DINAMICA Corso d i Fisi i ca Fisi p er CT r F, F Facoltà d i Farm i acia, Univ e Univ rsità rsi G. D A D nnunzio, z Cosim io, o Del Grat Del ta 2 006

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1 DINAMICA

2 INTRODUZIONE La Dinamica è lo studio quantitativo del moto dei corpi in relazione alle interazioni tra i corpi stessi Ad esempio uno dei problemi della Dinamica è quello di stabilire in modo quantitativo quale sarà il moto di un corpo essendo note le sue interazioni con gli altri corpi nell Universo Esempi: moto di un proiettile, di un satellite artificiale, di una sonda spaziale, ecc.

3 DEFINIZIONE DI CONCETTI NUOVI La Cinematica ci ha fornito gli strumenti matematici per la descrizione del moto; tra questi vi sono alcune grandezze fisiche come la posizione, lo spostamento,la velocità, l accelerazione Nella Dinamica, per la descrizione delle interazioni tra corpi e degli effetti di queste interazioni è necessario introdurre due grandezze fisiche proprie della Dinamica: la massa e la forza. Inoltre introdurremo il concetto di punto materiale

4 MASSA La massa di un corpo è proporzionale alla quantità di materia contenuta in un corpo La massa di un corpo si può misurare per paragone con quella di un corpo preso come riferimento (bilancia) L unità di misura della massa nel sistema MKS (o sistema internazionale, SI) è il chilogrammo (kg) La massa è rappresentata da un numero (scalare) ed è sempre positiva (strettamente)

5 FORZA (1) L interazione tra corpi si descrive mediante il concetto di forza La forza è una grandezza vettoriale perché il vettore permette di rendere conto delle caratteristiche di intensità, direzione e verso dell interazione tra corpi Oltre a queste tre caratteristiche, la forza ne possiede una quarta: il punto di applicazione, che è il punto del corpo nel quale è esercitata la forza

6 FORZA (2) L effetto di diverse forze agenti simultaneamente su di un corpo è uguale a quello della loro somma vettoriale La somma vettoriale di tutte le forze agenti simultaneamente su di un corpo si chiama forza risultante

7 FORZA (3) La forza si può misurare mediante un dinamometro L unità di misura MKS (del modulo) della forza è il newton (N)

8 PUNTO MATERIALE (1) Il punto materiale è un punto nel senso della cinematica, dotato di una massa che è un concetto della dinamica Questo concetto è contraddittorio in quanto una massa presuppone un volume

9 PUNTO MATERIALE (2) In pratica un corpo può essere rappresentato da un punto materiale: 1) se le sue dimensioni possono essere trascurate rispetto a quelle del moto, ad esempio nel caso del moto della Terra attorno al Sole 2) se il fatto che il corpo abbia delle dimensioni non è rilevante ai fini della descrizione del moto. Ad esempio, in un moto traslatorio tutti i punti del corpo descrivono la stessa traiettoria, quindi in quel caso il moto del corpo è uguale a quello di uno dei suoi punti Per il momento ci occuperemo solo della Dinamica del punto materiale

10 PUNTO MATERIALE (3) Moto traslatorio rettilineo curvo

11 I PRINCIPI DELLA DINAMICA

12 PRINCIPI DELLA DINAMICA (Leggi di Newton) I Se un corpo non è soggetto ad alcuna forza, o è in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme II La risultante delle forze che agiscono su di un corpo è uguale al prodotto della massa per l accelerazione del corpo stesso F = ma III Se un corpo A esercita su di un corpo B una forza F, allora il corpo B esercita sul corpo A una forza uguale a F (uguale e contraria)

13 OSSERVAZIONI (1) (Primo principio) Il primo principio sembra già contenuto nel secondo. Infatti se F = 0 allora a = 0 e il corpo è in quiete o in moto rettilineo uniforme. Il primo principio afferma che lo stato naturale di un corpo (in assenza di forze) è indifferentemente la quiete o il moto rettilineo uniforme In realtà quest ultima affermazione non è sempre vera. Ad esempio non è vera su di un treno che accelera o su di una giostra che gira. Affronteremo il problema della validità dei principi di Newton quando parleremo dei sistemi di riferimento

