ESERCIZI DA ESAMI ( ) Capacità portante di fondazioni superficiali

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1 ESERCIZI DA ESAMI ( ) Capacità portante di fondazioni superficiali Esercizio 1 Una fondazione rettangolare di dimensioni BxL è posta alla profondità D da p.c. su un terreno costituito da sabbia, avente angolo di resistenza al taglio φ' e peso di volume γ. La falda freatica è a grande profondità. Sulla fondazione agisce un carico centrato di intensità P con componente verticale V e orizzontale H nel piano trasversale. Determinare, disegnare nel piano H-V e commentare il dominio di rottura che si ottiene utilizzando i fattori correttivi di inclinazione del carico di Vesic, che per terreno incoerente sono: i q = (1 - tanα) m+1 i γ = (1 - tanα') m con α = arctan(h / V) m = (2 + B/L) / (1 + B/L) B (m) = 3 φ' ( ) = 35 L (m) = 9 γ (kn/m 3 ) = 19 D (m) = 1.5 Nel caso in esame la capacità portante è data dall'equazione: q f = q 0 N q s q d q i q + 0,5 γ B N γ s γ i γ in cui: q 0 = γ D = 28.5 kpa per φ' = 35 = rad N q = secondo Prandtl e Reissner N γ = secondo Vesic s q = s γ = secondo Meyerhof d q = secondo Hansen per D < B α = arctan(h / V) i q = (1 - tanα) m+1 secondo Vesic m = 1.75 i γ = (1 - tanα') m secondo Vesic Q f = V = q f B L (kn) da cui: 80 Dominio di rottura 60 V (MN) H (MN) 1

2 Il dominio mostra che la rottura può prodursi per capacità portante o per slittamento della fondazione sul piano di posa. Infatti a parità di componente orizzontale H vi sono due valori limite della componente verticale V che producono la rottura: il valore limite inferiore corrisponde alla rottura per slittamento, il valore limite superiore corrisponde alla rottura per capacità portante. α ( ) tan α i q i γ Q f = V H = V tanα P

3 Esercizio 2 Una fondazione rettangolare di dimensioni B x L è posta alla profondità D dal p.c. su uno strato di argilla consistente e satura di grande spessore. La falda freatica è alla profondità D w dal p.c. Stimare la capacità portante per carico verticale centrato a breve e a lungo termine della fondazione. B = 2.5 m c u = 65 kpa L = 3.5 m c' = 3 kpa D = 1.7 m φ' = 27 D w = 1.2 m γ = 21.5 kn/m 3 γ w = 9.81 kn/m 3 Capacità portante a breve termine (condizioni non drenate): q f = c u N c s c d c + q 0 N q s q d q per φ = 0 q 0 = γ D = kpa N c = 5.14 s c = 1 + 0,2 B/L = N q = 1 s q = 1 + 0,1 B/L = d c = 1 + 0,4 D/B = (D < B) da cui: d q = 1 q f = 525 kpa Q f = 4592 kn Capacità portante a lungo termine (condizioni drenate): q f = c' N c s c d c + q' 0 N q s q d q + 0,5 γ' B N γ s γ d γ per φ' = 27 = rad N c = (N q - 1) cotanφ' = N q = tan 2 (π/4 + φ'/2) exp(π tanφ') = N γ = 2 (N q + 1) tanφ' = q' 0 = γ D w + (γ - γ w ) (D - D w ) = kpa s c = 1 + 0,2 (B/L) (1+senφ') / (1-senφ') = s q = s γ = 1 + 0,1 (B/L) (1+senφ') / (1-senφ') = d c = 1 + 0,4 D/B = (D < B) d q = tanφ' (1 - senφ') 2 (D/B) = (D < B) d γ = 1 da cui: q f = 978 kpa Q f = 8554 kn Esercizio 3 Determinare la forza Q lim che produce la rottura a breve e a lungo termine della fondazione nastriforme di calcestruzzo rappresentata in figura. Il terreno di fondazione è omogeneo e NC. f.f. = p.c. B Qlim D D = 2 m B = 2.5 m γ cls = 25 kn/m 3 γ = 19.8 kn/m 3 γ w = 9.81 kn/m 3 c u = 30 kpa φ' = 25 3

