Incontri Olimpici Geometria

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Incontri Olimpici Geometria"

Transcript

1 Incontri Olimpici Geometria Michele arsanti appunti redatti da Ercole Suppa 19 dicembre 009 Sommario In questo documento sono riportati gli appunti della conferenza tenuta da Michele arsanti in occasione degli Incontri Olimpici Rette parallele e similitudine. Problema 1. Dagli estremi, di un segmento tracciamo due segmenti paralleli, D e sia F = D. Dal punto E tracciamo la parallela ad e sia F il suo punto di intersezione con. Dimostrare che: D = 1 EF D E F Figura 1 1

2 Dalla similitudine dei triangoli D e F E abbiamo: EF D = F ed analogamente dalla similitudine dei triangoli ed F E segue che (1) EF = F () Sommando (1) e () otteniamo: EF D + EF = D = 1 EF Problema. Sia un triangolo con = 10. bisettrice interna dell angolo, dimostrare che: Se D è la 1 D = F E D Figura

3 Siano E, F i punti in cui le parallele ad D passanti per e incontrano e rispettivamente. Si verifica subito che E, E, F, F hanno tutti ampiezza 60. Pertanto i triangoli E e F sono equilateri per cui E = e F =. Dal problema precedente segue che: 1 D = 1 E + 1 F = Problema 3. Sia un triangolo e siano M, N i punti medi di e rispettivamente e sia G il baricentro. Dimostrare che M N, = MN e G = GN M N G Figura 3 I triangoli e MN sono simili (per il secondo criterio di similitudine) ed hanno rapporto di similitudine. Pertanto: MN, = MN llora anche i triangoli G e MNG sono simili con rapporto di similitudine, quindi = MN. Problema 4. Sia D un quadrilatero e siano K, L, P, Q i punti medi di D,, D, rispettivamente. Dimostrare che i segmenti KL e P Q si bisecano. 3

4 P L K Q D Figura 4 Dal problema precedente segue che KP, KP = 1 (1) QL, QL = 1 () Da (1) e () discende che KP QL e KP = QL. Pertanto KQLP è un parallelogrammo per cui le diagonali KL e P Q si bisecano. Disuguaglianza triangolare. Problema 5. Sia a l asse di un segmento e sia P un punto appartenente al semipiano di origine a contenente. Dimostrare che P < P. 4

5 a P' Q Figura 5 Sia Q = a P. Dalla disuguaglianza triangolare applicata al triangolo P Q, tenuto conto che Q = Q, abbiamo: P < P Q + Q P < P Q + Q = P Problema 6. Siano L, M, N i punti medi dei lati,, di un triangolo. Dimostrare che + + > 3 (M + N + L) N G M L Figura 6 5

6 Indichiamo con G il baricentro del triangolo. La disuguaglianza triangolare applicata rispettivamente a GN, GL, GM fornisce: G < 1 + GN (1) Sommando (1), (), (3) otteniamo: G < 1 + GL () G < 1 + GM (3) G + G + G < 1 ( + + ) (4) Dalla (4) tenuto conto che il baricentro divide ciascuna mediana in due parti, una doppia dell altra, segue che 3 (M + N + L) < 1 ( + + ) + 1 (M + M + L) 3 M + M + L < 3 ( + + ) Osservazione 1. La disuguaglianza M +M +L < 3 ( + + ) può essere migliorata come, dimostrato nel seguente problema. Problema 7. Siano L, M, N i punti medi dei lati,, di un triangolo. Dimostrare che + + > M + N + L 6

7 N G M L ' Figura 7 Sia il simmetrico di rispetto ad L. Poichè è un parallelogrammo si ha che =. Dalla disuguaglianza triangolare applicata al triangolo otteniamo < + L < + (1) In moodo analogo si prova che M < + () N < + (3) La disuguaglianza richiesta si ottiene sommando (1), (), (3). Problema 8. Siano L, M, N i punti medi dei lati,, di un triangolo. Dimostrare che M + N + L > 3 ( + + ) 4 N G M L Figura 8 7

