Monaco Alfonso. Cinematica 2d

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1 Monaco Alfonso Cinematica 2d 1

2 Moto parabolico n n n Il moto nelle direzioni e possono essere separati Nella direzione il moto è rettilineo uniforme Nella direzione il moto è uniformemente accelerato (per effetto della gravità) n Questi due moti combinati danno una traiettoria parabolica x (t) = *t = *CosA*t; y (t) = *t g*t2 /2 = *SinA*t g*t 2 /2; g y = / *x g*x 2 /(2*2 ) A 2

3 Esercizio (traccia) n n n Un sasso viene lanciato con una velocità di modulo pari a v = 17 m/s e con un angolo di q = 58 sopra l orizzontale. Trascurando la resistenza dell aria, determinare il tempo impiegato a raggiungere la massima altezza. Qual è la massima altezza e la sua distanza dall origine? 3

4 1. = 17 m/s 2. Angolo A = 58 Esercizio (soluzione) A Fisica con elementi di matematica - Cinematica 2D 4

5 Esercizio (soluzione) 1. = 17 m/s 2. Angolo A = 58 t per raggiungere la max altezza =? a massima altezza viene raggiunta quando la componente lungo della velocità è nulla!!! V = g t = *Sen(A) g*t = 0 t = *SenA /g = 17 Sen (58 )/9.8 = 1.47 s A 5

6 Esercizio (soluzione) 1. = 17 m/s 2. Angolo A = 58 =?, =? Componente : moto rettilineo uniforme = t = *Cos(A)*t = 17 * Cos(58 ) * 1.47 = m A 6

7 Esercizio (soluzione) 1. = 17 m/s 2. Angolo A = 58 =?, =? Componente : moto rettilineo uniformemente ritardato = *t g t 2 /2 = *SenA *t g t 2 /2 = 17 * Sen(58 ) * * /2 = m A 7

8 n Esercizio (traccia) Una palla viene lanciata da una finestra dell ultimo piano di un edificio. a palla a una velocità iniziale v 0 = 10 m/s ed una inclinazione verso il basso di a palla arriva al suolo dopo 3.0 sec. Determinare: 1) a distanza misurata dalla base dell edificio, in un piano orizzontale, del punto di impatto con il suolo; 2) altezza da cui viene lanciata la palla; 3) Il tempo impiegato dalla palla per raggiungere un punto nell aria, 10.0 m al di sotto del livello di lancio. 8

9 1. = 10 m/s 2. Angolo A = - 30 Esercizio (soluzione) =? 3. Tempo di impatto al suolo T = 3.0 s A 9

10 1. = 10 m/s 2. Angolo A = Tempo di impatto al suolo T = 3.0 s Esercizio (soluzione) =? = *T = *Cos(A) *t = 10 * Cos (-30 ) * 3.0 = m A 10

11 1. = 10 m/s 2. Angolo A = Tempo di impatto al suolo T = 3.0 s Esercizio (soluzione) =? Quando la palla tocca terra la sua componente sarà y = 0!!! Condizione iniziale sulla componente 0 = + *T g *T 2 /2 A = - *Sen(A) *T + g *T 2 /2 = = - 10 * Sen(-30*) * /2 = = 59.1 m 11

12 Esercizio (soluzione) 1. = 10 m/s 2. Angolo A = Tempo di impatto al suolo T = 3.0 s In questo caso dobbiamo imporre y = = 49.1 m!!! t (y = ) =? + *t g*t 2 /2 = A g*t 2 /2 - *t -10 = 0 Equazione di secondo grado in t Ammette DUE soluzioni: 1. t = 1.01 s 2. t = s NON ACCETTABIE 12

13 Esercizio (traccia) n Un proiettile viene sparato con velocità iniziale v 0 = 250 m/s da un arma posta ad una altezza di 30 metri rispetto al terreno e con un angolo di inclinazione verso l alto di 30. Calcolare: a) per quanto tempo rimane il proiettile in aria; b) a ce distanza orizzontale il proiettile andrà a colpire il terreno. 13

14 Esercizio (soluzione) 1. = 250 m/s 2. Angolo A = 30 T =? 3. 0 = 30 m A 14

15 Esercizio (soluzione) 1. = 250 m/s 2. Angolo A = = 30 m Moto lungo y = y 0 + *t g*t 2 /2 T =? + *Sen(A) T g *T 2 /2 = 0 Equazione di secondo grado in T A 1. T = sec 2. T = sec NON ACCETTABIE 15

