λ = neπa 2 (1) 1- la carica elettrica λ presente per unità di lunghezza,

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1 1 Esercizio 1 - Protoni con carica elettrica e viaggiano con velocità v ( non relativistica) nel verso dell'asse costituendo un lungo fascio a sezione circolare di raggio a. Il numero di protoni presenti nel fascio per unità di volume è pari ad n. Si calcoli: v 1- la carica elettrica λ presente per unità di lunghezza, - il campo elettrico E ( direzione, verso e modulo) nei punti interni al fascio ( distanza dall'asse r < a), 3- il campo di induzione magnetica B ( direzione, verso e modulo) nei punti interni al fascio ( distanza dall'asse r < a), 4- la forza totale agente su ciascun protone ( direzione, verso e modulo). Si dica, inoltre, se il fascio tende ad espandersi o a contrarsi nel verso di moto dei protoni. 5- Nel caso di un fascio identico ma costituito da elettroni, la forza agente sugli elettroni ha lo stesso verso del caso precedente o verso opposto? Soluzione: 1 - La carica per unità di lunghezza è pari alla carica presente in una parte di fascio di lunghezza pari a 1 m. Ma tale carica è la carica contenuta in un cilindro di sezione πa e altezza 1, uindi di volume V = πa. Poichè la densità di carica presente nel fascio è ρ = n e, la carica contenuta in tale cilindro è λ = ρv, cioè: λ = neπa (1) - La distribuzione di carica ha simmetria cilindrica, dunue il campo elettrico è diretto radialmente ( rispeto all'asse di simmetria ) e in verso uscente essendo la carica positiva. Il campo è, inoltre costante su delle superfici cilindriche concentriche con l'asse. Il valore del campo si ottiene applicando il Teorema di Gauss ad una superficie di Gauss cilindrica chiusa di lunghezza h con asse coincidente con e di raggio r < a. Dunue: Eπrh = Q int /ε () dove Q int = neπr h è la carica interna alla superficie cilindrica chiusa. Dunue ner E = (3) ε 3 - Il problema ha simmetria cilindrica ( la simmetria del filo indefinito), dunue le linee del campo di induzione magnetica sono linee circolari con centro sull'asse. Poichè le cariche in moto sono

2 positive ( protoni), la corrente associata al moto delle cariche è nello stesso verso della velocità e, uindi, per la regola della mano destra, il verso del campo è uello indicato nella figura sotto. B v Il valore del campo si ottiene applicando il Teorema di Ampere ad una linea di campo circolare di raggio r < a. Bπr = i conc (4) dove i conc è la corrente concatenata con la linea circolare. Ma la densità di corrente elettrica associata con il moto delle cariche è J = n e v (5) Dunue, la corrente concatenata con la lineacircolare di raggio r è i conc = J π r = nevπr che, sostituita nella (5), fornisce: B = nevr (6) 4 - La forza totale agente su ciascun protone è pari alla forza di Lorenz, cioè la somma della forza elettrica ee diretta radialmente nel verso uscente e la forza magnetica ev B. Sfruttando la definizione di prodotto vettoriale si verifica facilmente che la forza magnetica è anch'essa radiale ma diretta in verso opposto a uella elettrica. La componente radiale della forza è, perciò: F ( ) ne r v 1 v ε = 1 ε ne r ε c = (7) dove si è sfruttato il fatto che la velocità della luce c soddisfa la relazione c =(ε ) 1/. Poichè v << c per ipotesi ( protoni non relativistici) la componente radiale della forza è sempre positiva e, uindi, il fascio tende ad allargarsi. 5 - Se il fascio è costituito da elettroni, tutti i risultati precedenti restano validi purchè si sostituisca la carica elettrica -e ad e in ogni formula. Ne consegue che i versi dei campi sono opposti ai precedenti mentre la forza, che dipende dal uadrato della carica, mantiene lo stesso verso. Infatti i campi cambiano verso ma, agendo su cariche di segno opposto, producono una forza nello stesso verso.

