Statistica. Lezione : 18, 19. Variabili casuali

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1 Corsi di Laurea: a.a Diritto per le Imprese e le istituzioni Scienze dell Amministrazione e Consulenza del Lavoro sienze Internazionali dello Sviluppo e della Cooperazione Statistica Variabili casuali Lezione : 18, 19 Docente: Alessandra Durio 1

2 Contenuti I momenti delle variabili casuali Variabili casuali notevoli DISCRETE (uniforme, di Bernoulli, Binomiale) Variabile casuali notevoli CONTINUE: (uniforme, Gaussiana (o normale) ) Docente: Alessandra Durio 2

3 Definizione di Momento di ordine r di una v.c. X Data una v.c. X si dice momento di ordine r (con r=0,1,2, ) il numero reale risultante da: & ( E[X r ] = ' ( ) i R x i r p(x i ) x r f (x)dx Il momento di ordine r=1 si dice media di X (o valore atteso) Il momento di ordine r=2 è utile per il calcolo della varianza di X se X è una v.c. Discreta se X è una v.c. Continua & ( µ = E[X] = ' )( & ( µ 2 = E[X 2 ] = ' )( i R i R x i p(x i ) x f (x)dx x i 2 p(x i ) x 2 f (x)dx La VARIANZA di X è definita come: σ 2 = V[X] = E[(X E[X]) 2 ] se X è una v.c. Discreta se X è una v.c. Continua se X è una v.c. Discreta se X è una v.c. Continua Ma si può calcolare facendo la differenza di due momenti: V[X] = E[X 2 ] ( E[X] ) 2 Docente: Alessandra Durio 3

4 Esempio di calcolo di media e varianza di una v.c. X Quale esperimento casuale si consideri il lancio di una moneta regolare ripetuto tre volte, il cui insieme dei possibili esiti è: S={TTT,TTC,TCT,CTT,CCT,CTC,TCC,CCC} Se introduciamo la v.c. X = {numero di Teste ottenute nella sequenza}, è facile notare che si tratta di una variabile casuale di tipo discreto che assume i valori interi 0, 1, 2, 3. Tale v.c. possiede la seguente distribuzione di probabilità La media di X: Il momento secondo: " x i % " # & = % # $ p(x i )' $ 1/8 3/8 3/8 1/8 & ' i=1,2,3,4 4 E[X] = x i p(x i ) = =1.5 = µ i=1 4 E[X 2 ] = x 2 i p(x i ) = = 3 i=1 E da questi due ricaviamo la varianza di X: V[X] = E[X 2 ] ( E[X] ) 2 = = 0.75 = σ 2 Docente: Alessandra Durio 4

5 Contenuti I momenti delle variabili casuali Variabili casuali notevoli DISCRETE (uniforme, di Bernoulli, Binomiale) Variabile casuali notevoli CONTINUE: (uniforme, Gaussiana (o normale) ) Docente: Alessandra Durio 5

6 Variabile casuale Uniforme Discreta Una variabile casuale discreta X viene detta possedere una distribuzione uniforme se le sue determinazioni sono i primi n numeri interi e queste hanno probabilità costante di verificarsi, cioè se possiede distribuzione di probabilità: " $ x i & $ # ' % $ p(x i )( $ i=1,...,n " = # 1/n 1 1/n /n n " & r ' % ( = $ & $ # ' % $ 1/n( $ r=1,...,n Per tale variabile casuale, abbiamo: E[X] = n +1 2 V[X] = n Docente: Alessandra Durio 6

7 Esempio Variabile casuale Uniforme Discreta Un semplice esperimento casuale consiste nell estrazione di una pallina da un urna che ne contiene dieci, indistinguibili al tatto e numerate progressivamente a partire da uno. La v.c. X = {# impresso sulla pallina estratta} è di tipo discreto con distribuzione uniforme, cioè: " $ x i & $ # ' % $ p(x i )( $ i=1,...,10 " & " r = # % 1/10 1/ /10 ' ( = $ & $ # ' % $ 1/10( $ r=1,...,10 E[X] = = 5.5 V[X] = = 8.25 Calcoliamo ora la probabilità dell evento A={X < µ}: P(X < µ) = P(X < 5.5) = P(X = r) = p(r) = 10 = 0.5 r=1 r=1 Docente: Alessandra Durio 7

