Verifiche anno scolastico 2009/2010 Classi 3 C 3 H

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1 Verifiche anno scolastico 2009/2010 Classi 3 C 3 H 1) Scrivi l equazione della circonferenza γ che ha centro C(- 2; 0) e raggio r = 2 2. Ricava le coordinate dei punti A, B in cui γ interseca l asse delle ordinate e scrivi le equazioni delle rette tangenti a γ in tali punti. 2) Riferendoti alla figura ricava a) l equazione della circonferenza che ha centro C e che è tangente alla retta r rappresentata b) l equazione della circonferenza γ circoscritta al triangolo AOB (O origine degli assi). Ricava l equazione della retta tangente a γ in O. 3) Ricava per quale valore di a l equazione a 2 x 2 + (2 + a)y 2 + 4y + a = 0 rappresenta una circonferenza. Ricava le equazioni delle tangenti alla circonferenza determinata nei suoi punti di ordinata 1. 4) Data l equazione 1 2 0, determina per quali valori di k a) rappresenta circonferenze b) rappresenta una circonferenza che stacca una corda di misura 2 2 sulla retta di equazione x + y 1 = 0. 5) Ricava le equazioni delle rette del fascio 2x y + k = 0 che sono tangenti alla circonferenza γ di equazione x 2 + y 2 + 2x + 4y 15 = 0. 6) Ricava l equazione della circonferenza γ che passa per i punti A(1; - 9) B(4; 0) C(- 2; 0). Scrivi le equazioni delle tangenti a γ nei punti B, C e indica con D il punti d intersezione di tali rette; calcola l area del triangolo BCD. 7) Ricava l equazione della circonferenza γ che è tangente alla retta s di equazione x + 2y = 0 nell origine O degli assi e che passa per il punto A(2; 0). Tra le rette perpendicolari a s ricava le equazioni di quelle tangenti a γ.

2 8) Data la circonferenza γ di equazione x 2 + y 2 2x 3 = 0, ricava le equazioni delle rette che formano un angolo di 60 con l asse delle ascisse e sono tangenti a γ. 9) Ricava l equazione della circonferenza γ che ha centro sull asse delle ascisse e che passa per i punti O(0; 0) A( - 2 ; - 4). Scrivi le equazioni delle rette tangenti a γ nei punti O, A. 10) Data la circonferenza γ di equazione x 2 + y 2 2x + 6y 15 = 0 a) Ricavare le equazioni delle tangenti condotte dal punto P1; b) Ricavare la misura della corda AB staccata da γ sull asse delle ascisse. Scrivere l equazione della circonferenza che è concentrica a γ e stacca sull asse delle ascisse una corda di misura 2AB. 11) E assegnato il fascio di equazione: x 2 + y 2 (1 + k)x + (5 + k)y = 0 a) ricavare l equazione dell asse radicale e le coordinate dei punti base b) detta γ la circonferenza del fascio che ha il centro di ascissa - 1, ricavare le equazioni delle rette tangenti a γ e parallele alla bisettrice del primo e terzo quadrante c) detta γ la circonferenza del fascio che ha il centro sull asse delle ordinate, ricavare le equazioni delle rette tangenti a γ condotte dal punto Q(- 2; 1). 2 12) Rappresenta la funzione di equazione y = 4 x + 6x ) Per ciascuna delle equazioni che seguono individua se rappresenta o non rappresenta una circonferenza e spiega perché a) x 2 + y = 0 b) -3x 2-3y 2 + 7x = 0 c) x 2 + y 2 + 2xy x + y 1 = 0 3) È assegnata la circonferenza γ di equazione x 2 + y 2 2y 3 = 0 a) ricava l equazione della semicirconferenza che sta sopra il diametro orizzontale b) ricava le equazioni delle rette che sono parallele alla bisettrice del 1 e 3 quadrante e hanno distanza 2 2 dal centro di γ c) indicati con A, B i punti in cui γ interseca l asse delle ascisse, ricava le equazioni delle tangenti a γ in A e in B. 14) Data una semicirconferenza γ di centro O e diametro AB = 2r, tracciare esternamente al diametro, a distanza 2 r da A, la retta t perpendicolare al diametro. Preso un generico punto P su γ, siano H, K le sue proiezioni su t e su AB. Determinare per quali valori di 13 AK è sodd isfatta la somma PH + PK è minore di r 10 [ AK = x, 2, 0 x < ] 15) È assegnato un segmento AB di misura 4 a, sia C il suo punto medio. Traccia nello stesso semipiano di origine AB le semicirconferenze γ 1 di diametro AC e γ 2 di diametro BC. Disegna una corda CD di γ 1 e la corda CE di γ 2 perpendicolare a CD. a) dimostra che il quadrilatero ACED è un parallelogrammo