4 a breve termine: essendo: Q lim + W = B (c u N c + γ D) W = γ cls B D = 125 kn/m N c = risulta: Q lim = kn/m a lungo termine: essendo: Q lim + W' = B (0.5 γ' B N γ + γ' D N q ) W' = (γ cls - γ w ) B D = kn/m φ' = rad N γ = N q = γ' = γ - γ w = 9.99 kn/m 3 risulta: Q lim = kn/m Esercizio 4 Eseguire le verifiche di capacità portante a breve e a lungo termine per una fondazione a base quadrata su argilla NC. Le caratteristiche geometriche della fondazione, le azioni applicate, e la resistenza al taglio a breve e a lungo termine dell'argilla sono le seguenti: lato della fondazione: B (m) = 2.7 profondità del piano di fondazione: D (m) = 2.2 azioni trasmesse al piano di fondazione: a breve termine a lungo termine N (kn) = Mx (kn m) My (kn m) falda coincidente con il piano campagna proprietà geotecniche: γ (kn/m 3 ) = 19 c u (kpa) = 60 c' (kpa) = 0 φ' ( ) = 25 lato della fondazione: B (m) = 2.7 profondità del piano di fondazione: D (m) = 2.2 azioni trasmesse al piano di fondazione: a breve termine a lungo termine N (kn) = M x (kn m) = M y (kn m) = falda coincidente con il piano campagna proprietà geotecniche: γ (kn/m 3 ) = 19 c u (kpa) = 60 c' (kpa) = 0 φ' ( ) = 25 verifica a breve termineq lim = c u N c s 0 c d 0 c + q e x = M x /N = m L eq = B - 2 e x = m e y = M y /N = m B eq = B - 2 e y = m 4

5 A eq = L eq B eq = m 2 φ = φ u = 0 N c = (2 + π) = s 0 c = (B eq /L eq ) = d 0 c = (D/B eq ) = q = γ D = 41.8 kpa q lim = 542 kpa q a = N/A eq = 240 kpa FS = (q lim - q)/(q a - q) = 2.52 verifica a lungo termineq lim = 0.5 γ' B eq N γ s γ + c' N c s c d c + q' N q s q d q e x = M x /N = m L eq = B - 2 e x = m e y = M y /N = m B eq = B - 2 e y = m A eq = L eq B eq = m 2 γ'=γ-γ w = 9 kn/m 3 φ = φ' = 25 = rad N q = s q = d q = N c = s c = d c = N γ = s γ = q' = γ' D = 19.8 kpa q lim = 491 kpa q a = N/A eq = 178 kpa FS = (q lim - q)/(q a - q) = 2.99 Esercizio 5 Un muro di sostegno grande lunghezza ha larghezza della fondazione B = 3 m ed è interrato a valle per una profondità D = 1 m. La falda è molto profonda. La risultante delle azioni trasmesse in fondazione ha componente verticale V = 282 kn/m e orizzontale H = 102 kn/m, ed eccentricità e = 0.4 m. I parametri rappresentativi della resistenza al taglio del terreno di fondazione sono: c' (kpa) = 0 φ' ( ) = 34 Il peso di volume è γ = 18 kn/m 3. Determinare il fattore di sicurezza a rottura. Soluzione Larghezza efficace di calcolo (Meyerhof): B' = B - 2e = 2.2 m I fattori di capacità portante per φ' = 34 = rad sono (Meyerhof): N q = exp(π tanφ') tan 2 (π/4 + φ'/2) = N γ = (N q - 1) tan(1,4 φ') = L'angolo α di inclinazione della risultante del carico rispetto alla verticale è: α = arctan (H / V) = rad = I fattori di inclinazione valgono (Meyerhof): i γ = (1 - α / φ') 2 = i q = (1-2α / π) 2 = La capacità portante vale: q lim = γ D N q i q + 0,5 γ B' N γ i γ = 428 kpa La capacità portante netta vale: q n, lim = q lim - γ D = 410 kpa La pressione netta alla base vale: q e = V / B' - γ D = 110 kpa Il fattore di sicurezza a rottura è: FS = q n, lim / q e =

