Poligoni e triangoli

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1 Poligoni e triangoli Def: I poligoni sono figure geometriche formate da una spezzata chiusa semplice e dalla parte di piano che essa delimita.. I punti A, B, C, D, E sono i vertici del poligono. I segmenti AB, BC, CD,, DE AE sono i lati del poligono. Due lati con un vertice in comune si dicono consecutivi. Es. AB e BC sono consecutivi. Due vertici con un lato in comune si dicono consecutivi. Es. C e D sono consecutivi. Un poligono si indica elencando i vertici nell ordine. Poligono ABCDE. La somma delle lunghezze dei lati del poligono si chiama perimetro e si indica con 2p. Il semiperimetro (ossia metà perimetro) si indica con p. 2p = AB + BC + CD + DE + AE = = 14 cm p = p 2 = 14 2 = 7 cm Due poligoni che hanno lo stesso perimetro si dicono isoperimetrici. Angoli interni di un poligono Un poligono ha tanti angoli quanti sono i suoi vertici e i suoi lati. Questi sono gli angoli interni del poligono. Un angolo si dice compreso tra i due lati che hanno origine nel suo vertice. Es. l angolo α è compreso tra i lati AB e. AE Un lato si dice adiacente a ciascuno dei due angoli che forma con gli altri due lati consecutivi. Es. il lato AB è adiacente agli angoli α e β. 1

2 Angoli esterni di un poligono In un poligono ci sono anche angoli esterni. L angolo esterno è l angolo adiacente a un angolo interno del poligono. Si individuano prolungando i lati del poligono. L angolo interno e l angolo esterno adiacente sono supplementari. L angolo α è interno, l angolo α è esterno. α + α = 180 Si chiamano diagonali i segmenti che si ottengono collegando i vertici NON consecutivi di un poligono. I segmenti AC, AD, BE, BD, CE sono le diagonali del poligono ABCDE. Classificazione dei poligoni nome lati angoli triangolo 3 3 quadrilatero 4 4 pentagono 5 5 esagono 6 6 ettagono 7 7 nome lati angoli ottagono 8 8 ennagono 9 9 decagono endecagono dodecagono Un poligono può essere: Equiangolo: se ha tutti gli angoli congruenti (es. rettangolo) Equilatero: se ha tutti i lati congruenti (es. rombo) Regolare: se è sia equiangolo che equilatero (es. quadrato) 2

3 Proprietà: Un poligono si dice CONVESSO se i suoi angoli sono convessi. Si dice CONCAVO se almeno un angolo è concavo. Poligono convesso poligono concavo 3

4 I triangoli sono poligoni con tre lati e tre angoli. I triangoli Ogni lato è adiacente ai due angoli che forma con gli altri due lati ed è opposto all angolo formato dagli altri lati. Es. il lato AB è adiacente agli angoli A e B ed è opposto all angolo C. Classificazione dei triangoli in base all ampiezza degli angoli. 1. Triangolo acutangolo: ha tre angoli acuti (< 90 ) 2. Triangolo ottusangolo: ha un angolo ottuso e gli altri due acuti. 90 < C < 180 A e B sono acuti 3. Triangolo rettangolo: ha un angolo retto e gli altri due acuti. 4

5 C = 90 A e B sono acuti In un triangolo rettangolo il lato opposto all angolo retto si dice IPOTENUSA. Gli altri due lati (che formano l angolo retto) si dicono CATETI. Ipotenusa: AB perché C = 90 Cateti: AC e BC Classificazione dei triangoli secondo i lati. 1. Triangolo scaleno: quando i suoi tre lati sono uno diverso dall altro. ABC è scaleno: AB BC CA. Anche gli angoli sono diversi: A B C 2. Triangolo isoscele: quando ha due lati congruenti. ABC è isoscele: BC. CA BC e CA sono i lati, AB è la base. Gli angoli alla base sono congruenti: A B DEF è isoscele: DF. DE DF e DE sono i lati, EF è la base. Gli angoli alla base sono E F 5

6 3. Triangolo equilatero: quando tutti e tre i lati sono congruenti. ABC è isoscele: AB BC AC. Anche gli angoli sono congruenti e ciascuno misura 60. A B C = 60 Il triangolo equilatero è quindi un poligono regolare. Dati tre segmenti, è sempre possibile costruire un triangolo? NO!!! Proprietà In un triangolo ogni lato è minore della somma e maggiore della differenza degli altri due lati. AB < BC + AC infatti 10 < AB > BC AC infatti 10 < 8 3 6

7 Criteri di congruenza dei triangoli I criteri di congruenza permettono di stabilire se due triangoli sono congruenti. Primo criterio di congruenza (LAL) Due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l angolo compreso tra essi congruenti. Se: AB A B BC B C AB C A B C Allora per il primo criterio di congruenza ABC A B C Secondo criterio di congruenza (ALA) Due triangoli sono congruenti se hanno due angoli e il lato compreso tra essi congruenti. Se: AB A B AB C A B C CA B C A B Allora per il secondo criterio di congruenza ABC A B C Terzo criterio di congruenza (ALA) Due triangoli sono congruenti se hanno i lati rispettivamente congruenti. Se: AB A B BC B C AC A C Allora per il terzo criterio di congruenza ABC A B C 7

8 Somma degli angoli interni di un triangolo La somma delle ampiezze dei tre angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto (180 ). Dimostrazione Ipotesi Tesi ABC triangolo qualsiasi AB C + BC A + CA B = 180 Traccio la retta b passante per A e B, poi la retta a parallela a b passante per C. Abbiamo quindi due parallele a b tagliate da due trasversali, c e d, ottenute prolungando i lati AC e BC 8

9 Proprietà In un triangolo ogni angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti ad esso. 9

10 Elementi e punti notevoli dei triangoli L altezza di un triangolo è il segmento di perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto ad esso o al suo prolungamento. Il punto di intersezione delle tre altezze di un triangolo si chiama ORTOCENTRO. Nei triangoli acutangoli l ortocentro è interno al triangolo: 10

11 Nei triangoli ottusangoli l ortocentro è esterno al triangolo: Nei triangoli rettangoli l ortocentro coincide con il vertice dell angolo retto 11

12 La mediana di un triangolo è il segmento che unisce un vertice con il punto medio del lato opposto CM mediana relativa ad AB AT mediana relativa ad BC BN mediana relativa ad AC Il punto di intersezione delle tre mediane di un triangolo si chiama BARICENTRO Proprietà: 1. Il baricentro è sempre interno al triangolo 2. Il baricentro divide ciascuna mediana in due parti che sono una il doppio dell altra. CQ = 2QM AQ = 2QT BQ = 2QN La bisettrice di un angolo di un triangolo è la semiretta con origine nel vertice dell angolo e che suddivide l angolo in due parti congruenti. Il punto di intersezione delle tre bisettrici di un triangolo si dice INCENTRO. Proprietà: 1. L incentro è un punto interno al triangolo 12

13 2. L incentro è equidistante dai tre lati L asse di un triangolo è l asse relativo a un suo lato (asse di un segmento: retta perpendicolare al segmento nel suo punto medio). I tre assi di un triangolo si intersecano in un punto detto circocentro. Se il triangolo è acutangolo il circocentro è interno al triangolo. Se il triangolo è rettangolo il circocentro coincide con il punto medio dell ipotenusa. Se il triangolo è ottusangolo il circocentro è esterno al triangolo. 13

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