Introduzione alla meccanica quantistica. Vincenzo Barone

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1 Accademia delle Scienze di Torino 9 novembre 2017 Introduzione alla meccanica quantistica Vincenzo Barone barone@to.infn.it

2 Parte I: Le basi della meccanica quantistica (questioni didattiche) Parte II: Elementi di meccanica quantistica per la fisica delle particelle

3 Sviluppo storico Corpo nero (teoria di Planck, 1900) Effetto fotoelettrico (teoria di Einstein, 1905) Atomo di idrogeno (teoria di Bohr, 1913) Particelle come onde (ipotesi di de Broglie, 1924) Meccanica ondulatoria (eq. di Schrödinger, 1926)

4 Le basi sperimentali L esperimento di Franck e Hertz (1914) L effetto Compton (1922) L esperimento di Davisson e Germer (1927) L esperimento della doppia fenditura

5 Gli aspetti formali Caratterizzazione degli stati (vs. caso classico) Predizioni e misure quantistiche

6 Teoria di Planck del corpo nero (1900) Predizione classica Modello di Planck (1900) Energia scambiata In modo continuo Energia scambiata In multipli di hf Costante di Planck: h = 6, J s

7 Radiazione cosmica di fondo

8 Effetto fotoelettrico Emissione di elettroni da lamine metalliche illuminate con luce UV

9 L energia cinetica degli elettroni non dipende dall intensità della luce, ma dalla sua frequenza C è un effetto di soglia: la frequenza di soglia dipende dal metallo La pendenza di E(f) è universale

10 Teoria di Einstein dell effetto fotoelettrico (1905) La luce è costituita da quanti localizzati di energia hf («fotoni») L effetto fotoelettrico consiste nell urto di fotoni su elettroni (legati) Conservazione dell energia nell urto: Non c è effetto per frequenze Relazione energia quantità di moto per un fotone Quantità di moto di un fotone

11 Effetto Compton (1922) La radiazione diffusa da elettroni liberi ha una lunghezza d onda diversa da quella della radiazione incidente. La differenza dipende solo dall angolo di diffusione Interpretazione: urto elastico di un fotone su un elettrone libero

12 Modello di Bohr dell atomo di idrogeno (1913) L atomo di idrogeno è costituito solo da un protone e da un elettrone La costante di Planck permette di costruire una quantità con le dimensioni fisiche di una lunghezza r = ħ 2 me 2

13 Esistono stati stazionari nei quali l atomo non irraggia Orbite circolari con momento angolare quantizzato mvr = nħ Raggi delle orbite Energia

14 Righe spettrali Postulando che l atomo irraggi solo quando passa da uno stato stazionario a un altro, e che la frequenza emessa sia legata alla differenza di energia tra i due stati dalla relazione di Planck-Einstein, si trova la legge delle righe spettrali

15 Esperimento di Franck e Hertz (1914) Conferma dell esistenza di livelli discreti di energia negli atomi

16 Ipotesi di de Broglie (1924) Una particella di quantità di moto p si comporta come un onda la cui lunghezza d onda è inversamente proporzionale a p secondo la relazione Quando la lunghezza d onda è molto piccola, come nel caso dei corpi macroscopici, il comportamento ondulatorio è invisibile (limite dell ottica geometrica) Nel caso di un elettrone di 100 ev, la lunghezza d onda è dell ordine di m

17 Esperimento di Davisson e Germer (1927)

18 Equazione di Schrödinger (1926) E l equazione d onda quantistica di una particella Permette di determinare la funzione d onda ψ (x, t) della particella Interpretazione probabilistica della funzione d onda (Born): Il modulo quadro della funzione d onda ψ(x, t) 2 rappresenta la probabilità che la particella si trovi in x al tempo t

19 Particella libera Onde piane ψ x, t = A e 2πi x λ ft Pacchetto d onda

20 Particella confinata Onde stazionarie

21 Stati fisici come vettori La funzione d onda è un vettore a infinite componenti nel campo complesso ψ 2 ψ ψ 1 ψ 2 ψ 3 ψ 4 ψ 1 Gli stati fisici sono rappresentati da vettori (e si sommano come vettori) Per esempio, lo stato di spin di un elettrone è un vettore a due componenti