8 Indichiamo con G il baricentro del triangolo. La disuguaglianza triangolare applicata rispettivamente a G, G, G fornisce: G + G > L < + (1) G + G > M < + () G + G > N < + (3) Sommando (1), (), (3) ed utilizzando le note relazioni G = 3 M, G = 3 N, G = 3 L abbiamo: (G + G + G) > (M + N + L) > M + N + L > 3 ( + + ) 4 3 lcune proprietà dell ortocentro. Si dimostra facilmente che gli angoli intorno all ortocentro di un triangolo sono uguali agli angoli = α, = β,, come illustrato nella seguente figura. R S H T Figura 9 Problema 9. In un triangolo, i simmetrici dell ortocentro rispetto ai lati appartengono alla circonferenza circonscritta. 8

9 R S H T H' Figura 10 Sia H l ortocentro e sia H il simmetrico di H rispetto al lato. Dalle proprietà degli angoli intorno all ortocentro segue che: H + = H H + HH + = = HT + T H + = = α + β + γ = 180 Pertanto il quadrilatero H è ciclico e H appartiene alla circonferenza circonscritta ad. Problema 10. In un triangolo, i simmetrici dell ortocentro rispetto ai punti medi dei lati lati appartengono alla circonferenza circonscritta. 9

10 H M H' Figura 11 Sia H l ortocentro e sia H il simmetrico di H rispetto al punto medio M del lato. Il quadrilatero H H è un parallelogramma in quanto le sue diagonali e HH si dimezzano. Pertanto, utilizzando le proprietà degli angoli alterni interni e quelle degli angoli intorno all ortocentro, abbiamo: H + = H H + HH + = = H H + H H + = = α + β + γ = 180 llora il quadrilatero H è ciclico, ossia H appartiene alla circonferenza circonscritta ad. Problema 11. Sia un triangolo rettangolo con = 90 e siano D, E, F l altezza, la bisettrice e la mediana uscenti dal vertice. Dimostrare che DE = EF. D E F Figura 1 10

11 Il triangolo è inscrivibile nella semicirconferenza di diametro. llora, tenuto conto che F = F, si ha F = F = 90 = D (1) Poiche E è la bisettrice di N si ha E = E () Sottraendo membro a membro () ed (1) si ottiene: DE = EF. 11

Incontri Olimpici 2011

Incontri Olimpici 2011 Incontri Olimpici 2011 Problemi di geometria Cetraro, 11 ottobre 2011 ppunti redatti da Ercole Suppa Sommario In questo documento sono riportate le soluzioni dei problemi di geometria proposti e risolti

Dettagli

Incontri Olimpici 2013

Incontri Olimpici 2013 Incontri Olimpici 03 Problemi di Geometria ologna, 3 ottobre 03 ppunti redatti da rcole Suppa Sommario In questo documento sono riportate le soluzioni dei problemi di geometria risolti da Samuele Mongodi.

Dettagli

Costruzioni geometriche. (Teoria pag , esercizi )

Costruzioni geometriche. (Teoria pag , esercizi ) Costruzioni geometriche. (Teoria pag. 81-96, esercizi 141-153 ) 1) Costruzione con squadra e riga. a) Rette parallele. Ricorda: due rette sono parallele quando.... oppure quando hanno la stessa. Matematicamente

Dettagli

Circonferenza e cerchio

Circonferenza e cerchio Circonferenza e cerchio Definizione Una circonferenza di centro O e raggio r è l insieme dei punti del piano che hanno da O distanza uguale a r. I segmenti che congiungono il centro O con i punti della

Dettagli

C5. Triangoli - Esercizi

C5. Triangoli - Esercizi C5. Triangoli - Esercizi DEFINIZIONI 1) Dato il triangolo in figura completare al posto dei puntini. I lati sono i segmenti,, Gli angoli sono,, Il lato AB e l angolo sono opposti Il lato AB e l angolo

Dettagli

Appunti di geometria L. P. 17 Febbraio Notazione

Appunti di geometria L. P. 17 Febbraio Notazione ppunti di geometria L. P. 17 Febbraio 2008 Notazione I punti sono rappresentati da lettere maiuscole:,,, ecc.; rappresenta la lunghezza del segmento, rappresenta l ampiezza dell angolo compreso fra le