3 3 Esercizio - Una sfera di raggio a e centro O è riempita uniformemente con una densità di carica elettrica positiva di densità ρ. Nella sfera viene praticato un piccolo canale cilindrico di sezione trascurabile lungo l'asse a distanza b < a dal centro della sfera. Una carica elettrica negativa puntiforme - viene abbandonata da ferma nel punto P all'estremità del canale. Ogni attrito è trascurabile. Inoltre, essendo il canale molto sottile, il campo elettrico prodotto in ogni punto dalla distribuzione di carica può essere considerato coincidente con uello prodotto da una analoga distribuzione in assenza del canale. y a Q. P. O b 1 - In ueste ipotesi, si calcoli la velocità massima raggiunta dalla carica eletrica puntiforme e si dica in uale punto del canale essa viene raggiunta. - Si mostri, inoltre, che la componente della forza esercitata dalla distribuzione di carica sferica sulla carica puntiforme lungo il canale è nulla al centro del canale ( = in figura) ed è di tipo elastico, cioè F = - K dove K è una costante positiva. Si trovi il valore della costante K. 3 - Tenendo conto del risultato della domanda, si calcoli il tempo necessario alla carica elettrica per tornare nel punto P. Soluzione: 1 - La carica si trova immersa nel campo elettrico generato dalla sfera che è diretto radialmente uscente dal centro O. Dunue, la forza elettrica è diretta nella direzione radiale verso il centro. La componente della forza lungo il canale è, perciò, diretta verso il centro del canale e tende ad accelerare la particella verso il centro Q. La massima velocità della particella viene raggiunta nel punto Q dove la componente della forza si annulla per poi invertirsi per <. La velocità massima in Q può essere calcolata utilizzando il principio di conservazione dell'energia meccanica. Se indichiamo con V il potenziale generato dalla sfera in un generico punto, allora la conservazione dell'energia si scrive nella forma: 1 ma mv V ( Q) = V ( P) v ma ( V ( Q) V ( P) ) = (1) m Dobbiamo, perciò, trovare la differenza di potenziale fra i punti Q a distanza b dal centro e il punto P a distanza a dal centro. Ma la differenza di potenziale è pari a: a V ( Q) V ( P) = E dr () b int

4 4 dove E int è il campo elettrico generato dalla distribuzione sferica di carica nei punti interni alla sfera. Data la simmetria sferica il campo elettrico è radiale ( rispetto al centro O) e uscente dal centro ( ρ è positiva) ed è costante su delle superfici sferiche di raggio r. Dunue, possiamo utilizzare il Teorema di Gauss applicato ad una generica superficie sferica di raggio r < a: 3 ρ4πr E int 4πr = 3ε ρr E int = (3) 3ε Sostituendo uesta espressione nella () si trova: ( a ) ρ V ( Q) V ( P) = b 6ε che, sostituito nella (1) fornisce: (4) v ma ρ( a b ) = (5) 3ε m - La forza agente sulla carica - è diretta radialmente verso il centro O della sfera ed è pari, in modulo, a ρr F = Eint = (6) 3ε La componente della forza lungo il canale in un generico punto di coordinata ( vedi figura sotto) è, uindi, ρ = F cosθ = F = (7) r 3ε F y a Q. R. P θ. r O b Si vede che la forza è proprio di tipo elastico ( F = - K) dove la costante K è pari a ρ K = (8) 3ε La forza si annulla nel punto Q ( = ) che rappresenta un punto di euilibrio.

5 5 3 - Poichè la forza è di tipo elastico, il moto della massa m è un moto armonico con pulsazione ω pari a: K ρ ω = = (9) m 3mε La carica ritorna nella posizione iniziale dopo un intervallo di tempo pari ad un periodo di oscillazione cioè T π 3mε = = π (1) ω ρ Osservazione: La velocità massima raggiunta nel punto di euilibrio Q ( domanda 1) poteva anche essere calcolata utilizzando la conservazione di energia meccanica per una particella soggetta ad una forza elastica di costante elastica K data dalla (8). Lo studente faccia il calcolo e dimostri che il risultato è identico a uello trovato in e.(5). Esercizio 3 - Due lunghi fili conduttori si trovano a distanza d l'uno dall'altro e sono allineati parallelamente all'asse y come mostrato in figura. I fili sono percorsi dalla stessa corrente i ma in versi opposti. Una spira conduttrice di lato h < d, induttanza L e resistenza R, è posta nel mezzo fra i fili a distanze uguali da entrambi come mostrato in figura. y h i i Filo 1 d Filo 1 - Si calcoli il flusso del campo magnetico prodotto dai fili sulla spira. Ad un dato istante t =, il valore assoluto della corrente nei due fili inizia a variare nel tempo con la legge temporale i = i ( 1- t / T). Si calcoli: - la corrente che fluisce nella spira ad un generico istante t >, 3 - la forza agente sulla spira ad un generico istante t >.