8 Variabile casuale di Bernoulli Si immagini un esperimento casuale i cui esisti possano semplicemente essere classificati in Successo S, e Insuccesso I. Posto P(S)=θ la variabile casuale X che associa al Successo 1 e all insucesso 0 si dice di Bernoulli con parametro θ ed ha distribuzione di probabilità: " x i % " 0 1% # & = # $ p(x i )' $ 1 θ θ & ' i=1,2 Possiamo anche dire che la v.c X conta i successi Per tale variabile casuale, abbiamo: infatti E[X] = 0 (1 θ) +1 θ = θ E[X 2 ] = 0 2 (1 θ) +1 2 θ = θ E[X]=θ Var[X]=θ(1 θ) V[X] = E[X 2 ] (E[X]) 2 = θ θ 2 = θ(1 θ) Docente: Alessandra Durio 8

9 Esempio variabile casuale di Bernoulli Si immagini di controllare casualmente, a fine linea di produzione, un pezzo meccanico prodotto, e che il tasso di difettosità del processo di produzione sia θ = Gli eventi elementari di tale esperimento sono due: D = {il pezzo è difettoso} ND = {il pezzo non è difettoso} La v.c. X di Bernoulli, che associa all evento ND il valore x 1 = 0 ed all evento D il valore x 2 = 1 ha distribuzione di probabilita` Per tale variabile casuale si ha " x i % " 0 1 % # & = # $ p(x i )' $ & ' i=1,2 E[X] = 0.01 Var[X] = = Docente: Alessandra Durio 9

10 Variabile casuale di Binomiale Una variabile casuale X che esprime il numero di Successi in una serie di n prove bernoulliane indipendentim che, ricordiamo, equivale a θ = P(S) costante in ogni prova viene detta BINOMIALE e possiede funzione di distribuzione di probabilità: " $ x i & $ # ' % $ p(x i )( $ i=1,...,n +1 " n & " r & $ ) n, ) n, ) n, $ = # +. * 0 θ 0 (1 θ) n * 1 θ1 (1 θ) n * n θ n (1 θ) $ n n ' $ = $ ) n, $ # +. % - ( * r θ r (1 θ) $ n r ' $ % - ( r=0,...,n Una v.c. binomiale è interamente caratterizzata dai parametri n, che indica il numero delle prove, e θ, che è la probabilità del successo nella singola prova. Per tale variabile casuale, abbiamo: E[X]=nθ Var[X]=nθ(1 θ) Considerando la probabilità che la v.c assuma una generica sua determinazione r " n% p(r) = P(X = r) = $ ' # r θ r (1 θ) n r & θ r (1 θ) n r la probabilità di una generica sequenza formata da r successi e n-r insuccessi e ricordando quanto detto per le prove ripetute si ha Docente: Alessandra Durio 10 " n% $ ' # r & il Coefficiente binomiale, dà il numero di combinazioni n su r. (il numero di modi possibili di avere r successi in n prove)

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12 Esempio Variabile casuale di Binomiale Un addetto dell Italgas in una mattina compie 10 visite ad altrettanti utenti dell azienda energetica municipale. Volendo conoscere la probabilità che l addetto possa eseguire in mattinata la lettura di piu` di 7 contatori, introduciamo la variabile casuale X = {numero di letture eseguite} che possiede distribuzione binomiale di parametri n = 10 e θ = Si osservi che quest ultimo parametro rappresenta la probabilità che un generico utente sia in casa alla mattina. La funzione di distribuzione di probabilità e quella di ripartizione sono in figura. La probabilità che ci interessa è: P(X > 7) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X =10) = " 10% " 10% " 10% = $ ' # $ ' & # $ ' & # = & = = In definitiva l addetto ha una probabilità del 2.7% di eseguire più di 7 letture del contatore ogni mattina. Ovviamente egli ha una probabilità del 97.3% si eseguire al più 7 letture. Docente: Alessandra Durio 12

13 OSSERVAZIONI sulla v.c. Binomiale Naturalmente, al variare dei parametri che la caratterizzano, la funzione di distribuzione di una v.c. binomiale assume forme diverse, in particolare al variare del parametro θ. In figura è riportato il grafico delle funzioni di distribuzione di probabilità di alcune v.c. binomiali caratterizzate da diversi valori di θ e tutte con n=5. Quale è quella con la varianza più grande? Docente: Alessandra Durio 13

14 Contenuti I momenti delle variabili casuali Variabili casuali notevoli DISCRETE (uniforme, di Bernoulli, Binomiale) Variabile casuali notevoli CONTINUE: (uniforme, Gaussiana (o normale) ) Docente: Alessandra Durio 14

15 Variabile casuale Uniforme continua (o rettangolare) Una variabile casuale X continua viene detta possedere distribuzione uniforme se ha funzione di ripartizione e funzione di densità rispettivamente: Per tale variabile casuale, abbiamo: E[X] = a + b 2 V[X] = (b a)2 12 Docente: Alessandra Durio 15