6 Esercizio 6 Un serbatoio cilindrico per petrolio ha diametro Φ. La fondazione, di rigidezza trascurabile, è posta alla profondità D. Il carico totale massimo trasmesso dal serbatoio al terreno di fondazione vale Q. Il livello di falda coincide con il piano campagna. Il terreno di fondazione è costituito. da un deposito omogeneo di argilla N.C. di cui sono note le caratteristiche geotecniche medie. Determinare la capacità portante ed il coefficiente di sicurezza a breve e a lungo termine. Φ = 30 m w L = 71 (%) γ = 20 kn/m 3 D = 1 m w P = 24 (%) c u (kpa) = 60 kpa Q = 100 MN w = 50 (%) φ' = 22 A = π Φ 2 /4 = 707 m 2 q = 1000 Q/A = 141 kpa capacità portante di fondazione circolare: q lim = c N c ζ c + γ D N q ζ q γ Φ N γ ζ γ coefficienti di forma: fattori di capacità portante: ζ c = 1 + N q /N c N c = (N q - 1) cotφ ζ q = 1 + tanφ N q = tan 2 (45 + φ/2) exp(π tanφ) ζ γ = 0.6 a breve termine: (φ = φ u = 0 ) φ = φ u = 0 = rad 0 c = c u = 60 kpa γ = γ sat = 20 kn/m 3 N γ = 2 (N q + 1) tanφ N c = 5.14 ζ c = N q = 1.00 ζ q = 1 N γ = 0.00 ζ γ = 0.6 q lim = 388 kpa coeff. di sicurezza: FS = q lim /q = 2.75 a lungo termine: (c = c' = 0; φ = φ' ) φ = φ' = 22 = rad c = c' = 0 kpa γ = γ' = 10 kn/m 3 N c = ζ c = N q = 7.82 ζ q = N γ = 7.13 ζ γ = 0.6 q lim = 751 kpa coeff. di sicurezza: FS = q lim /q = 5.31 Esercizio 7 Determinare i coefficienti di sicurezza rispetto alla rottura a breve e a lungo termine della trave di fondazione in c.a. rappresentata in figura. La falda freatica coincide con il piano di fondazione. Le azioni sono trasmesse alla sommità della trave da pilastri eguali a interasse L. Si trascuri la resistenza al taglio del terreno di riporto. trave di fondazione D = 1.5 m B = 1.2 m a = 0.5 m 6

7 D a M b B N H terreno di fondazione terreno di riporto b = 0.4 m γ ca = 25 kn/m 3 terreno di riporto: γ R = 18 kn/m 3 terreno naturale: γ sat = 20 kn/m 3 φ' = 24 c' = 10 kpa c u = 80 kpa interasse pilastri: L = 8 m Azioni trasmesse alla base da ciascun pilastro: a) di breve durata: N a = 1200 kn H a = 80 kn M a = 15 kn m b) di lunga durata: N b = 900 kn H b = 70 kn M b = 12 kn m Azioni trasmesse al terreno di fondazione per ogni metro lineare di trave: Carico verticale 1) peso della trave: γ ca [B a + b (D-a)] = 25 kn/m 2) peso del terreno sovrastante la trave: γ R (B-b) (D-a) = 14.4 kn/m 3a) car. vert. trasmesso dai pilastri a breve termine: N a /L = 150 kn/m 3b) car. vert. trasmesso dai pilastri a lungo termine: N b /L = kn/m carico verticale in fondazione a breve termine: 1) + 2) + 3a) = n a = kn/m carico verticale in fondazione a lungo termine: 1) + 2) + 3b) = n b = kn/m Carico orizzontale a breve termine: H a /L = h a = 10 kn/m a lungo termine: H b /L = h b = 8.75 kn/m Momento al piano di fondazione: a breve termine: (M a + H a D)/L = m a = kn m/m a lungo termine: (M b + H b D)/L = m b = kn m/m Eccentricità della risultante: a breve termine: e a = m a /n a = m a lungo termine: e b = m b /n b = m Inclinazione della risultante: a breve termine: α a = arctan(h a /n a ) = rad = a lungo termine: α b = arctan(h b /n b ) = rad = Capacità portante formula generale di Meyerhof: q lim = 0,5 γ B N γ λ γ d γ i γ + c N c λ c d c i c + q N q λ q d q i q a) a breve termine, in condizioni non drenate, in termini di pressioni totali, si ha: c = c u = 80 kpa fattori di capacità portante φ = φ u = 0 N γ = 0 N c = N q = 1 fattori di forma, λ, e fattori di profondità, d tutti eguali a 1. fattori di inclinazione del carico: i c = i q = (1-2α/π) = i γ = (1-α/φ) 2 per φ>α, i γ = 0 per φ<=α i γ = 0 larghezza equivalente per eccentricità della risultante: B' = B - 2e = B - 2e a = m γ = γ sat = 20 kn/m 3 7