16 Esercizio (soluzione) 1. = 250 m/s 2. Angolo A = 30 =? Componente : moto rettilineo uniforme = *T = Cos(A)*T = 250 * Cos(30 ) * = 5575 m A 16

17 n Esercizio (traccia) Un aereo di soccorso lancia un pacco viveri mentre vola a 200 m di altezza rispetto al suolo e ad una velocità di 40.0 m/s. Determinare: 1. dopo quanto tempo il pacco viveri raggiunge il suolo; 2. a quale distanza il pacco raggiunge il suolo, rispetto al punto in cui viene lasciato cadere (distanza sull asse ). 3. Con quale velocità la palla raggiunge il suolo 17

18 1. = 40 m/s 2. = 200 m Esercizio (soluzione) T =?, =? 18

19 1. = 40 m/s 2. = 200 m Esercizio (soluzione) T =?, =? Quando la palla tocca terra la sua componente sarà y = 0!!! Notate ce non c è componente per la velocità!!! 0 = g*t 2 /2 Condizione iniziale sulla componente T = (2*/g) 0.5 = 6.39 sec = *T= m Fisica con elementi di matematica - Cinematica 2D 19

20 1. = 40 m/s 2. = 200 m Esercizio (soluzione) V fin =? V fin = = 40 m/s poicé non c è accelerazione lungo!! V fin = -g*t = -62,62 m/s poicé non c è velocità iniziale lungo V fin V fin = (V fin 2 + V 2 fin ) 0.5 = m/s Direzione V fin = ArcTan(V fin /V fin ) = In senso orario rispetto all asse positivo Fisica con elementi di matematica - Cinematica 2D 20

21 Moto circolare Velocità angolare media: ω = Δθ/ Δt V t R Δθ Notate l analogia con il moto rettilineo; al posto dello spostamento abbiamo la variazione dell angolo ω può essere definita istante per istante se Δt tende a 0 In generale: v t = ω R 21

22 Moto in 2 D (circonferenza) Moto circolare uniforme: R V t a c θ ω è costante in modulo direzione e verso. Vale l equazione oraria: θ = θ 0 + ω t a velocità tangenziale vale (costante in modulo ma non in direzione): v t = ω*r ω = 2π/Τ = 2π*f Τ (periodo): tempo necessario a compiere un giro (s) f (frequenza): giri effettuati nell unità di tempo = 1/T (s -1 = Hz) accelerazione è diretta verso l interno della traiettoria (accelerazione centripeta). Dipende dal cambio della direzione di v t e non dal suo modulo (ce è costante) Il suo modulo è a c = ω 2 *R = V t2 /R 22

23 n n Esercizio (traccia) Un disco in vinile viene messo in rotazione da un giradisci in modo da compiere 33,3 giri al minuto. Calcolare la velocità angolare del disco. n Uno dei brani musicali incisi sul disco dura 4 min e 12 sec. Calcolare quante rotazioni compie il disco durante la riproduzione del brano. 23

24 Esercizio (soluzione) 1. Frequenza f = 33.3 min t brano = 4 min 12 s = 252 s velocità angolare ω =?, Numero di rotazioni in t brano =? f = 33.3 min -1 = 33.3/60 s -1 = s -1 = Hz 24

25 Esercizio (soluzione) 1. Frequenza f = 33.3 min -1 = z 2. t brano = 4 min 12 s = 252 s velocità angolare ω =?, Numero di rotazioni in t brano =? Il moto è circolare uniforme (velocità angolare costante poicé la frequenza è costante) ω = 2 π f = 6.28 * = 3.49 radianti/s 25

26 Esercizio (soluzione) 1. Frequenza f = 33.3 min -1 = z 2. t brano = 4 min 12 s = 252 s velocità angolare ω =?, Numero di rotazioni in t brano =? Il numero di giri dipende dalla durata del brano e dalla frequenza!!! n = t brano * f = 252 * = giri 26

27 Esercizio (traccia) n n n Un disco a raggio R = 20 cm e ruota con velocità angolare costante ω = 10 rad/s. Calcolare la velocità tangenziale di un oggetto fermo sul disco a distanza 10 cm dal centro e sul bordo. Calcolare l accelerazione centripeta a 10 cm dal centro e sul bordo. 27

28 1. ω = 10 rad/sec 2. R = 20 cm = 0.2 m 3. r = 10 cm = 0.1 m Esercizio (soluzione) v t (r=10)=?, v t (r=20)=? v t v t R 28

