Università degli Studi di Firenze Facoltà di Ingegneria - CdL Ing. Industriale Fisica generale II - a.a. 2007/2008 Prato, 10 Luglio 2008

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Gildo Ruggiero
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1 Università degli Studi di Firenze Facoltà di Ingegneria - CdL Ing. Industriale Fisica generale II - a.a. 007/008 Prato, 10 Luglio 008 1) Uno strato piano spesso indefinito è uniformemente carico con densità di carica di volume ρ. Lo spessore è d. Calcolare il campo elettrostatico in funzione della distanza x dal piano mediano della strato. Calcolare il potenziale elettrostatico in funzione della distanza x dal piano mediano della strato. Quale velocità dovrebbe avere un elettrone, libero di muoversi all'interno della distribuzione di carica, per andare dal piano mediano (x=0) alla fine della distribuzione (x=d/)? (Dati: ρ = C/m 3, d = 1 cm) ) Nel circuito di figura determinare: la carica presente sulle armature dei condensatori quando l interruttore T è aperto; la carica presente sulle armature dei condensatori quando l interruttore T è chiuso; la variazione di energia elettrostatica fra le due configurazioni dei precedenti punti. ( V = 4 V, C 1 = C = C 3 = C = 5 nf). 3) Una guscio sferico conduttore ha raggio esterno c = 15 cm e raggio interno b=10 cm; al suo interno, concentrica ad esso, si trova una sfera conduttrice di raggio a = 5 cm e su di essa viene posta una carica q = nc. Determinare il campo elettrico in funzione della distanza x dal centro della sfera e la differenza di potenziale tra la sfera e il guscio sferico. Il raggio della sfera interna, che si suppone deformabile, viene ridotto al valore a = cmsenza alterare la carica su di essa e mantenendola concentrica con le altre (inalterate), calcolare il lavoro necessario a compiere l operazione (si considera trascurabile il lavoro necessario alla deformazione meccanic. Determinare come cambiano il potenziale ed il campo elettrico nei punti A e B rispettivamente a distanza r = 7 cm e R = 0 cm dal centro del sistema quando il raggio passa da a ad a'.

2 4) Una sbarretta conduttrice, di massa m = 13.5 g e lunghezza l = 1 cm, può scorrere liberamente su due binari conduttori verticali e paralleli, distanti l, rimanendo orizzontale ed in contatto elettrico con essi. Il dispositivo è connesso ad un generatore di tensione ed è immerso in un campo magnetico, uniforme e costante e perpendicolare al piano individuato dai binari, di ampiezza B 0 = 1. T. La resistenza complessiva del circuito può essere considerata costante e pari a R = 100 Ω. Calcolare ampiezza e verso della corrente che deve circolare nella sbarretta perchè questa rimanga ferma ad una determinata quota e il corrispondente valore della f.e.m applicata. Nel caso in cui alla sbarretta venga impressa una velocità v = 7.5 m/s verso l alto determinare modulo direzione e verso della forza aggiuntiva agente su di essa. Determinare la potenza necessaria per mantenere la velocità costante v. B 5) Nel circuito in corrente alternata di figura il generatore di tensione ha una frequenza angolare variabile ω e ampiezza E 0. Determinare l impedenza dei rami AB e BD del circuito e la sua impedenza complessiva; Calcolare il rapporto di ampiezza e la fase relativa delle d.d.p. fra i punti AB e BD e quindi i valori ω 1 e ω della frequenza angolare per cui tale rapporto di ampiezza è pari ad 1; Calcolare la potenza media dissipata nel circuito alle frequenze angolari ω 1 e ω. (R = 15 Ω, L = 1.7 mh, C = 5 nf, E 0 = 1 V )

3 Soluzioni del compito del 10 Luglio E d/ 0 Σ E d/ x Questo esercizio si può risolvere sia sfruttando la simmetria del sistema e applicando il teorema di Gauss, sia sommando il contributo dei piani carichi con densità superficiale σ = ρ dx, che danno ciascuno un contributo de = ρ dx/ɛ 0. Il metodo più veloce è applicare il teorema di Gauss. Data la simmetria per riflessione rispetto al piano mediano, il campo sarà ortogonale al piano, diretto come in figura. Scegliamo come superficie chiusa Σ un cilindro con base S ortogonale al campo e altezza x (vedi fig.): SE = xsρ = E(x) = ρx ɛ 0 se d < x < d SE = ρds = E(x) = ρd ɛ 0 se x > d V (x) = V (x) = E(x)dx = ρx + k se d ɛ 0 < x < d E(x)dx = ρd ɛ 0 x + k se x > d Applicando il teorema dell energia cinetica si trova 1 m ev = e V, dove V = V (d) V (0) = ρd /ɛ 0. Quindi eρ d v = = m/s. ɛ 0 m e

4 . 3. Dato che il circuito è in continua la corrente può circolare solo nei rami senza capacità. Il circuito è quindi un partitore resistivo, dove ai capi delle tre resistenze dove passa corrente c è una caduta di tensione V/3. C 1 e C sono in serie e C 1 = C/, quindi q 1 = q = V 1 C/, dove V 1 = V/3 e quindi q 1 = q = CV/3. Ai capi di C 3 si ha V/3 e quindi q 3 = CV/3. q 1 = q = q 3 = 00 nc. Se T è chiuso C è scarico e ai capi di C 1 ci sono V/3, quindi q 1 = CV/3, q = 0 e q 3 = CV/3. quindi U e = 1 C (q 1 + q + q 3), U e = 9 CV All interno dei contuttori (x < a e b < x < E(x) = 0, mentre per a < x < b e x > c E(x) = 1 q 4πɛ 0 x V ( V ( = b a E(x)dx = q 4πɛ 0 ( 1 a 1 ) = 1.98 kv b a b C = 4πɛ 0 b a, a b C = 4πɛ 0 b a L = U e = q ( 1 C 1 ) = 1 a a = 65 µj C 8πɛ 0 a a Non cambia nulla rispetto alla risposta.

5 4. La forza dovuta al campo magnetico deve equilibrare il peso mg della sbarretta, quindi ilb = mg = i = mg = 0.9 A, E = ir = 9 V lb Se la sbarretta si muove verso l alto con velocità v, si ha una variazione del flusso del campo B per unità di tempo e quindi una fem indotta pari a E i = dφ( B) dt = Blv, I i = E i R. quindi una forza aggiuntiva nel verso opposto a v F = B l v R = 1, 55 mn 5. Definiamo ω 0 = 1/LC. P = P Joule = E i R = F v = 11, 7 mw Z AB = 1 jωc + jωl = Z BD = L jc ( ωl 1 ωc Z tot = Z AB + Z BD + R φ = π, j ( ) ω 1 ωc ω0 ) = ( jωl ) ω 1 ω0 Z AB ω Z BD = 0 ( ) ω 1 ω0 Quindi ponendo Z AB Z BD = 1, si trovano le seguenti equazioni con le seguenti equazioni: { x x 1 = 0 x a,b = 1± 5 x + x 1 = 0 x c,d = 1± 5 ω

6 dove x = ω/ω 0. Quindi prendendo solo le soluzioni positive si trovano le due pulsazioni ω 1 = ω 0 = 0.5MHz ω = ω 0 = 0.094MHz < P >= E 0 Z tot cos φ, dove φ è la diferenza di fase fra tensione e corrente. Per ω = ω 1,, Z AB = Z BD = j L/C, quindi Z tot = R, φ = 0 e < P >= E 0 R = 4.8 W

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