Appunti di Matematica 1 - Le funzioni - Le funzioni

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1 Le funzioni Definizione : f : A B con A e B insiemi f è una funzione da A a B (A insieme di partenza, B insieme di arrivo ) se associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. Esempio: consideriamo come insieme A l insieme degli studenti della C (a.s. 6/7) e come insieme B l insieme delle località del Valdarno (Montevarchi, San Giovanni, Terranuova ecc.). Consideriamo f : A B come la legge che associa ad ogni studente la località dove abita. Poiché ad ogni studente è associata una e una sola località f è una funzione. Osservazione: perché f : A B sia una funzione da ogni elemento a A deve partire una ed una sola freccia. Se per esempio avessimo considerato come insieme B l insieme degli sport (nuoto, basket, pallavolo, tennis, calcio, ecc) ed avessimo considerato f : A B che associa ad ogni studente gli sport praticati, f poteva non risultare una funzione in quanto potrebbero esserci studenti che non praticano nessuno sport o ne praticano più di uno. non è una funzione non è una funzione 59

2 Notazioni In genere l elemento dell insieme di partenza viene indicato con x e l elemento dell insieme di arrivo con y = f (x) f (x) si legge f di x e rappresenta l elemento corrispondente a x secondo la funzione f. y = f (x) si chiama anche immagine di x secondo la funzione f. Nota importante Se A e B sono insiemi numerici la funzione si chiama numerica. Esempio: f : R R che associa ad ogni x R il suo quadrato può anche essere scritta così: f : x x Proprietà di una funzione Funzione iniettiva Diciamo che una funzione f : A B è iniettiva se ad elementi distinti di A vengono associati elementi distinti di B. Possiamo scrivere: f : A B è iniettiva quando x x f x ) f ( ) ( x Per capire meglio questa definizione consideriamo il nostro primo esempio la funzione f : A B che associa ad uno studente della C (a.s. 06/7) la località dove vive quasi sicuramente non è iniettiva perché presumibilmente ci sono studenti diversi che vivono nella stessa località (bastano studenti che vivono nello stesso paese). Per esempio la funzione rappresentata in figura f non è iniettiva. 60

3 Funzione suriettiva Diciamo che f : A B è una funzione suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. Nell esempio seguente f è suriettiva (ma non è iniettiva). In sintesi si dice che f è suriettiva se y B x A tale che f ( x) = y. Osservazione: possiamo sempre rendere suriettiva una funzione restringendo l insieme di arrivo. Nel nostro primo esempio se consideriamo f : A B con { tutte le località del Valdarno} B = quasi sicuramente la nostra funzione non sarà suriettiva, ma se consideriamo f : A B' con { le località del Valdarno in cui abita almeno uno studente della C} B'= allora f risulta suriettiva. Funzione biunivoca restringo l insieme di arrivo Diciamo che f : A B è una funzione biunivoca se è iniettiva e suriettiva. In questo caso si parla anche di corrispondenza uno-a-uno perché non solo ad ogni elemento x A corrisponde uno ed un solo elemento di B ma vale anche il viceversa, cioè ad ogni elemento di B corrisponde uno ed un solo elemento di A. f biunivoca 6

4 Le funzioni numeriche Studiamo le funzioni numeriche in cui A e B sono sottoinsiemi di R. Definizione : si chiama dominio della funzione numerica f l insieme dei numeri reali per i quali la funzione ha significato. Esempi ) f : x D f (dominio di f): x 0 cioè D f = R \ { 0} poiché non posso calcolare. x 0 ) f : x x D f = R poiché posso sempre calcolare il quadrato di un numero x R Definizione: si chiama codominio della funzione f l insieme delle immagini di f. + Esempio: f : x x C f (codominio di f) = R 0 cioè i numeri reali y 0 poiché un quadrato è sempre positivo o nullo. Definizione: si chiama grafico di una funzione numerica f l insieme delle coppie (, f ( x) ) sistema di riferimento cartesiano ortogonale con x. D f x in un Esempio : f : x x Possiamo scrivere anche f ( x) = x o y = x. x viene detta variabile indipendente, y = f (x) viene detta variabile dipendente. Osserviamo che se il valore di x raddoppia, raddoppia anche il corrispondente valore di y, se x triplica anche il corrispondente valore di y triplica: x e y si dicono direttamente proporzionali. y Notiamo inoltre che risulta costante il rapporto tra y e x ( = = inclinazione della retta). x 6