3 b) determina per quali misure di CD il perimetro del quadrilatero ACED è maggiore di 8CD. [ b) CD = x, 4 42, 0 x < ] 16) Sia ABC un triangolo isoscele di base AB, inscritto in una circonferenza di centro O e raggio r. Costruito, nel semipiano di origine AB a cui non appartiene C, il triangolo equilatero ABD, determinare per quali valori dell altezza CH di ABC sussiste la relazione: 2p + 4CH > 10r, essendo 2p il perimetro di ABD. [ CH = x, 2, r < x < ] 17) Data una semicirconferenza γ di centro O e diametro AB = 2r, tracciare la retta t tangente a γ e parallela al diametro AB e una corda MN anch essa parallela al diametro; proiettare i punti M, N su t nei punti P, Q. Determinare per quali distanze della corda MN dal centro O, il perimetro del poligono OMPQN è minore di 22 r. 5 [ OH = x,, r ] 18) È assegnata una semicirconferenza γ che ha centro O e diametro AB = 2r, traccia il raggio OC perpendicolare al diametro. Indicato con P un punto del raggio AO, traccia la retta perpendicolare in P al diametro e indica con Q la sua intersezione con γ, proietta Q sul raggio OC nel punto H. Esprimi in funzione di AP l espressione AQ AO OH QH, rappresenta la funzione ottenuta e metti in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. [ AP = x, x r ] 19) Ricava l equazione della parabola che ha fuoco F(- 2; 1) e direttrice di equazione y + 1 = 0; rappresentala, indica con V il suo vertice e con A il punto d intersezione con l asse delle ordinate. a) Determina le coordinate del punto P dell arco AV in corrispondenza del quale l area del triangolo PFV vale. b) Determina le coordinate dei punti della parabola che hanno somma delle distanze dagli assi uguale a. [ 1; a) P, b) i punti richiesti sono quelli di ascisse x 1 = - 3, x 2 = 1 ] 20) Ricava l equazione della parabola che passa per i punti A(0; 0) B0; C ;, rappresentala. Inscrivi nel segmento parabolico limitato dalla parabola e dall asse delle ordinate i rettangoli che hanno perimetro. [ ; i rettangoli sono due un vertice di ciascuno dei due rettangoli è nel punto di ordinata y 1 =, y 2 = ]

4 21) Ricava l equazione della parabola che ha asse parallelo all asse delle ascisse, vertice in V(0; 2) e passa per A(- 4; 0), rappresentala. Ricava le coordinate dei punti della parabola che hanno distanza dalla retta di equazione 4x + 3y 3 = 0. [ x = - y 2 + 4y 4, i punti richiesti hanno ordinate y 1 = 13/4, y 2 = 3/2; y 3 = ; y 4 = ] 22) È assegnata la parabola di equazione y =, rappresentala. Indica con: A, B i punti in cui la parabola interseca l asse delle ascisse ( x A < x B ), C il punto in cui la parabola interseca l asse delle ordinate. Preso un generico punto P sull arco di parabola AC, determina per quali posizioni di P l area del quadrilatero APCO vale. [ i punti richiesti hanno ascisse x 1 = - 6, x 2 = - 1 ] 23) È assegnato il fascio di parabole di equazione y = - 2x k(3 x) a) Ricavare le caratteristiche comuni a tutte le parabole del fascio b) Ricavare l equazione del luogo descritto dai fuochi delle parabole del fascio e rappresentarlo c) Ricavare l equazione della parabola p che ha per asse la retta di equazione 2x + 1 = 0 e rappresentarla; in particolare indicare con: A, B (x A > x B ) i punti in cui p interseca l asse delle ascisse, C il punto in cui p interseca l asse delle ordinate. Esprimere, al variare di P sull arco BC, l area del quadrilate ro CPBO. [ a) punto base (3; - 12) b) y = 2x 12x c) y = - 3x2 9x + 18, - 3 x 0 ] 24) Data l equazione (k + 1)x 2 + (5k 3)y 2 = 1 determina a) Per quali valori di k rappresenta un iperbole b) Per quale valore di k rappresenta un iperbole equilatera [ a) 1 < k < ; b) k = ] 25) Ricava l equazione dell iperbole che ha i fuochi nei punti F 1 (0; - 1), F 2 (12; - 1) e un asintoto parallelo alla retta di equazione 2 2. Rappresentala ) Ricava l equazione dell iperbole che ha per asintoti le rette di equazione x 2y 1 = 0 e x + 2y 1 = 0 e che passa per il punto A3; 10. Rappresentala ) Ricava l equazione dell iperbole equilatera che ha i fuochi nei punti F(-2 ;- 3 2 e F (- 2; 3 2. Rappresentala. 1 28) Ricava l equazione dell iperbole che ha eccentricità e gli estremi dell asse non trasverso nei punti di coordinate (1; 8) e (1; - 4). 1 29) Sono assegnate le iperboli di equazione y = a) Ricava l equazione del luogo descritto dai loro centri

5 b) Ricava l iperbole che ha per asintoto la retta di equazione x + 1 = 0, rappresentala, ricava le coordinate dei suoi vertici e la distanza focale. [ a) y = x + 2; b) y = V 1 1 ;1 V 2 (1 ;1 ) 2c = ] 30) Rappresenta la funzione che ha equazione y = 1-618, a partire dal grafico ottenuto rappresenta y = ) Ricava l equazione di un iperbole equilatera che ha per asintoti le rette di equazioni x 2 = 0 e y + 3 = 0 e ha distanza focale uguale a 4 2. Rappresentala. [ (x 2)(y + 3) = 2 ] 32) Ricava l equazione dell iperbole equilatera che vertici nei punti A(- 8; 0) B(0; 0). Rappresentala. Calcola il perimetro di un rettangolo che ha per dimensioni l asse trasverso dell iperbole e la distanza focale. 33) Un iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani ha centro in C(- 4; 4) e un vertice in O. Calcola le coordinate dell altro vertice, scrivi l equazione della curva e rappresentala. Calcola la distanza focale. 34) Tra le funzioni di equazione determina quella che passa per i punti A(0; 0) B(2; - 12) C(- 3; 3). Rappresentala e calcola le coordinate dei suoi vertici. 35) Rappresenta l iperbole che ha equazione y =, ricava le coordinate dei suoi vertici e dei suoi fuochi. [ V 1 (0; 2) V 2 (- 4; 6); fuochi F 1 ( 2; 4) F 2 ( 2; 4) 36) Il grafico rappresentato a quali tra le equazioni che seguono corrisponde? Motiva la risposta a) x 2 y 2 = 4 b) x 2 + y 2 = 4 c) y = 4 d) y = 4 4 e) 4

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