La modellazione dei fenomeni fisici; definizione di analisi numerica e buona posizione.

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1 Insegnamento Livello e corso di studio Settore scientifico disciplinare (SSD) Analisi Numerica Corso di Laurea in Ingegneria Industriale (L9) MAT/08 Anno di corso 2 (il corso non è attivo per studenti iscritti nell a.a. 2015/2016) Numero totale di crediti Propedeuticità Docente Obiettivi formativi 9 L'esame prevede le propedeuticità di Analisi I e II. Teresa Botti Facoltà: Ingegneria Nickname: botti.teresa teresa.botti@unicusano.it (da utilizzare solo per comunicazioni interne e amministrative) Orario di ricevimento: Consultare calendario videoconferenze sul sito d Ateneo. Scopo del corso è di presentare le metodologie di base per la soluzione di problemi numerici su calcolatori digitali; tale conoscenza viene presentata con riferimento ai problemi più comuni provenienti dalle applicazioni ingegneristiche. I risultati d apprendimento attesi sono i seguenti: Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding) Conoscenza e comprensione dei principali problemi affrontati nel calcolo numerico: la risoluzione di sistemi lineari mediante metodi diretti o metodi iterativi; la risoluzione di equazioni non lineari; il calcolo di autovalori e autovettori; l approssimazione di funzioni; l integrazione numerica; la risoluzione di equazioni differenziali ordinarie. Conoscenze e capacità di comprensione applicate (applying knowledge and understanding) Conoscenza e capacità di applicare gli algoritmi numerici utilizzati nell ambito del calcolo numerico per la soluzione dei principali problemi matematici: sistemi lineari, equazioni non lineari, autovalori e autovettori; interpolazione polinomiale; integrazione di funzioni; equazioni differenziali ordinarie. Il linguaggio di programmazione utilizzato nel corso di Analisi Numerica è Octave/Matlab. Autonomia di giudizio (making judgements) Capacità di scegliere un metodo per la soluzione di un particolare problema fisico-matematico e di discutere le caratteristiche della soluzione ottenuta. Abilità comunicative (communication skills) Capacità di utilizzare un linguaggio tecnico-scientifico coerente con le tematiche del calcolo numerico. Capacità di apprendere (learning skills) Capacità di applicare le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi fisico-matematico presenti in applicazioni ingegneristiche. Prerequisiti Contenuti del corso Conoscenza dei fondamenti dell Analisi Matematica e di Geometria. È consigliato avere le nozioni fondamentali di Informatica. Modulo 1 Introduzione al corso La modellazione dei fenomeni fisici; definizione di analisi numerica e buona posizione. 1