5 Esempio : f : x o x y =. x Facendo la tabella ci accorgiamo che quando x aumenta y = f (x) diminuisce avvicinandosi a zero, mentre quando x è piccola y = f (x) risulta grande. Il grafico è costituito da due rami separati che si avvicinano agli assi coordinati senza toccarli (si chiamano asintoti che significa non tocca insieme ) Osserviamo che quando x raddoppia il valore corrispondente y dimezza, se x triplica la y corrispondente diventa un terzo: x e y si dicono inversamente proporzionali. Osserviamo che risulta costante il prodotto tra x e y ( xy = ). 6

6 Esempio : f : x x o y = x Facciamo il grafico considerando alcuni valori della x (vedi tabella). In questo caso anche dai valori della tabella vediamo che la funzione non è iniettiva poiché valori diversi hanno la stessa immagine 4, 4ecc. Infatti se tagliamo il grafico con una retta parallela all asse x (vedi figura) troviamo due punti e quindi per una data y ci sono due x che hanno quel valore y come immagine. Quindi, in generale, se tagliando il grafico con rette parallele all asse x troviamo sempre al massimo un punto di intersezione allora f è iniettiva, altrimenti non lo è. 64

7 Esercizi ) Per ciascuna delle seguenti funzioni, determina il dominio e disegna il grafico. Sono iniettive? a) f : x x c) f : x x b) f : x x d) f : x x ) Considera i rettangoli aventi perimetro uguale a 8. Se indichiamo con x e y le dimensioni di un rettangolo di perimetro 8 qual è la relazione tra x e y? Scrivi y in funzione di x e disegna il grafico della funzione che ottieni. [ y = 4 x] ) Considera i rettangoli di area 4 e indica con x e y le loro dimensioni. Qual è la relazione tra x e y? Scrivi y in funzione di x e disegnane il grafico. 4 y = x 4) Supponi di dover misurare la densità di un liquido (tipo alcool) e di aver misurato la massa corrispondente a varie quantità (volumi) di quel liquido (vedi dati nella tabella seguente): Volume V ( ) massa m (grammi) Riporta i dati in un sistema di riferimento cartesiano (sull asse x il volume e sull asse y la massa). Come risultano le grandezze V e m di una data sostanza, in questo caso il liquido considerato? Come si chiama il rapporto massa/volume di una data sostanza (omogenea)? Nel nostro caso quanto m g risulta il rapporto? [densità; 0,8 V ] 5) Considera la tabella (volume,massa) relativa all acqua distillata: Volume V ( ) massa m (grammi) Riporta i dati in un sistema di riferimento cartesiano (sull asse x il volume e sull asse y la g massa).quanto risulta la densità dell acqua distillata? [ ] 65

8 m g 6) Considera una sostanza di densità d = =. Costruisci una tabella (volume,massa) ed il V grafico corrispondente assegnando al volume dei valori a scelta. 7) Nella tabella seguente sono riportati gli allungamenti di una data molla a cui sono state applicate le forze indicate(misurate in Newton): ( ) L F(N) 6,5 7,5 9,5 0,5 Rappresenta i dati in tabella in un grafico (sull asse x l allungamento e sull asse y la forza). F Come risultano L e F? Il rapporto viene indicato con K e chiamato costante elastica della L molla. Quanto risulta la costante elastica di questa molla? (esprimi K sia in N/ che in N/m). 8) Una molla ha una costante elastica grafico ( L, F ) corrispondente: ( ) [ K= N/ =00 N/m ] F N K = =, 5. Completa la tabella seguente e traccia il L L F(N) N 9) Costruisci due tabelle ( L, F ) relative a due molle di costanti elastiche k = e N k = considerando gli allungamenti L = ; L = 4; L = 6 e poi traccia nello stesso sistema di riferimento i grafici relativi. Cosa osservi? 66