14 OSSERVAZIONI (2) (Secondo principio) Nel secondo principio, la risultante F è la somma vettoriale di tutte (e sole) e le forze applicate al punto materiale che si prende in considerazione. Se la forza è una sola, la risultante è uguale a quella forza. In ogni caso, è importante osservare che ma è uguale alla risultante e non ad una diversa combinazione di forze E importante, nell applicazione pratica del secondo principio, distinguere quali forze sono applicate al punto materiale preso in considerazione, e quali sono invece applicate ad altri corpi

15 OSSERVAZIONI (3) (Secondo principio) E importante osservare che il secondo principio F = ma stabilisce un uguaglianza tra vettori. Ciò significa che, fissato un sistema di coordinate cartesiane, le componenti corrispondenti sono uguali: F x = ma x F y = ma y F z = ma z Il secondo principio è espresso da tre uguaglianze tra numeri

16 OSSERVAZIONI (4) (Terzo principio) Il terzo principio prende anche il nome di principio di azione e reazione: la forza F è la reazione associata all azione F Si noti che le forze F e F sono applicate a corpi diversi (F a B, e F ad A) Nelle applicazioni pratiche è importante individuare con precisione i corpi A e B Esempio: qual è la reazione? P

17 EQUILIBRIO (1) Un punto materiale è in equilibrio se la sua velocità è costante e uguale a zero Una posizione di equilibrio si dice stabile se dopo una piccola perturbazione il punto materiale ritorna e rimane nella posizione di equilibrio Una posizione di equilibrio si dice instabile se dopo una piccola perturbazione il punto materiale si allontana indefinitamente dalla posizione di equilibrio

18 EQUILIBRIO (2) Equilibrio stabile Equilibrio instabile

19 EQUILIBRIO (3) Condizione di equilibrio di un punto materiale Se un punto materiale è in equilibrio, allora ovvero F = 0 F x = 0 F y = 0 F z = 0! Questa condizione è necessaria ma non sufficiente

20 EQUILIBRIO (4) Condizione di equilibrio di un punto materiale Poiché la condizione di equilibrio di un punto materiale non è una condizione sufficiente, essa non serve a stabilire se un punto è in equilibrio. Essa serve a calcolare le forze su di un punto in equilibrio N Esempio: qual è l intensità della forza che il tavolo esercita sul blocco? P

21 FORZE

22 RUOLO DELLE FORZE (1) Le forze giocano un ruolo fondamentale nella risoluzione del problema del moto Dall equazione del moto a = F / m vediamo che per conoscere l accelerazione dobbiamo conoscere la risultante delle forze E quindi necessario disporre di leggi che descrivono le forze e permettono di calcolarle in ogni situazione

23 RUOLO DELLE FORZE (2) Leggi delle forze Principi della Dinamica, F = ma Cinematica, descrizione del moto

24 DIVERSI TIPI DI FORZA (1) Le forze fondamentali sono interazioni tra le particelle elementari costituenti la materia (protoni, neutroni, elettroni), generalmente queste forze sono azioni a distanza (o mediate da un campo) esse sono: 1) la forza di gravitazione universale 2) la forza elettromagnetica 3) la forza nucleare forte 4) la forza nucleare debole (in realtà quest ultima è stata unificata con la forza elettromagnetica)

25 DIVERSI TIPI DI FORZA (2) Queste forze si differenziano per: 1) l intensità, 2) il raggio d azione, 3) le particelle elementari che interagiscono per loro tramite Forza Intensità relativa Raggio d azione Gravitazionale Tutte Particelle Elettromagnetica 10-2 Particelle cariche Nucleare forte m Nucleoni Nucleare debole m Nucleoni ed elettroni

26 DIVERSI TIPI DI FORZA (3) Le forze non fondamentali sono riconducibili alle forze fondamentali, sono generalmente delle forze di contatto, cioè delle forze che agiscono tra corpi in contatto uno con l altro Queste forze costituiscono la maggioranza delle forze della vita quotidiana Esempi: forze molecolari, forza elastica, forze vincolari, forze di attrito

27 FORZA DI GRAVITA (1) (Forza di gravitazione universale) m 2 F 12 = - F 21 F 21 m 1 F 12 r G m 1 m 2 F 12 = F 21 = r 2 Costante di gravitazione universale: G = 6, m 3 /(kg.s 2 )

28 FORZA DI GRAVITA (2) Nella legge precedente, m 1 e m 2 sono due masse puntiformi (punti materiali) I corpi possono essere assimilati a dei punti materiali se la loro distanza r è molto maggiore delle loro dimensioni Se i due corpi sono sferici e omogenei, la formula è applicabile considerando tutta la massa di ogni corpo concentrata nel suo centro