8 q = γ R D = 27 kpa q lim = 424 kpa Q lim = q lim B' = 433 kn/m FS = (Q lim - qb)/(n a - qb) = 2.55 b) a lungo termine, in condizioni drenate, in termini di pressioni efficaci, si ha: c = c' = 10 kpa fattori di capacità portante φ = φ' = 24 N γ = N c = N q = fattori di forma, λ, e fattori di profondità, d tutti eguali a 1. fattori di inclinazione del carico: i c = i q = (1-2α/π) = i γ = (1-α/φ) 2 per φ>α i γ = 0 per φ<=α i γ = larghezza equivalente per eccentricità della risultante: B' = B - 2e = B - 2e a = m γ = γ' = kn/m 3 q = γ R D = 27 kpa q lim = 472 kpa Q lim = q lim B' = 476 kn/m FS = (Q lim - qb)/(n b - qb) = 3.91 Esercizio 8 Una fondazione superficiale rettangolare, di dimensioni BxL, è posta alla profondità D su un terreno coesivo saturo, avente peso di volume γ, resistenza al taglio non drenata c u, e parametri di resistenza al taglio c' e φ'. La profondità della falda acquifera non è nota. Sulla fondazione agisce un carico verticale V con eccentricità e, ed un carico orizzontale H. La direzione dell'eccentricità e del varico verticale e la direzione della forza H non sono note. Verificare le condizioni di stabilità della fondazione a breve e a lungo termine. B (m) = 3 V (kn) = 1200 c u (kpa) = 60 L (m) = 4 H (kn) = 280 c' (kpa) = 0 D (m) = 1 e (m) = 0.2 φ' ( ) = 38 γ (kn/m 3 ) = Si fanno le seguenti ipotesi che corrispondono alle condizioni più critiche: 1. falda coincidente con il piano campagna, 2. eccentricità e forza orizzontale nella direzione del lato minore B Larghezza ridotta equivalente: B' = B - 2e = 2.6 m B'/L = 0.65 Stabilità a breve termine L e H q f = c u N c s c i c d c + γ D N c = 5.14 s c = 1 + (B/L) (1/N c ) = m = [2 + (B'/L)] / [1 + (B'/L)] = ic = 1 - m H / (B' L c u Nc) = d c = 1 + 0,4 D/B' = B q f (breve termine) = kpa 8

9 FS = q f B' L / V = 3.16 Stabilità a lungo termine q f = γ' D N s i d + 0,5 γ' B' N s i q q q q γ γ γ φ' (rad) = N q = N γ = γ' = γ - γ w = kn/m 3 s q = 1 + (B'/L) tanφ' = s γ = (1-0,4 B'/L) = i q = [1 - H / (V + B' L c' cotg φ')] m = i γ = i (m+1)/m q = d q = tan φ' (1 - sen φ') 2 D/B = q f (lungo termine) = 911 kpa FS = q f B' L / V = 7.90 Esercizio 9 Una fondazione rettangolare di dimensioni B x L è posta alla profondità D dal p.c. su uno strato di argilla consistente e satura di grande spessore. La falda freatica è alla profondità D w dal p.c. Stimare la capacità portante per carico verticale centrato a breve e a lungo termine della fondazione. B = 2.5 m c u = 65 kpa L = 3.5 m c' = 3 kpa D = 1.7 m φ' = 27 D w = 1.2 m γ = 21.5 kn/m 3 γ w = 9.81 kn/m 3 Soluzione Capacità portante a breve termine (condizioni non drenate): q f = c u N c s c d c + q 0 N q s q d q per φ = 0 q 0 = γ D = kpa N c = 5.14 s c = 1 + 0,2 B/L = N q = 1 s q = 1 + 0,1 B/L = d c = 1 + 0,4 D/B = (D < B) da cui: d q = 1 q f = 525 kpa Q f = 4592 kn Capacità portante a lungo termine (condizioni drenate): q f = c' N c s c d c + q' 0 N q s q d q + 0,5 γ' B N γ s γ d γ per φ' = 27 = rad N c = (N q - 1) cotanφ' = N q = tan 2 (π/4 + φ'/2) exp(π tanφ') = N γ = 2 (N q + 1) tanφ' = q' 0 = γ D w + (γ - γ w ) (D - D w ) = kpa s c = 1 + 0,2 (B/L) (1+senφ') / (1-senφ') = s q = s γ = 1 + 0,1 (B/L) (1+senφ') / (1-senφ') = d c = 1 + 0,4 D/B = (D < B) d q = tanφ' (1 - senφ') 2 (D/B) = (D < B) d γ = 1 9