2 Modulo 2 Metodi numerici per equazioni non lineari 1. Metodi di bisezione, Newton, corde, secanti. 2. Metodo delle iterate per equazioni non lineari; teorema di punto fisso. 3. Condizioni di convergenza globali e locali. 4. Ordine dei metodi iterativi, analisi dell'ordine del metodo di Newton. Modulo 3 Elementi di programmazione nel linguaggio Octave/Matlab Modulo 4 Aritmetica in precisione finita e analisi degli errori 1. Rappresentazione dei numeri negli elaboratori. 2. Arrotondamento, precisione; proprietà delle operazioni aritmetiche. 3. Analisi dell'errore; numero di condizionamento. Modulo 5 Metodi numerici per l'algebra lineare 1. Richiami di algebra lineare. 2. Sistemi lineari, numero di condizionamento; sistemi triangolari. 3. Metodo di Gauss, fattorizzazione LU, LLT. 4. Problemi ai minimi quadrati: fattorizzazione QR. 5. Metodi iterativi per sistemi lineari: metodo di Jacobi e metodo di Gauss-Seidel; il metodo del Gradiente Coniugato. 6. Teoremi di convergenza e velocità dei metodi iterativi, teorema di Gershgorin. 7. Il calcolo degli autovalori: il metodo delle potenze, il metodo QR. Modulo 6 Interpolazione polinomiale 1. Interpolazione ed approssimazione dei dati, formalizzazione del problema ed esempi. 2. Polinomio interpolante nelle forme di Lagrange e Newton, differenze divise. 3. Errore nelle formule di interpolazione, differenze divise e derivate. 4. Interpolazione con spline cubiche. Modulo 7 Integrazione numerica 1. Formule di quadratura di tipo interpolatorio: analisi e grado di precisione. 2. Formule di Newton-Cotes e formule composite a schema fisso. 3. Analisi dell'errore. Modulo 8 Cenni alla integrazione delle equazioni differenziali ordinarie 1. Introduzione ai metodi per problemi di Cauchy. 2. Errori formule per problemi di Cauchy (propagazione, locale, totale). 3. Formula dei trapezi, cenno ai più semplici metodi Runge-Kutta. 4. Introduzione alla Stiffness: regione di assoluta stabilità, definizione di A-stabilità. All interno di ciascun modulo sono mostrati comandi e esempi di algoritmi in Octave/Matlab riferiti agli argomenti e ai problemi discussi. Materiali di studio Materiali didattici a cura del docente. Testi consigliati: Giuseppe Rodriguez, Algoritmi Numerici, Pitagora Editrice. Metodi didattici Modalità di verifica dell apprendimento Criteri per l assegnazione dell elaborato finale Il corso prevede: - lezioni preregistrate audio-video sulla base di slide disponibili in piattaforma; - test di autovalutazione da svolgere al termine di ciascun modulo; - lezioni in web-conference (realizzate durante il periodo didattico dell a.a. 2014/2015); - testi di appelli d esame precedenti con relativo svolgimento; - classi virtuali (all interno del forum presente in piattaforma), dove sono proposti esempi e lo svolgimento di esercizi sugli argomenti più significativi del corso, e dove gli studenti possono interagire con il docente. L'esame consiste in una prova scritta della durata di 90 minuti, contenente domande di teoria e/o esercizi sugli argomenti del corso. Nello svolgimento della prova è ammesso l'uso di calcolatrice tascabile non programmabile; non sono ammessi appunti o formulari di alcun tipo. Non sono accettate richieste di assegnazione della tesi finale. Programma esteso e materiale didattico di riferimento Modulo 1 - Lezione 1 Equazioni non lineari. Metodo di bisezione. Definizione di Analisi Numerica e di buona posizione 2

3 Modulo 2 - Lezione 1 Modulo 2 - Lezione 2 Modulo 2 Lezione 3 Modulo 2 Lezione 4 Modulo 3 Lezione 1 Modulo 3 Lezione 2 Modulo 3 Lezione 3 Modulo 4 Lezione 1 Modulo 4 Lezione 2 Modulo 4 Lezione 3 Modulo 4 Lezione 4 Modulo 5 Lezione 1 Modulo 5 Lezione 2 Modulo 5 Lezione 3 Modulo 5 Lezione 4 Modulo 5 Lezione 5 Modulo 5 Lezione 6 Modulo 5 Lezione 7 Modulo 5 Lezione 8 Modulo 5 Lezione 9 Modulo 5 Lezione 10 Equazioni non lineari: i polinomi. Procedimenti iterativi: convergenza e criteri di arresto; il metodo di bisezione. Metodo di bisezione. Metodo della regula falsi. Metodo delle secanti. Metodo di Newton. Convergenza (e ordine di convergenza) del metodo di Newton. Metodo di iterazione funzionale. Convergenza del metodo di iterazione funzionale. Convergenza (e ordine di convergenza) del metodo di iterazione funzionale e del metodo di Newton. Metodi Quasi-Newton. Metodi ibridi. Elementi di programmazione in Octave/Matlab: costanti numeriche, variabili, operatori; tipi di dato; script e funzioni; array; vettori. Elementi di programmazione in Octave/Matlab: matrici; istruzioni condizionali e istruzioni iterative. Elementi di programmazione in Octave/Matlab: programmazione di funzioni. Aritmetica dei calcolatori. Aritmetica fixed-point. Aritmetica floating-point, troncamento, arrotondamento. Aritmetica floating-point. Lo standard IEEE 754. Proprietà delle operazioni in aritmetica floating-point. Proprietà delle operazioni in aritmetica floating-point. Overflow. Errori di arrotondamento. Analisi degli errori. Numero di condizionamento. Somma di numeri floating-point e somma compensata. Algebra lineare: spazi lineari; matrici. Definizione di algoritmo. Matrici: determinanti. Autovalori e autovettori. Spazi lineari: norma di un vettore; prodotto scalare. Norme matriciali. Metodi diretti per sistemi lineari. Sistemi lineari semplici : matrice dei coefficienti diagonale, triangolare, ortogonale. Metodi diretti per sistemi lineari: il metodo di Gauss. Metodi diretti per sistemi lineari: il metodo di Gauss; pivoting. Condizionamento di un sistema lineare. Il metodo di Gauss e il teorema di Wilkinson. Metodi diretti per sistemi lineari: la fattorizzazione LU. Sistemi lineari e la fattorizzazione LU: sistemi ripetuti; calcolo dell inversa; calcolo del determinante. Pivoting: fattorizzazione PA=LU. Metodi diretti per sistemi lineari: qualità della soluzione; equilibratura; fattorizzazione LDU; fattorizzazione di Cholesky. Metodi diretti per sistemi lineari: problemi ai minimi quadrati; fattorizzazione QR. 3