29 FORZA DI GRAVITA (3) Forza peso La legge di gravitazione universale si semplifica nel caso di un corpo che si muove vicino alla superficie terrestre. In questo caso, uno dei due corpi che interagiscono è la Terra, e la forza è quella che essa esercita sull altro corpo, cioè il peso di quel corpo (si dice anche forza peso per evidenziare la distinzione con la massa del corpo)

30 FORZA DI GRAVITA (4) m P G mm T P = R T 2 GM T P = m R T 2 P = mg M T = massa della Terra R T = raggio della Terra GM T = costante = g R T 2 Accelerazione di gravità: g 9,81 m/s 2

31 FORZA DI GRAVITA (5) Nella formula precedente esprime il modulo della forza peso. In forma vettoriale: P = m g Secondo quanto detto sopra, g dovrebbe essere diretto verso il centro della Terra. In realtà esso devia leggermente verso l equatore per via dello schiacciamento ai poli e della forza centrifuga dovuta alla rotazione terrestre N g S

32 FORZA DI GRAVITA (6) In realtà g non è realmente costante ma varia sulla superficie terrestre per via della forza centrifuga che dipende dalla latitudine, e può anche variare localmente secondo la composizione della crosta terrestre. Il valore g = 9,81 m/s 2 è il valore medio alla nostra latitudine In pratica consideriamo sempre g costante e la superficie terrestre piana. La direzione di g definisce la verticale ed è ortogonale alla superficie terrestre m mg

33 FORZA DI GRAVITA (7) Applichiamo il secondo principio della dinamica ad un corpo che è soggetto solo alla forza peso F = ma mg = ma a = g Un corpo che è soggetto solo al suo peso ha un accelerazione uguale all accelerazione di gravità. Si dice che il corpo è in caduta libera m g

34 MASSA GRAVITAZIONALE E MASSA INERZIALE (1) Nella seconda legge di Newton e nella legge di gravitazione universale la grandezza massa ha rispettivamente significati diversi: Nella seconda legge di Newton, F = ma, la forza è proporzionale alla massa. Quanto maggiore è la massa di un corpo, tanto maggiore deve essere la forza applicata per ottenere una data accelerazione. Nella seconda legge di Newton, la massa rappresenta l inerzia del corpo, ovvero la sua riluttanza a variare la velocità Per questo motivo, nella seconda legge di Newton, la massa viene detta massa inerziale

35 MASSA GRAVITAZIONALE E MASSA INERZIALE (2) Anche nella legge di gravitazione universale, F = Gm 1 m 2 /r 2, la forza è proporzionale alla massa. Ma qui il significato è diverso. Quanto maggiore è la massa di un corpo, tanto maggiore è la forza gravitazionale con la quale interagisce con un altro corpo. Nella legge di gravitazione universale, la massa rappresenta la sorgente della forza di gravità Per questo motivo, nella legge di gravitazione universale, la massa viene detta massa gravitazionale

36 MASSA GRAVITAZIONALE E MASSA INERZIALE (3) Nessun esperimento è riuscito a mettere in evidenza una differenza numerica tra massa inerziale e massa gravitazionale Ad esempio, nella caduta libera, se la massa inerziale e la massa gravitazionale fossero diverse per un corpo, questo avrebbe un accelerazione diversa da g m I a = m G g a = (m G /m I )g se a = g per tutti corpi, allora m I = m G numericamente (m I e m G restano grandezze fisiche diverse) D ora in avanti non distingueremo tra massa inerziale e massa gravitazionale

37 OSSERVAZIONI Il peso è una nozione molto familiare e per questo si può usare come termine di paragone. Ad esempio, quanto è intensa una forza di 1N? Ponendo mg = 1N, otteniamo m 0,102 kg. Quindi una forza di 1N è uguale al peso di un oggetto di circa 100 grammi Quanto è intensa la forza di gravità tra due oggetti di dimensioni tipiche della vita quotidiana? Se poniamo nella formula F = Gm 1 m 2 /r 2, m 1 = m 2 = 1kg e r = 1m, otteniamo F N = 0, N che è uguale al peso di una massa di kg cioè sette milionesimi di milligrammo. Questo esempio illustra il fatto che la forza di gravità è molto debole

