La legge di gravità. La mela

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1 La legge di gravità La caduta dei gravi La legge di Newton Il moto dei pianeti (Kepler) La misura della costante G (Cavendish) Masse estese Masse sferiche Verso il centro della terra... Il concetto di campo Problemi La mela

2 La mela Isaac Newton ( ) Perchè la mela cade e la luna no? 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 2 Domada sbagliata!

3 La mela Cade anche la luna! Esistono diverse traiettorie, alcune sono orbite 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 3 Terra puntiforme

4 La mela Se la terra fosse puntiforme anche il sasso lanciato orbiterebbe 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 4 Newton trova la legge guardando il cielo

5 La forza tra due pianeti m r M - Per il terzo principio - Per simmetria - Funzione di r

6 La forza tra due pianeti m F mm r F Mm M - Per il terzo principio - Per simmetria - Funzione di r [G ]=N m2 kg 2 =m 3 kg 1 s 2

7 Legge di gravitazione universale (1687) Universale: vale per corpi massivi sulla terra e per corpi celesti. Osservazioni di Tycho Brahe Leggi di Keplero ( ) ( ) Prove sperimentali dal moto dei pianeti 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 7 Tolomeo, Copernico e Keplero

8 Le orbite dei pianeti: osservazioni e modelli Tolomeo (~ d.c.) Copernico ( ) Terra al centro Sole al centro Quale evidenza? 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 8 Moto retrogrado

9 Moto retrogrado dei pianeti Es. Marte ogni sera alla stessa ora, primi 6 mesi del /03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 9 Spiegazione di Tolomeo e Copernico

10 Moto retrogrado dei pianeti Es. Marte ogni sera alla stessa ora, primi 6 mesi del /03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 10 Spiegazione di Tolomeo e Copernico

11 Spiegazioni nei due modelli Tolomeo: inventa gli epicicli 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 11 Leggi di Kepleroo

12 Spiegazioni nei due modelli Tolomeo: inventa gli epicicli 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 12 Leggi di Kepleroo

13 Spiegazioni nei due modelli Tolomeo: inventa gli epicicli Copernico forse non ne ha bisogno 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 13 Leggi di Kepleroo

14 Spiegazioni nei due modelli Tolomeo: inventa gli epicicli (Purtroppo Tycho Brahe era troppo preciso, e anche Copernico deve reintrodurre gli epicicli per giustificare il moto osservato.) Keplero ne fa a meno con tre ipotesi (le tre leggi di Keplero) 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 14 Leggi di Kepleroo

15 Leggi empiriche di Keplero Orbite ellittiche (Sole in uno dei due fuochi) (I legge di Keplero) Aree uguali spazzate in tempi uguali (II legge di Keplero) Periodo: T 2 proporzionale ad a 3 (III legge di Keplero) a 3 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 15 Newton le deriva

16 III Legge di Keplero T 2 proporzionale ad a 3 a 3 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 16 Newton le deriva

17 Grandezza di Newton Isaac Newton, con anni di lavoro Mette a punto le tre leggi della dinamica Per far ciò si inventa il calcolo (le derivate) Trova la legge di gravitazione universale Dimostra che la legge di gravitazione predice le tre leggi - orbite ellittiche - aree uguali in tempi uguali - cubo del periodo proporzionale al quadrato dell asse maggiore

18 Derivazione di Newton delle leggi di Keplero Per orbite circolari, III legge Periodo T 2 proporzionale ad R 3 m F g R M ossia da cui 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 18 Lavagna accelerazione g

19 Accelerazione di gravità m F M centro della Terra 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 19 Cavendish

20 Accelerazione di gravità m F M centro della Terra Se conta la distanza dal centro della terra R = 6370 km (Eratostene, 250 a. C) Misurare G equivale a pesare la terra. 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 20 Cavendish

21 Esperimento di Cavendish (1798) Henry Cavendish ( ) F = G m 1 m 2 r 2 Misurando m 1 m 2 F e r ottenne G = [N m 3 kg -2 ] Bilancia di torsione (da G si ottiene la massa della Terra R= m M = ) 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 21 Masse estese

22 Riassunto Due masse puntiformi si attirano secondo la legge di gravitazione universale F = G m 1 m 2 r 2 La costante di gravitazione vale G = [N m 3 kg -2 ] (la massa della Terra vale M = R 2 g/g = kg) 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 22 Masse estese

23 Masse estese: come fare? Abbiamo supposto masse puntiformi. Con la sovrapposizione somma di tanti contributi 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 23

24 Masse estese: come fare Abbiamo supposto masse puntiformi. Con la sovrapposizione somma di tanti contributi d F= G m dm (r) r 2 r Che forza produce la terra? 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 24

25 Massa sferica: forza fuori C. F. Gauss 1813, G.L. Lagrangia 1762 M m Forza diretta verso C, concentrata in C F=G m M r 2 in modulo, come se M fosse 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 25 dentro

26 Massa sferica: forza dentro (in passi) I. Incominciamo da una una crosta sferica M m Al centro 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 26 Un pezzo di crosta

27 Massa sferica: dentro I. Incominciamo da una una crosta sferica dm m Al centro 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 27 Pezzo opposto

28 Massa sferica: dentro I. Incominciamo da una una crosta sferica dm m Al centro forza nulla per simmetria dm' 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 28 Masse e angoli

29 Massa sferica: dentro I. Al centro Angoli solidi uguali, masse uguali Ω è l'angolo solido 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 29 In un punto diverso dal centro?

30 II. E se mi sposto dal centro? M m 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 30 Masse ed angoli solidi

31 II. E se mi sposto dal centro? dm' m dm 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 31 Lavagna Riassunto

32 II. Se mi sposto dal centro densità superficie densità superficie II. Dentro una crosta sferica uniforme la forza è nulla dappertutto 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 32 Al centro della terre

33 III. Tunnel attraverso il centro della terra M m Quanto vale la forza al centro? 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 33

34 Tunnel attraverso il centro della terra M m F=0 (da ogni crosta concentrica) M m E quanto vale in un punto a distanza r dal centro? 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 34

35 Tunnel attraverso il centro della terra M m F=0 al centro M m M'(r) 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 35 Lavagna riassunto

36 III. Tunnel attraverso il centro della terra F=0 al centro R r M'(r) 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 36 Campo

37 Campo M m Il satellite subisce una forza ovunque attorno alla Terra Un modo nuovo di pensare a questa forza: la terra, con la sua massa, genera un campo di forze 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 37 Gif

38 Campo M m Il satellite subisce una forza ovunque attorno alla Terra Definiamo il campo gravitazionale accelerazione di gravità: 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 38 Gif

39 Riassunto Forza di gravità III legge di Keplero Newton: da cui Forza dentro la terra R r campo gravitazionale

40 Problemi G = Nm 2 kg -2 g = 9.81 m s -2 Calcolare M e ρ=m/v media per la terra (R = m) Cavendish: due sfere di piombo (ρ=11 g/cm3 ) di raggio R=30 cm. Calcolare la forza d'attrazione massima. Tunnel attraverso il centro della terra. Calcolare campo gravitazionale g(0) al centro peso di un uomo (m = 80 kg) a distanza r = R/2 dal centro Sapendo che la massa del sole è MS = kg e la distanza terra-sole R= m, a che distanza dalla terra verso il Sole g=0? 13/03/18 Fisica 1 - R. De Renzi - Gravità 40

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