Distribuzioni teoriche di probabilità: distribuzione binomiale e distribuzione normale

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1 Distribuzioni teoriche di probabilità: distribuzione binomiale e distribuzione normale Prof. Giuseppe Verlato Sezione di Epidemiologia e Statistica Medica, Università di Verona La distribuzione normale (distribuzione gaussiana, distribuzione degli errori accidentali) occupa un ruolo centrale nell ambito della statistica medica. 1

2 Infatti: 1) Se si sommano 3 o più variabili, la variabile somma segue la distribuzione normale, indipendentemente dalla distribuzione delle variabili originali (teorema del limite centrale). 2) La maggior parte delle variabili biologiche (peso, statura, ) dipendono dalla somma di svariati fattori genetici e ambientali. La maggior parte delle variabili biologiche segue la distribuzione normale. 3) La maggior parte delle altre distribuzioni teoriche di probabilità (binomiale, di Poisson, t di Student) tendono alla distribuzione normale, all aumentare della numerosità (o del numero di casi e di non-casi). numero di studenti I parte dell esame: asimmetria negativa (esame troppo facile) voto in quindicesimi Verifica del 17 novembre 1994 numero di studenti II parte dell esame: asimmetria positiva (esame troppo difficile) voto in quindicesimi 14 totale: somma delle due parti Distribuzione abbastanza simmetrica numero di studenti voto in trentesimi 2

3 La distribuzione empirica (colonne rosse) può essere approssimata con una curva teorica (la distribuzione normale con media=166,1 cm e deviazione standard=6,1 cm). 25 Statura matricole Medicina a.a.95/96 numero di studentesse statura (cm) Distribuzione della colesterolemia in 2 diabetici di tipo 2 Density cholest Distribuzione della trigliceridemia in 2 diabetici di tipo 2 Density trasformazione logaritmica Density triglyc logtrig 3

4 numero di donne Attesi aborti su 4 gravidanze Distribuzione binomiale con π=.289 ed n=4. Distribuzione con forte asimmetria positiva. probabilità,16,14,12,1,8,6,4,2 Distribuzione binomiale con π=.4 ed n=3. Distribuzione simmetrica, che tende alla distribuzione normale successi su n prove Una distribuzione normale è pienamente caratterizzata da due parametri, la media (µ) e la deviazione standard (σ) µ = 75 Kg σ =5 Kg

5 Queste 3 distribuzioni differiscono per la media (misura di posizione) magri normopesi grassi densità di probabilità µ = 65 Kg σ = 5 Kg µ = 75 Kg σ = 5 Kg µ = 85 Kg σ = 5 Kg Queste 3 distribuzioni differiscono per la deviazione standard (misura di dispersione) densità di probabilità alta variabilità µ = 75 Kg σ = 2,5 Kg µ = 75 Kg σ = 5 Kg bassa variabilità µ = 75 Kg σ = 1 Kg

6 Probabilità e densità di probabilità Il peso è una variabile quantitativa continua. Qual è la probabilità che il peso di un individuo di questa popolazione sia esattamente 73Kg 133g 917mg 715µg 822ng? Praticamente zero. Noi possiamo associare una probabilità non ad un singolo valore, ma ad un intervallo. Probabilità ben definita media ± 1 dev.standard = 75 ± 5 = 7-8 Kg 68,26% media ± 2 dev.standard = 75 ± 1 = Kg 95,44% media ± 3 dev.standard = 75 ± 15 = 6-9 Kg 99,74%

7 NORMALITA STATISTICA NORMALITA CLINICA: la popolazione è obesa nel suo complesso. The American population is constant in number, but it is ballooning in mass (CDC, Atlanta, USA) Esiste un numero infinito di distribuzioni normali diverse fra loro. µ = 5 5 K g σ = 4 K g µ = 8 5 K g σ = 1 K g P e s o ( K g ) E possibile ricondurre tutte queste diverse distribuzioni ad un unica distribuzione standard? Sì, attraverso la trasformazione normale: z (deviata normale standardizzata) = (x-µ)/σ 7

8 z (deviata normale standardizzata) = (x-µ)/σ µ = 7 5 K g σ = 5 K g P e s o ( K g ) z Peso=6 Kg z = (6-75)/5 = -15/5 = -3 peso=8 Kg z = (8-75)/5 = +1 Peso=65 Kg z = (65-75)/5 = -1/5 = -2 peso=85 Kg z = (85-75)/5 = +2 Peso=7 Kg z = (7-75)/5 = -5/5 = -1 peso=9 Kg z = (9-75)/5 = +3 Peso=75 Kg z = (75-75)/5 = /5 = µ = 5 5 K g σ = 4 K g µ = 8 5 K g σ = 1 K g P e s o ( K g ) densità di probabilità deviata normale standardizzata (z) 8

