y 5 A0 ; 5 se y 0 x 2 B 2 ; 0 Area 2 - Capitolo 3 - PAG

20 5 Equazioni di rette FORMULA. La relazione che permette di determinare l equazione di una retta passante per un punto P(x 0 ; y 0 ) e di coefficiente angolare m è y y 0 m x x 0 FORMULA. La relazione che permette di determinare l equazione di una retta passante per i punti A(x 1 ; y 1 ) e B(x 2 ; y 2 ) è y y 1 y 2 y 1 x x 1 x 2 x 1 Area 2 - Capitolo 3 - PAG

21 6 La funzione di proporzionalità inversa DEFINIZIONE. Due grandezze si dicono inversamente proporzionali se raddoppiando, triplicando, dimezzando l una, si dimezza, diventa un terzo, raddoppia l altra. DEFINIZIONE. Due grandezze sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante. In generale se x e y sono una qualsiasi coppia di valori corrispondenti, indicata con k la costante di proporzionalità inversa, abbiamo: x y k y k x con x 0 La formula precedente rappresenta dunque la funzione di proporzionalità inversa; in essa k è il coefficiente di proporzionalità inversa. Area 2 - Capitolo 3 - PAG

22 6 La rappresentazione cartesiana della funzione xy=k Consideriamo la funzione di proporzionalità inversa di equazione y 16 x Il grafico è un ramo di curva che prende il nome di iperbole equilatera. In generale: DEFINIZIONE. La legge di proporzionalità inversa è rappresentata nel piano cartesiano da un iperbole equilatera. Area 2 - Capitolo 3 - PAG

23 7 La proporzionalità quadratica e la parabola DEFINIZIONE. Due grandezze x e y sono in proporzionalità quadratica quando la relazione che le lega si può esprimere con una formula del tipo: y ax 2 La formula precedente rappresenta la funzione di proporzionalità quadratica; in essa a prende il nome di coefficiente di proporzionalità quadratica. La funzione di proporzionalità quadratica è rappresentata nel piano cartesiano da una curva, chiamata parabola, i cui punti godono della seguente proprietà: PROPRIETÀ. I punti di una parabola hanno la stessa distanza da un punto fisso (F) chiamato fuoco, e da una retta fissa (d), chiamata direttrice. Area 2 - Capitolo 3 - PAG

24 7 La proporzionalità quadratica e la parabola DEFINIZIONE. Una funzione del tipo y = ax 2 (con a 0) è l equazione di una parabola avente come asse di simmetria l asse y e come vertice l origine degli assi. In particolare se a > 0 la parabola ha la concavità verso l alto; se a < 0 la parabola ha la concavità verso il basso. Area 2 - Capitolo 3 - PAG