16 Esempio: Variabile casuale Uniforme continua Sia X una v.c. con distribuzione uniforme nell intervallo [ 2; 2]. Ci proponiamo di calcolare la probabilita` dell evento { 1 < X 1} Area=0.5 f (x) = P( 1 < X <1) = 1 2 ( 2) = 1 4 = f (x) = dx 4 dx =... 1 ma è l area di un rettangolo P( 1 < X <1) = base altezza = (1 ( 1)) 0.25 = 0.5 volendo usare la funz. di ripartizione: E[X] = a + b 2 =... F(x) = x ( 2) 2 ( 2) = x P( 1 < X <1) = F(1) F( 1) = = 0.5 Docente: Alessandra Durio 16

17 Variabile casuale Normale di Gauss Tra le variabili casuali continue un posto di notevole rilievo occupa la variabile casuale Normale, o di Gauss o più semplicemente gaussiana. Una v.c. X viene detta possedere distribuzione Normale di parametri (µ, σ 2 ), in simboli X N (µ, σ 2 ), qualora essa possegga la seguente funzione di densità: f (x) = σ 1 2π e (x µ ) 2 2σ 2 massimo per x=µ flessi x=µ±σ Per tale variabile casuale si dimostra che: il valore atteso coincide con il parametro µ cioè E[X]=µ la varianza coincide con il parametro σ cioè Var[X]=σ 2 Docente: Alessandra Durio 17

18 La posizione della Normale Docente: Alessandra Durio 18

19 La forma della Normale Docente: Alessandra Durio 19

20 Altre proprietà della Normale Ogni trasformazione lineare di una v.c. Normale è ancora una v.c. Normale. Se X è normale allora anche Y=aX+b è normale e si ha che: E[Y]=aE[X]+b e V[Y]=a 2 V[X] In particolare se X N(µ,σ) la v.c standardizzata Z = X µ σ (che è una trasformata lineare di X con a=1/σ e b=-µ/σ) sarà una v.c. Normale di media 0 e varianza 1, cioè Z N(µ=0,σ=1) La somma di due v.c. Normali indipendenti è ancora una v.c. Normale (con media e varianza pari, rispettivamente, alla somma delle medie e delle varianze delle due v.c. Normali). Docente: Alessandra Durio 20

21 Per conoscere la probabilità si ricorre alla v.c. Normale standardizzata Posto di lavorare con una variabile casuale con distribuzione Normale, ci si pone il problema del calcolo delle probabilità di eventi di interesse, quali A={X a}, B={a < X b}, C={X b},... Le probabilità di tali eventi possono evidentemente essere calcolate con la funzione di ripartizione oppure valutando l area sottesa alla funzione di densità. Purtroppo, non conoscendo la forma analitica della primitiva della funzione di densità della variabile casuale Normale con media e varianza qualsiasi, l integrale per il calcolo dell are non si può risolvere. Il problema si può risolvere ricorrendo alla standardizzazione di X: Docente: Alessandra Durio 21

22 Il legame tra X N(µ,σ) e Z N(0,1) ad ogni intervallo di valori di X corrisponde uno ed un solo intervallo di valori di Z e la probabilità associata ai due intervalli è la stessa! Docente: Alessandra Durio 22

23 La tavola della Normale (0,1) Docente: Alessandra Durio 23

24 La tavola della Normale (0,1) Docente: Alessandra Durio 24

25 Esempio: probabilità di eventi nel caso di v.c. Normale Data la variabile casuale X N (µ=20, σ=5), ci proponiamo di calcolare la probabilità dell evento: A= {X < 21} Anziché lavorare sulla v.c. X data, scegliamo di trasformare quest ultima in una v.c. Normale standardizzata semplicemente ponendo X 20 Z = 5 Dunque la probabilità cercata è: # P(A) = P(X < 21) = P% Z < $ & ( = P(Z < 0.2) = ' dalla tavola Se si volessero le probabilità dei seguenti eventi? B= {X > 21} C= {18< X < 21} e il problema inverso, trovare c tale che P(X < c) = 0.64 Problemi aperti Docente: Alessandra Durio 25

26 Concetti Introdotti Momenti di variabili casuali: valore atteso (media), varianza Variabile casuale discreta uniforme Variabile casuale discreta di Bernoulli Variabile casuale discrete Binomiale Variabile casuale continua uniforme Variabile casuale continua di Gauss Normale Docente: Alessandra Durio 26