10 da cui: q f = Q f = 978 kpa 8554 kn Esercizio 10 Una fondazione nastriforme di larghezza B è posta alla profondità D da piano campagna. Il terreno di fondazione è un'argilla satura avente peso di volume γ, resistenza al taglio media in condizioni non drenate c u, e parametri di resistenza al taglio c' e φ'. La falda freatica si trova alla profondità Z w = D dal p.c. Stimare la capacità portante per carico verticale centrato a breve e a lungo termine della fondazione (si trascuri il coefficiente di profondità). B = 2 m γ = 20 kn/m 3 D = 1 m c u = 80 kpa Z w = D = 1 m c' = 10 kpa φ' = 25 capacità portante a breve termine: capacità portante a lungo termine: q lim = c u N c + γ D q lim = c' N c + γ D N q + 0,5 γ' B N γ N c = 5.14 γ' = γ - γ w = kn/m 3 q lim = kpa φ' = rad N c = (N q - 1) cotgφ' = N q = tg 2 (π/4 + φ'/2) exp(π tgφ') = N γ = 2 (N q + 1) tgφ' = q lim = kpa Esercizio 11 La fondazione nastriforme rappresentata in figura è soggetta a pressoflessione. In condizioni di esercizio agisce una forza verticale Q 0 ed un momento M 0 = Q 0 e 0. 1) Calcolare e disegnare il dominio di rottura nel piano M (in ordinata) - N (in ascissa) della fondazione. 2) Calcolare l'incremento di forza verticale che produce la rottura a eccentricità e 0 costante. 3) Calcolare l'incremento di eccentricità che produce la rottura a forza verticale Q 0 costante. 4) Calcolare l'incremento di forza verticale che produce la rottura a momento M 0 costante. 5) Rappresentare nel dominio di rottura i punti corrispondenti alle condizioni di carico di esercizio e di rottura sopradette. e 0 D terreno incoerente asciutto Q 0 B larghezza della fondazione: B = 0.8 m profondità del piano di fondazione: D = 1.2 m peso di volume del terreno: γ = 19 kn/m 3 angolo di resistenza al taglio del terreno: φ' = 36 = rad coesione del terreno: c' = 0 kpa 10

11 forza verticale in condizioni di esercizio: Q 0 = 200 kn/m eccentricità di Q 0 : e 0 = 0.12 m 1. Dominio di rottura Q lim = B' (c N c + γd N q + 0,5 γb' N γ ) in condizioni di rottura N = Q lim B' = B - 2e γd = 22.8 kpa N q = N γ = Sostituendo e risolvendo si ottiene l'equazione: N = a e 2 + b e + c (1) in cui: a = 2 γ N γ = b = -2 γ (B N γ + D N q ) = c = γ B (D N q B N γ ) = M = N e e lim = B/2 = 0.4 m per l'equilibrio al ribaltamento alcuni punti del dominio di rottura: e N M = Ne dominio di rottura (m) (kn/m) (kn m/m) M (kn m/m) Condizioni di esercizio: e 0 Q 0 M 0 N (kn/m) (m) (kn/m) (kn m/m) punto 1 del grafico nella pagina seguente Incremento di forza verticale che produce la rottura a eccentricità e 0 costante. dalla (1) posto e = e 0 e risolvendo per N, si ottiene (equazione di 1 grado): Q lim (2) = 0.01 kn/m e = e 0 = 0.12 m Q (2) = kn/m M = 0.00 kn m/m punto 2 del grafico 3) Incremento di eccentricità che produce la rottura a forza verticale Q 0 costante. dalla (1) posto N = Q 0 e risolvendo per e, si ottiene (equazione di 2 grado): e lim (3) = m N = Q 0 = 200 kn/m e (3) = m M = kn m/m punto 3 del grafico 4) Incremento di forza verticale che produce la rottura a momento M 0 costante. dalla (1) posto e = M 0 /N e risolvendo per N, si ottiene (equazione di 3 grado): A N 3 + B N 2 + C N + D = 0 in cui: A = 1 B = -c =