22 L esperimento della doppia fenditura Si sommano le ampiezze di probabilità (funzioni d onda), non le probabilità

23 10 elettroni Merli, Missiroli, Pozzi (1976) Tonomura et al. (1989) 200 elettroni 6000 elettroni elettroni elettroni

24 Atomo di idrogeno Funzione d onda dello stato fondamentale

25 Numeri quantici dell atomo di idrogeno

26 Principio di indeterminazione di Heisenberg (1927) Indeterminazione in x: apertura Δx Indeterminazione in p: quantità di moto trasversale Δp x p h 4π Indeterminazione energia-tempo E t ~ħ

27 Effetto tunnel Le particelle quantistiche possono attraversare barriere di potenziale Energia potenziale Posizione

28 Microscopio a scansione a effetto tunnel

29 Atomi di ferro su una superficie di rame

30 L equazione di Dirac Spin dell elettrone e antiparticelle (positroni)

31 Meccanica quantistica + Relatività speciale = Teoria quantistica dei campi Una particella si propaga da 1 a 2 Una coppia particella-antiparticella si crea in 2 e si annichila in 1 Il numero di particelle non è conservato: la «meccanica» non basta

32 I campi quantistici Un insieme di infiniti oscillatori quantizzati Quando tutti gli oscillatori sono nello stato fondamentale si ha il vuoto (L energia di punto zero del vuoto può generare forze) Quando un oscillatore salta in uno stato eccitato si crea una particella Le particelle sono eccitazioni dei campi quantistici che si propagano Superamento del dualismo particelle-campi

33 Interazione come scambio di particelle 1 Le particelle di materia 1 e 2 interagiscono scambiandosi una «particella di forza» virtuale 2 «Virtuale» significa che: a) non vale la consueta relazione energia-momento b) nel vertice è violata la conservazione dell energia c) la particella «vive» per un tempo limitato

34 Raggio di interazione Scambio di una particella virtuale di massa M Violazione della conservazione dell energia al vertice: permessa per un tempo Lunghezza d onda Compton della particella scambiata la particella scambiata si propaga per una distanza massima Raggio dell interazione inversamente proporzionale alla massa della particella scambiata

35 Cariche: sorgenti dell interazione Per es.: i quark hanno carica elettrica, debole e forte i neutrini hanno solo carica debole Le cariche sono quantizzate, additive e conservate Costanti di accoppiamento: misurano l intensità dell interazione Potenziale d interazione (a piccole distanze) Cariche Costante di accoppiamento Raggio di interazione

36 Forza (N) L andamento delle forze forte e.m. debole gravità Distanza (fm) ( M. Kobel. TU Dresden)

37 Il caso dell interazione gravitazionale Decine di ordini di grandezza più debole delle altre tre interazioni

38 Grandezze fondamentali e costanti di natura Relatività speciale: velocità della luce nel vuoto c = m/s Meccanica quantistica: costante di Planck ħ = J s = ev s

39 C è una terza costante fondamentale, la costante di Newton G = N m 2 /kg 2, che governa I fenomeni gravitazionali Combinando le tre costanti c, ħ e G si ottengono tre scale naturali: di massa-energia, di lunghezza, di tempo Le scale di Planck E P c G GeV Energia di Planck L P G c m Lunghezza di Planck T P G c s Tempo di Planck

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41 Bibliografia L. Lederman e C. Hill, Fisica quantistica per poeti, Bollati Boringhieri Lezioni di Feynman (III volume) D. Z. Albert, Meccanica quantistica e senso comune, Adelphi L. Susskind, Meccanica quantistica, Raffaello Cortina G. Ghirardi, Un occhiata alle carte di Dio, Il Saggiatore

42 EXTRA

43 Legge dello spostamento di Wien

44 Oscillatore armonico

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