9 ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE (Insiemi, funzioni) ) Considera A = { x / x = n +, con n = 0,,, } { x / x = n +, con = 0,, } B = n C = x / x Ζ e x { } a) Scrivi gli elementi dei vari insiemi e determina A B, A B, A B C, A B C. A B C = A B A C. Rappresenta A, B, C graficamente e verifica che ( ) ( ) ( ) b) Scrivi gli elementi di A B e rappresentali in un diagramma cartesiano. L insieme A B è uguale all insieme B A? c) Scrivi quali sono tutti i sottoinsiemi dell insieme A. Potevi calcolare il loro numero? ) Considera A = { x / x = n con n =,, } B = { x / x = n + con n = 0,, } C = { x / x = 4n con n = 0,,, } a) Scrivi gli elementi dei vari insiemi e rappresentali graficamente. b) Determina A B C A B C,. Verifica che A ( B C) = ( A B) ( A C) c) Determina tutti i sottoinsiemi dell insieme B. ) Considera A = { x / x Ζ, x } B = { x / x Ν e x è divisore di 0 } a) Scrivi gli elementi di A e di B e rappresentali graficamente. b) Determina A B, A B, A B, B A. c) Rappresenta in un diagramma cartesiano A B. d) Quanti sono i sottoinsiemi di B? 67

10 4) Considera A = { x / x = n, con n = 0,,,,4 } B = { x / x = 6n, con n = 0,, } a) Scrivi gli elementi dei due insiemi e rappresentali graficamente. Come risulta B rispetto ad A? b) Determina A B, A B, A B, B A. 5) L abbonamento ad una sala cinematografica prevede il costo di iniziale di 4 euro per la tessera di abbonamento e poi il costo di 5 euro ad ingresso. Se indichi con x il numero degli ingressi e con y la spesa complessiva, come risulta y in funzione di x? Disegna il grafico della funzione che hai trovato. 6) Considera i rettangoli di perimetro 0 ed indica con x e y le loro dimensioni. Come risulta y rispetto a x? Disegna il grafico della funzione che hai trovato. Quali valori di x puoi considerare?. Indica con x la misura della base e con y la misura dell altezza dei triangoli. Qual è la relazione che lega x e y? Esprimi y in funzione di x e disegna il grafico della funzione che hai ottenuto (naturalmente considera solo x > 0). 7) Considera i triangoli aventi area uguale a ( ) 8) Disegna il grafico della funzione f : x x +. Scrivi dominio, codominio e indica se è iniettiva. 9) Disegna il grafico della funzione f : x x. Scrivi dominio, codominio e indica se è una funzione iniettiva. 0) Disegna il grafico della funzione f : x x +. Scrivi dominio, codominio e indica se si tratta di una funzione iniettiva. ) Disegna il grafico della funzione una funzione iniettiva. f : x. Scrivi dominio, codominio e indica se si tratta di x ) Disegna il grafico della funzione f : x x +. Scrivi dominio, codominio e indica se si tratta di una funzione iniettiva. 68

11 Scheda per il recupero (FUNZIONI). Una funzione f : A B è una legge che associa ad.. di A.di B.. Indica, per ognuno dei seguenti diagrammi, se si tratta di una funzione:. Una funzione f : A B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono...di B. Una funzione f : A B si dice suriettiva se ogni elemento di B è.. di A. 4. Indica, per ognuno dei seguenti diagrammi, se la funzione è iniettiva o suriettiva: 5. Considera : x x + x R. Disegna il grafico della funzione in un sistema di riferimento cartesiano. La funzione è iniettiva? E suriettiva? (considera f : R R ). f con x numero reale ( ) 6. Considera f : x x con x R. Disegna il grafico di f(x). La funzione è iniettiva? E suriettiva? 7. Considera f : x x con x R.Disegna il grafico di f(x). La funzione è iniettiva? E suriettiva? (considera f : R R ). 69