4 Modulo 5 Lezione 11 Modulo 5 Lezione 12 Modulo 5 Lezione 13 Modulo 5 Lezione 14 Modulo 5 Lezione 15 Modulo 5 Lezione 16 Modulo 5 Lezione 17 Modulo 5 Lezione 18 Modulo 5 Lezione 19 Modulo 5 Lezione 20 Modulo 5 Lezione 21 Modulo 5 Lezione 22 Modulo 6 Lezione 1 Modulo 6 Lezione 2 Modulo 6 Lezione 3 Modulo 6 Lezione 4 Modulo 6 Lezione 5 Modulo 6 Lezione 6 Modulo 6 Lezione 7 Modulo 7 Lezione 1 Modulo 7 Lezione 2 Modulo 7 Lezione 3 Fattorizzazione QR: ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Fattorizzazione QR: matrici elementari di Householder; fattorizzazione QR di Householder; fattorizzazione QR di Givens. Metodi iterativi per sistemi lineari (del primo ordine): metodo convergente; metodo consistente; metodo lineare e stazionario del primo ordine; errore; condizioni necessarie e sufficienti alla convergenza globale di un metodo stazionario; criterio di arresto. Metodi iterativi per sistemi lineari: metodo di Jacobi; metodo di Gauss-Seidel; convergenza. Metodi iterativi per sistemi lineari: metodi di rilassamento; precondizionamento; i metodi di Richardson stazionari. Metodi iterativi per sistemi lineari e matrici sparse. Metodi iterativi per sistemi lineari: il metodo del gradiente. Metodi iterativi per sistemi lineari: il metodo del gradiente coniugato; i metodi di Krylov. Autovalori e autovettori. Localizzazione degli autovalori. Forme canoniche. Autovalori e autovettori: la forma canonica di Schur; matrici normali; sottospazi invarianti; autovalori e autovettori di matrici reali; la forma di Schur reale; forma canonica SVD. Autovalori e autovettori: il metodo delle potenze. Autovalori e autovettori: calcolo della forma di Schur; l algoritmo QR. Autovalori e autovettori: il condizionamento del calcolo degli autovalori. Interpolazione. Interpolazione polinomiale. Interpolazione polinomiale. Interpolazione polinomiale: polinomio interpolante di Lagrange. Interpolazione polinomiale: polinomio interpolante di Newton; le differenze divise. Interpolazione polinomiale: polinomio interpolante di Newton. Errore di interpolazione. Interpolazione polinomiale: distribuzione dei nodi; i nodi di Chebychev. Condizionamento della interpolazione. Interpolazione spline. Spline cubiche interpolatorie. Integrazione numerica. Formule di quadratura: la regola dei trapezi; la regola di Simpson. Formule di quadratura: grado di precisione. Formule di Newton-Cotes. Errore formule di quadratura. Errore formule di quadratura e convergenza. Formule composite: formula composita dei trapezi; formula composita di Simpson; grado di precisione; implementazione. 4

5 Modulo 7 Lezione 4 Modulo 7 Lezione 5 Modulo 8 Lezione 1 Modulo 8 Lezione 2 Modulo 8 Lezione 3 Modulo 8 Lezione 4 Formule di quadratura gaussiane. Polinomi ortogonali. Integrazione numerica: esercizi. Equazioni differenziali ordinarie: il problema di Cauchy. Equazioni differenziali ordinarie: metodi alle differenza finite; metodo di Eulero-Cauchy (esplicito); metodo di Eulero implicito; metodo del punto medio; metodo dei trapezi; metodo di Heun; formule di Runge-Kutta. Formule di Runge-Kutta. Analisi delle formule monostep: errori; metodo consistente; metodo zero-stabile; convergenza. Equazioni differenziali ordinarie: passo di integrazione; A-stabilità. 5