9 Esistono delle tavole (tavole della z) che danno la probabilità che Z sia maggiore di un valore qualsiasi. z,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,,5,496,492,488,484,481,4761,4721,4681,4641,1,462,4562,4522,4483,4443,444,4364,4325,4286,4247,2,427,4168,4129,49,452,413,3974,3936,3897,3859,3,3821,3783,3745,377,3669,3632,3594,3557,352,3483,4,3446,349,3372,3336,33,3264,3228,3192,3156,3121,5,385,35,315,2981,2946,2912,2877,2843,281,2776,6,2743,279,2676,2643,2611,2578,2546,2514,2483,2451,7,242,2389,2358,2327,2296,2266,2236,226,2177,2148,8,2119,29,261,233,25,1977,1949,1922,1894,1867,9,1841,1814,1788,1762,1736,1711,1685,166,1635,1611 1,,1587,1562,1539,1515,1492,1469,1446,1423,141,1379 1,1,1357,1335,1314,1292,1271,1251,123,121,119,117 1,2,1151,1131,1112,193,175,156,138,12,13,985 1,3,968,951,934,918,91,885,869,853,838,823 1,4,88,793,778,764,749,735,721,78,694,681 1,5,668,655,643,63,618,66,594,582,571,559 1,6,548,537,526,516,55,495,485,475,465,455 1,7,446,436,427,418,49,41,392,384,375,367 1,8,359,351,344,336,329,322,314,37,31,294 1,9,287,281,274,268,262,256,25,244,239,233 Qual è la probabilità che Z sia maggiore o uguale a 1,87?,37 = 3,7% z,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,,5,496,492,488,484,481,4761,4721,4681,4641,1,462,4562,4522,4483,4443,444,4364,4325,4286,4247,2,427,4168,4129,49,452,413,3974,3936,3897,3859,3,3821,3783,3745,377,3669,3632,3594,3557,352,3483,4,3446,349,3372,3336,33,3264,3228,3192,3156,3121,5,385,35,315,2981,2946,2912,2877,2843,281,2776,6,2743,279,2676,2643,2611,2578,2546,2514,2483,2451,7,242,2389,2358,2327,2296,2266,2236,226,2177,2148,8,2119,29,261,233,25,1977,1949,1922,1894,1867,9,1841,1814,1788,1762,1736,1711,1685,166,1635,1611 1,,1587,1562,1539,1515,1492,1469,1446,1423,141,1379 1,1,1357,1335,1314,1292,1271,1251,123,121,119,117 1,2,1151,1131,1112,193,175,156,138,12,13,985 1,3,968,951,934,918,91,885,869,853,838,823 1,4,88,793,778,764,749,735,721,78,694,681 1,5,668,655,643,63,618,66,594,582,571,559 1,6,548,537,526,516,55,495,485,475,465,455 1,7,446,436,427,418,49,41,392,384,375,367 1,8,359,351,344,336,329,322,314,37,31,294 1,9,287,281,274,268,262,256,25,244,239,233 9

10 Qual è la probabilità che Z sia maggiore o uguale a,75?,2266 = 22,66% z,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,,5,496,492,488,484,481,4761,4721,4681,4641,1,462,4562,4522,4483,4443,444,4364,4325,4286,4247,2,427,4168,4129,49,452,413,3974,3936,3897,3859,3,3821,3783,3745,377,3669,3632,3594,3557,352,3483,4,3446,349,3372,3336,33,3264,3228,3192,3156,3121,5,385,35,315,2981,2946,2912,2877,2843,281,2776,6,2743,279,2676,2643,2611,2578,2546,2514,2483,2451,7,242,2389,2358,2327,2296,2266,2236,226,2177,2148,8,2119,29,261,233,25,1977,1949,1922,1894,1867,9,1841,1814,1788,1762,1736,1711,1685,166,1635,1611 1,,1587,1562,1539,1515,1492,1469,1446,1423,141,1379 1,1,1357,1335,1314,1292,1271,1251,123,121,119,117 1,2,1151,1131,1112,193,175,156,138,12,13,985 1,3,968,951,934,918,91,885,869,853,838,823 1,4,88,793,778,764,749,735,721,78,694,681 1,5,668,655,643,63,618,66,594,582,571,559 1,6,548,537,526,516,55,495,485,475,465,455 1,7,446,436,427,418,49,41,392,384,375,367 1,8,359,351,344,336,329,322,314,37,31,294 1,9,287,281,274,268,262,256,25,244,239,233 1

11 DISTRIBUZIONE NORMALE: media = 75 kg, deviazione standard = 8 kg P(peso>=81 kg) = 22,66% (81-75)/8 = 6/8 =,75 P(peso>=92 kg) = 1,68% (92-75)/8 = 17/8 =2,125 P(peso<=69 kg) = 22,66% (69-75)/8 = -6/8 = -,75 DISTRIBUZIONE NORMALE: media = 75 kg, deviazione standard = 8 kg (81-75)/8 = 6/8 =,75 P(peso>=69 kg) = 1-22,66= 77,34% (92-75)/8 = 17/8 =2,125 P(69<peso<92 kg) =1-22,66-1,68 = 75,6 % 11