12 C = -b M 0 = D = -a M 2 0 = a) soluzione analitica: p = E+05 y1 = q = E+07 N1 = kn/m Q = E+13 y2 = cos α = N2 = kn/m α = b) soluzione numerica (ricerca obiettivo F(N) = 0 al variare di N): N1 = kn/m N = N2 = kn/m F(N) = c) soluzione grafica (dal dominio di rottura) punti 4a e 4b del grafico 100 dominio di rottura 80 2 M (kn m/m) b 1 4a N (kn/m) coordinate per il grafico: punti linee x = N y = M x = N y = M a b Esercizio 12 Viene realizzata, per un muro di sotegno a mensola, una fondazione a base quadrata, di larghezza B = 2m,ad un aprofondità D = 1 m dal piano di campagna in un deposito di sabbia di elevato spessore. Tale deposito è caratterizzato da un peso di volume γ = 18 kn/m 3 sopra falda e da un peso di volume saturo γ sat = 20 kn/m 3 sotto falda e da un angolo di resistenza al taglio ϕ' = 35. Determinare la capacità portante della fondazione nell'ipotesi che il livello di falda sia: a) 5 m al di sotto della base del muro; b) 1 m al di sotto della base del muro; c) coincidente con la base del muro; 12

13 d) a 0.5 m dal piano di campagna e) coincidente col piano di campagna. B =L (m) = 2 D (m) = 1 γ (kn/m 3 ) = 18 γ sat (kn/m 3 ) 20 γ w (kn/m 3 ) 9.81 γ' (kn/m 3 ) = ϕ' ( ) = (rad) z w1 (m) = 6 z w2 (m) = 2 z w3 (m) = 1 z w4 (m) = 0.5 z w5 (m) = 0 Kp (-) = 3.7 Si determinano i fattori di capacità portante, di forma e di profondità della fondazione adottando la soluzione di Meyerhof (i fattori relativi alla coesione, Nc, s c e d c, non compaiono e la verifica viene effettuata in condizioni drenate dato il tipo il terreno di fondazione). N q (-) = e π tgϕ' tg(45 +ϕ'/2)= 33.3 N γ (-) = (N q - 1) tg(1.4 ϕ') = 37.2 s γ = s q (-) = B/L (tg(45 +ϕ')) (condizioni drenate) d γ = d q (-) = D/B tg(45 +ϕ') = 1.10 a) In tal caso la profondità della falda z w è maggiore di D+B, per cui è asciutto sia il terreno che costituisce il sovraccarico che quello interessato dalla rottura: q lim (kpa) = 1/2 γ B N γ s γ d γ + γ D N q s q d q = 1903 b) In tal caso la profondità della falda z w è compresa tra D e D+B, per cui è asciutto il terreno che costituisce il sovraccarico ma non quello interessato dalla rottura: q lim (kpa) = 1/2 [γ' +(γ-γ') (z w -D)/B] B N γ s γ d γ + γ D N q s q d q = 1685 c) In tal caso la profondità della falda z w è pari a D, per cui il terreno che costituisce il sovraccarico è asciutto mentre quello interessato dalla rottura è completamente saturo: q lim (kpa) = 1/2 γ' B N γ s γ d γ + γ D N q s q d q = 1467 d) In tal caso la profondità della falda z w è compresa tra 0 e D, per cui il terreno che costituisce il sovraccarico è in parte asciutto e in parte saturo, mentre quello interessato dalla rottura è completamente saturo: q lim (kpa) = 1/2 γ' B N γ s γ d γ + [γ z w + γ' (D-z w )] N q s q d q = 1272 e) In tal caso la profondità della falda z w è zero per cui sia il terreno che costituisce il sovraccarico che quello interessato dalla rottura sono completamente saturi: q lim (kpa) = 1/2 γ' B N γ s γ d γ + γ' D N q s q d q =