6 6 Soluzione: 1- I fili generano nella regione occupata dalla spira due campi entrambi diretti lungo l'asse z perpendicolare al piano della figura ed uscente. Poichè la spira si trova ad ugual distanza dai due fili, i flussi dei campi prodotti sulla spira da ciascun filo sono uguali e, uindi, il flusso risultante è il doppio del flusso generato da ciascun filo. La componente z del campo di induzione magnetica prodotto dal filo 1 in un punto a distanza dal filo è i B = (1) π e il flusso del campo prodotto dai due fili è, perciò: Φ = B( ) ds = i ds π () dove l'integrale è esteso alla superficie della spira. Poichè il campo dipende solamente dalla variabile, conviene prendere come superfici infinitesime di integrazione dei rettangolini di lunghezza L e altezza infinitesima d come mostrato schematicamente nella figura sotto. Dunue, risulta ds = Ld. y h h (d-h)/ d d Sostituendo ds = Ld in e.() si trova Φ = ( d + h) / ( d h) / ih ih d + h d = ln π π d h (3) - La corrente variabile genera un flusso variabile che si ottiene sostituendo i(t) al posto di i nella (3). Conseguentemente c'è una f.e.m. che agisce sulla spira che è pari a dφ ih d + h ε = = ln (4) dt πt d h dove si è scelto il verso di circuitazione antiorario. Indicando con I la corrente che scorre in verso antiorario nella spira, l'uazione del circuito diventa:

7 7 ih d + h ln = RI + πt d h di L dt (5) La soluzione di e.(5) con la condizione iniziale I() = è: ih d + h I( t) = ln 1 e πtr d h L Rt (6) 3 - Poichè il campo risultante agente in ogni punto della spira dipende solamente da, le forze di Laplace elementari agenti sui lati della spira paralleli all'asse sono uguali ed opposte e, uindi, si annullano. Le uniche forze possibili sono, perciò, uelle sui lati paralleli all'asse y. Data la simmetria del problema, però, i campi magnetici agenti sui due lati sono uguali mentre le correnti sono opposte. Ne consegue che, anche ueste forze, si anullano reciprocamente e, uindi, la forza totale sulla spira è nulla. Esercizio proposto: Lo studente risponda alle domande precedenti nel caso in cui la spira non sia disposta simmetricamente ma si trovi a distanza < (d-h)/ dal filo 1. Esercizio 4 - Un campo di induzione magnetica uniforme forma un angolo θ con l'asse z. Si calcoli il flusso del campo attraverso ad una superficie semisferica di raggio a orientata come mostrato in figura ( la circonferenza perimetrale giace sul piano y). z θ B y Soluzione: Il flusso del campo di induzione magnetica attraverso la superficie semisferica è Φ semisfera = B nds (1) dove l'integrale è esteso a tutta la superficie semisferica e n è il versore normale uscente alla superficie. L'integrale in e.() non è banale perchè la normale alla superficie varia da punto a punto sulla superficie e, con essa, varia l'angolo formato dal campo con la normale. Per il calcolo del flusso risulta, però, conveniente sfruttare la proprietà fondamentale del campo magnetico secondo cui il flusso del campo uscente attraverso ualunue superficie chiusa è sempre nullo. I particolare, possiamo considerare la superficie chiusa costituita dalla superficie circolare di raggio a alla base della semisfera e dalla superficie semisferica. Per le proprietà del campo magnetico, le linee di campo che entrano nella superficie chiusa attraverso la superficie circolare di base escono attraverso la superficie semisferica. Dunue, il flusso del campo entrante attraverso la superficie circolare di base è uguale al flusso uscente attraverso la semisfera. Ma il flusso attraverso la

8 8 superficie di base è semplice da calcolarsi perchè la normale a tale superficie è costante e coincide con il versore dell'asse z. Ma allora, il flusso attraverso tale superficie è semplicemente dato da Φ = Φ πa B cosθ () cerchio semisfera = Esercizio 5 - Tre cariche puntiformi 1, e 3 identiche di carica e massa m si trovano inizialmente ferme a distanza L l'una dall'altra ai vertici di un triangolo euilatero. Si trovi la velocità massima raggiunta dalla carica 1 nei seguenti casi: La carica 1 viene lasciata libera di muoversi mentre le altre due vengono tenute ferme. - Tutte le cariche sono lasciate libere di muoversi. Soluzione: 1 - Le cariche e 3 esercitano forze elettriche che tendono a respingere la carica 1. La massima velocità verrà raggiunta uando la carica 1 si trova a distanza infinita delle altre. L'energia della carica 1 nel campo delle altre è U = V dove V è il potenziale generato dalle cariche e 3 nel punto dove si trova la 1. All'inizio, i potenziali delle cariche e 3 nel punto dove si trova la1 sono uguali ( le distanze sono uguali) e pari a / (4πε L). Dunue l'ergia iniziale è: U = (1) πε L alla fine, uando la carica 1 si trova a distanza infinita dalle altre, l'energia è nulla. Dunue, per la conservazione dell'energia: 1 mv = πε L v = () πε Lm Osservazione: Si sarebbe potuto anche utilizzare l'energia di configurazione ma, in uesto caso, non è necessario perchè le cariche e 3 restano ferme alla stessa distanza l'una dall'altra. Si suggerisce allo studente di provare a ritrovare la () utilizzando il concetto di energia di configurazione. - In uesto caso tutte le cariche si respingono l'una con l'altra allontanandosi reciprocamente. Data la simmetria, la velocità raggiunta alla fine dalle cariche sarà la stessa. In uesto caso tutte le cariche si spostano e, uindi, SI DEVE UTILIZZARE il concetto di energia di configuazione che, per 3 cariche puntiformi è data dalla relazione generale:

9 U = V1 + V + V3 (3) Dove V 1, V e V 3 rappresentano, rispetivamente, i potenziali generati dalla carica e 3 sulla 1, uelli di 1 e 3 sulla e uelli di 1 e sulla 3. All'inizio V 1 = V = V 3 = / (πε L) mentre alla fine sono tutti nulli. Dunue, l'energia iniziale è U 3 = (4) 4πε L e, alla fine, U =. Poichè la velocità finale delle tre cariche è la stessa, l'engia cinetica totale è 3 mv K = (5) Imponendo la conservazione dell'energia ( U = K), si trova: v = (6) πε Lm Esercizio 6 - Un sistema è costituito da due conduttori cilindrici coassiali di lunghezza L. Il cilindro interno è pieno ed ha raggio a, uello esterno ha raggio interno 4a e raggio esterno 5a ( a << L). Il cilindro interno possiede una carica elettrica mentre uello esterno è scarico Si calcolino i valori delle cariche elettriche 1, e 3 che si accumulano sulle superfici 1, e 3 in figura. - Si calcoli la d.d.p. V fra il conduttore esterno e uello interno ( con il segno corretto). 3 - ad un dato istante, un operatore interno inserisce fra i due conduttori un cilindro conduttore cavo di lunghezza L e di raggio interno a ed esterno 3a coassialmente. Si calcoli il lavoro fatto dall'operatore. Soluzione: 1 - Data la simmetria, le cariche si distribuiscono uniformemente sulle tre superfici. Inoltre, per la conservazione della carica, 1 = (1)

10 1 + 3 = () D'altra parte, le cariche e 3 si distribuiscono in modo da rendere nullo il campo nella regione 4a < r < 5a all'interno del conduttore esterno. Dunue, se si applica il teorema di Gauss ad una superficie cilindrica di altezza L chiusa di raggio r interno al conduttore esterno, la carica interna a tale superficie 1 + = + deve essere nulla. dunue, = - (3) e, uindi, per la (), 3 =. (4) - Applicando il Teorema di Gauss ad una superficie cilindrica di raggio r compreso fra le superfici 1 e dei conduttori si trova che il campo elettrico nello spazio vuoto fra i conduttori è diretto radialmente verso l'esterno ( se > ) e il valore della componente radiale è E = (5) πε Lr Dunue, la d.d.p. fra il conduttore esterno e uello interno è: a 1 V = dr = ln (6) 4a πε Lr πε 4 L 3 - Dopo l'inserimento, sulle superfici interna ( r = a ) ed esterna (r = 3a) del conduttore si accumulano, rispettivamente le cariche - e ( si trova utilizzando come prima il Teorema di Gauss e la conservazione della carica). Utilizzando Gauss si verifica, inoltre che il campo in ogni regione dello spazio resta lo stesso del caso precedente tranne uello nella regione occupata dal nuovo conduttore dove il campo si annulla. Dunue, tutta l'energia inizialmente immagazzinata in tale regione si annulla. La variazione dell'energia è, uindi, pari all'opposto dell'energia immagazzinata inizialmente nello spazio compreso fra r = a e r =3a. Quest'ultima energia è uguale all'integrale volumico della densità di energia immagazzinata in tale spazio. Dunue: U = dv 8π ε L r (7) Dato che l'integrando dipende solamente da r, si può utilizzare come volume infinitesimo dv il volume di un sotile guscio cilindrico di raggio r, altezza L e spessore dr, cioè dv = πlrdr. Dunue, 3a 3 U = dr = ln (8) a πε Lr 4πε L 4