38 FORZA ELETTROSTATICA (1) La seconda interazione fondamentale è la forza elettromagnetica. Essa agisce tra corpi dotati di carica elettrica La carica elettrica è una proprietà delle particelle elementari che costituiscono la materia. Vi sono due tipi di carica elettrica: quella del protone (positiva) e quella dell elettrone (negativa). Entrambe queste cariche hanno lo stesso valore assoluto: 1, C La forza che agisce tra due cariche a riposo si chiama forza elettrostatica. Il caso di cariche in movimento è più complesso e sarà trattato in seguito

39 FORZA ELETTROSTATICA (2) (Forza di Coulomb) F 12 = - F 21 q 2 F 21 F 21 q 1 q 2 > 0 q 1 q 2 < 0 q 1 F 12 r k e q 1 q 2 F 12 = F 21 = r 2 F 12 Costante elettrostatica: k e = kg.m 3 /(A 2 s 4 )

40 FORZA ELETTROSTATICA (3) Confrontiamo l intensità della forza gravitazionale e della forza elettrostatica Consideriamo due protoni posti ad una distanza r l uno dall altro m p = 1, kg q p = 1, C calcoliamo il rapporto tra i moduli delle due forze F e /F g = (k e q p2 /r 2 ) / (Gm p2 /r 2 ) = (k e q p2 ) / (Gm p2 ) F e /F g = [ (1, ) 2 ] / [6, (1, ) 2 ] F e /F g =

41 FORZE MOLECOLARI (1) Sono le forze che agiscono tra molecole Esse sono riconducibili alla forza elettrostatica Anche se una molecola è globalmente neutra (somma algebrica delle cariche = 0), le cariche positive e negative occupano posizioni diverse all interno della molecola e, di conseguenza, le forze che esse esercitano all esterno della molecola non si cancellano esattamente e la loro risultante è diversa da zero, benché debole

42 FORZE MOLECOLARI (2) Le forze molecolari agiscono, ad esempio, tra le molecole di un liquido o di un gas. In particolare, nel caso di un liquido, sono le forze molecolari che mantengono le molecole vicine le une alle altre E complicato dare una formula per descrivere queste forze: ne daremo una descrizione qualitativa

43 FORZE MOLECOLARI (3) F Grafico della forza esercitata dalla molecola 1 sulla molecola 2 per F < 0 la forza è attrattiva per F > 0 la forza è repulsiva r d ~r 7 F = - F r/r 1 2 r F

44 FORZA ELASTICA (1) Le forze elastiche sono generate dalla deformazione di un solido Una deformazione elastica è una deformazione non permanente. Quando cessa la causa della deformazione il solido ritorna alla sua forma originaria Una deformazione plastica è una deformazione permanente. Quando cessa la causa della deformazione il solido non ritorna alla sua forma originaria Esiste un limite nella deformazione di un solido oltre il quale una deformazione elastica diventa plastica. E il limite elastico del solido

45 FORZA ELASTICA (2) La legge di Hooke afferma che quando un solido subisce una deformazione elastica esso esercita (sul corpo che produce la deformazione) una forza proporzionale alla deformazione stessa e di verso opposto alla deformazione riposo compressione allungamento

46 FORZA ELASTICA (3) La forza esercitata dalla molla ha la direzione della deformazione e verso opposto Il valore algebrico della forza è F = - k x, dove x è la deformazione (allungamento o compressione) e il coefficiente k di proporzionalità è la costante elastica della molla L unita di misura MKS della costante elastica della molla è N/m = kg/s 2 Se L è la lunghezza a riposo della molla, la sua lunghezza durante la deformazione è L+x (con x positivo o negativo)

47 FORZA ELASTICA (4) k L F = - k x 0 x L = lunghezza a riposo della molla k = costante elastica della molla (N/m) x = deformazione della molla (allungamento: x > 0; compressione: x < 0)

48 FORZA ELASTICA (5) Massa attaccata ad una molla All equilibrio F = 0 mg kx = 0 mg = kx x = mg / k m 0 x F = -kx P = mg L allungamento della molla è proporzionale al peso del corpo Affiancando la molla ad una scala graduata si ha uno strumento per la misura del peso di un corpo (dinamometro)

49 FORZE VINCOLARI (1) Reazioni vincolari Sono forze che limitano le possibilità di movimento di un corpo (si dice che il moto è vincolato) Generalmente si tratta di forze elastiche generate dalla deformazione del corpo che costituisce il vincolo Anche se si può descrivere quantitativamente la deformazione dei corpi, in molti casi non è necessario né utile un tale livello di complessità Le reazioni vincolari si possono calcolare mediante la seconda legge di Newton