29 Esercizio (soluzione) 1. ω = 10 rad/s 2. R = 20 cm = 0.2 m 3. r = 10 cm = 0.1 m v t (r=0.1)=?, v t (r=0.2)=? Il moto è circolare uniforme (velocità angolare costante) v t v t R a velocità tangenziale dipende dalla posizione sul disco v t (r=10) = ω*r = 10 * 0.1 = 1 m/s v t (r=20) = ω*r = 10 * 0.2 = 2 m/s Ance se la velocità angolare è la stessa, oggetti a distanza diversa dal centro anno velocità tangenziali diverse 29

30 Esercizio (soluzione) 1. ω = 10 rad/s 2. R = 20 cm = 0.2 m 3. r = 10 cm = 0.1 m a t R a c (r=0.1)=?, a c (r=0.2)=? Il moto è circolare uniforme (velocità angolare costante) C è solo accelerazione centripeta (poicé la velocità varia in DIREZIONE ma non in MODUO) a c (r=0.1) = ω 2 *r = 10 2 * 0.1 = 10 m/s 2 a c (r=0.2) = ω 2 *r = 10 2 * 0.2 = 20 m/s 2 Oggetti a distanza diversa dal centro anno accelerazioni centripete diverse. 30

31 Esercizio (traccia) n Un auto procede in direzione Nord-Est con velocità costante v = 75 km/. all istante t 0 una seconda auto si trova a 20 km dalla prima in direzione Est. a seconda auto si muove, partendo da ferma, con accelerazione cotante. Sapendo ce le due auto si incontrano dopo 20 min, determinare: 1. Il punto P dove le due auto si incontrano; 2. Il modulo e la direzione di a; 3. Quanta strada a percorso la seconda auto. 31

32 Esercizio (soluzione) v = 75 km/ = 21 m/s = 20 km = 2*10 4 m t = 20 min = 1200 s y v a x 32

33 Esercizio (soluzione) v = 75 km/ = 21 m/s = 20 km = 2*10 4 m t = 20 min = 1200 s v x = v*cos(45 ) = 16 m/s v y = v*sen(45 ) = 16 m/s P(x,y) =? y a prima auto si muove di moto rettilineo uniforme v a p = v x *t = 16 * 1200 = m p = v y *t = 16*1200 = m x 33

34 Esercizio (soluzione) v = 75 km/ = 21 m/s = 20 km = 2*10 4 m t = 20 min = 1200 s v x = v*cos(45 ) = 16 m/s v x = v*cos(45 ) = 16 m/s a =? y v a a seconda auto si muove di moto rettilineo unif. accelerato x 2 = -1/2*a x *t 2 y 2 = 1/2*a y *t 2 x Imponiamo x p =x 2, y p =y 2, a x = 2*(- xp)/t 2 = m/s 2 a y = 2*(xp)/t 2 = m/s 2 a = (a x 2 + a y2 ) 1/2 = m/s 2 dir(a) = arctg(a y /a x ) = 98 34

35 Esercizio (soluzione) v = 75 km/ = 21 m/s = 20 km = 2*10 4 m t = 20 min = 1200 s v x = v*cos(45 ) = 16 m/s v x = v*cos(45 ) = 16 m/s s 2 =? y v a x 2 = 800 m y 2 = 19200m s 2 = (x y 22 ) 1/2 = m x 35

36 Esercizio (traccia) n n Una palla all estremità di una fune ruota con moto uniforme lungo una circonferenza orizzontale di raggio R = m. Il piano della circonferenza è ad una altezza di 2.00 m dal suolo. a fune si rompe e la palla atterra a 4.00 m (misurati sull orizzontale) dal punto in cui la fune si muove. Calcolare l accelerazione centripeta della palla durante il suo moto. 36

37 Esercizio (soluzione) 1. r = 0.25 m, = 2 m 2. = 4 m accelerazione centripeta =? r dopo il distacco della pallina Per l accelerazione centripeta ci serve la velocità Usiamo il moto parabolico!!!! 37

38 Esercizio (soluzione) 1. r = 0.25 m, = 2 m 2. = 4 m accelerazione centripeta =? r dopo il distacco della pallina Ciamiamo T l istante in cui la palla tocca terra Componente : = T Componente : - gt 2 /2 = 0 = / T T = (2 / g)

39 Esercizio (soluzione) 1. r = m, = 2 m 2. = 4 m accelerazione centripeta =? r dopo il distacco della pallina Combinandole otteniamo = (g 2 / 2) 0.5 = 6.26 m/s Accelerazione centripeta a c = 2 /r = m/s 2 39

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