50 FORZE VINCOLARI (2) Esempi Reazione di un piano. R è ortogonale al piano che vincola il moto. R si chiama anche forza normale R P In questo caso il corpo è in equilibrio e F = 0 P R = 0 R = P la reazione è uguale al peso del corpo

51 FORZE VINCOLARI (3) Esempi Piano inclinato. R è ortogonale al piano quindi non è parallela alla forza peso. Il corpo non è in equilibrio (perché F 0): scivola (senza attrito) sul piano inclinato R P

52 FORZE VINCOLARI (4) Esempi Scegliamo un sistema di assi cartesiani e e esprimiamo le componenti di P e R rispetto a questi assi y m P x = mg sen P y = - mg cos R R x = 0 R y = R F x = ma x F y = 0 mg sen = ma x R mg cos = 0 P x a x = g sen R = mg cos

53 Tensione di un filo FORZE VINCOLARI (5) Esempi All equilibrio F = 0 mg T = 0 T T = mg mg

54 Tensione di un filo FORZE VINCOLARI (6) Esempi - T T Se la massa del filo è trascurabile, il filo trasmette invariata la tensione all altra estremità mg

55 Tensione di un filo FORZE VINCOLARI (7) Esempi m T T Altrimenti la tensione trasmessa all altra estremità è aumentata del peso del filo T = T + m g mg

56 FORZE DI ATTRITO (1) Quando due solidi sono in contatto, generalmente essi esercitano l uno sull altro delle forze che si oppongono o impediscono il moto di scorrimento di un solido rispetto all altro. Queste forze si chiamano forze di attrito. (Esiste anche l attrito tra solido e liquido, o tra solido e gas, o tra liquido e liquido, ecc.) Esistono due tipi di attrito: statico e dinamico. Nell attrito statico il movimento è impedito del tutto, nell attrito dinamico il movimento non è impedito ma la forza di attrito vi si oppone, nel senso che essa agisce nel verso opposto alla velocità

57 FORZE DI ATTRITO (2) Attrito statico Vi è attrito statico quando, benché una forza sia applicata ad un corpo, questo resta fermo Il corpo è in equilibrio sotto l azione della forza applicata e della forza di attrito statico In questo caso non vi è una formula per esprimere la forza di attrito: si deve usare la legge dell equilibrio

58 FORZE DI ATTRITO (3) Attrito statico S F as All equilibrio F = 0 S F as = 0 F as = S

59 FORZE DI ATTRITO (4) Attrito statico N Vi è un limite superiore all intensità della forza di attrito statico. Esso è dato dal prodotto della reazione del piano N per il coefficiente di attrito statico s F as s N Se la forza applicata è maggiore di s N, il corpo si muove

60 FORZE DI ATTRITO (5) Attrito dinamico v L attrito dinamico si ha invece quando il corpo si muove e una forza di attrito si oppone al movimento Il corpo non è in equilibrio

61 FORZE DI ATTRITO (6) Attrito dinamico N La forza di attrito dinamico è data dal prodotto della reazione del piano N per il coefficiente di attrito dinamico d F ad = d N Osserviamo che la forza di attrito dinamico è costante

62 FORZE DI ATTRITO (7) Attrito dinamico S v F ad II legge di Newton F = ma S F ad = ma a = (S F ad )/m

63 FORZE DI ATTRITO (8) Coefficienti di attrito I coefficienti di attrito (sia statico che dinamico) hanno le seguenti proprietà: 1) dipendono solo dai materiali che costituiscono i corpi in contatto 2) non dipendono dalla massa dei corpi in contatto 3) non dipendono dall area della superficie di contatto 4) per una data coppia di materiali, il coefficiente di attrito statico è maggiore del coefficiente di attrito dinamico

64 FORZE DI ATTRITO (9) Piano inclinato con attrito dinamico F ad = d N = d m g cos y F ad m N P x = mg sen P y = - mg cos N x = 0 N y = N F adx = - d m g cos F ady = 0 P x

65 FORZE DI ATTRITO (10) Piano inclinato con attrito dinamico F ad = d N = d m g cos y F ad m P N x F x = ma x F y = 0 mg sen - d mg cos = ma x N mg cos = 0 a x = g (sen - d cos ) N = mg cos

66 FORZE DI ATTRITO (11) Piano inclinato con attrito statico y F ad m N P x = mg sen P y = - mg cos N x = 0 N y = N F asx = - F as F ady = 0 P x