Dettagli

Parallelogrammi 1 Parallelogrammi Nome: classe: data:

Parallelogrammi 1 Parallelogrammi Nome: classe: data: www.matematicamente.it Parallelogrammi 1 Parallelogrammi Nome: classe: data: 1. Quali tra le seguenti sono proprietà del parallelogramma?. ciascuna diagonale lo divide in due triangoli uguali. gli angoli

Dettagli

Appunti di geometria

Appunti di geometria ppunti di geometria L. P. 17 Febbraio 2008 Notazione I punti sono rappresentati da lettere maiuscole:,,, ecc.; rappresenta la lunghezza del segmento, rappresenta l ampiezza dell angolo compreso fra le

Dettagli

Principali Definizioni e Teoremi di Geometria

Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Segmento (definizione) Si dice segmento di estremi A e B l insieme costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta AB compresi tra A e B. Angolo

Dettagli

Allenamenti di Matematica

Allenamenti di Matematica rescia, 3-4 febbraio 2006 llenamenti di Matematica Geometria 1. Il trapezio rettangolo contiene una circonferenza di raggio 1 metro, tangente a tutti i suoi lati. Sapendo che il lato obliquo è lungo 7

Dettagli

Geometria euclidea. Alessio del Vigna

Geometria euclidea. Alessio del Vigna Geometria euclidea Alessio del Vigna La geometria euclidea è una teoria fondata su quattro enti primitivi e sulle relazioni che tra essi intercorrono. I quattro enti primitivi in questione sono il punto,

Dettagli

LA CIRCONFERENZA DEFINIZIONI. Una circonferenza è l insieme dei punti del piano che hanno distanza assegnata da un punto, detto centro.

LA CIRCONFERENZA DEFINIZIONI. Una circonferenza è l insieme dei punti del piano che hanno distanza assegnata da un punto, detto centro. LA CIRCONFERENZA DEFINIZIONI Una circonferenza è l insieme dei punti del piano che hanno distanza assegnata da un punto, detto centro. Un cerchio è una figura piana formata dai punti di una circonferenza

Dettagli

In un triangolo altezza mediana bisettrice asse Proprietà di angoli e lati di un triangolo

In un triangolo altezza mediana bisettrice asse Proprietà di angoli e lati di un triangolo In un triangolo si dice altezza relativa a un lato il segmento di perpendicolare al lato condotta dal vertice opposto. Si dice mediana relativa a un lato il segmento che unisce il punto medio del lato

Dettagli

Principali Definizioni e Teoremi di Geometria

Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Segmento (definizione) Si dice segmento di estremi A e B l insieme costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta AB compresi tra A e B. Angolo

Dettagli

C5. Triangoli. C5.1 Definizioni. C5.2 Classificazione dei triangoli in base ai lati

C5. Triangoli. C5.1 Definizioni. C5.2 Classificazione dei triangoli in base ai lati 5. Triangoli 5.1 efinizioni Un triangolo è un poligono con tre lati. In figura 5.1 i lati sono i segmenti =c, =b e =a. Gli angoli (interni) sono α = ˆ, β = ˆ e γ = ˆ. Si dice che un angolo è opposto a

Dettagli

I Triangoli e i criteri di congruenza

I Triangoli e i criteri di congruenza I Triangoli e i criteri di congruenza 1 Le caratteristiche di un triangolo Un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni I punti

Dettagli

TRIANGOLI CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI RISPETTO AI LATI. Def: Si dice triangolo un poligono che ha 3 lati e 3 angoli.

TRIANGOLI CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI RISPETTO AI LATI. Def: Si dice triangolo un poligono che ha 3 lati e 3 angoli. TRIANGOLI Si dice triangolo un poligono che ha 3 lati e 3 angoli. Proprietà: in ogni triangolo la somma di due lati è sempre maggiore del terzo lato. CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI RISPETTO AI LATI SCALENO:

Dettagli

C6. Quadrilateri - Esercizi

C6. Quadrilateri - Esercizi C6. Quadrilateri - Esercizi DEFINIZIONI E COSTRUZIONI 1) Dato il seguente quadrilatero completa al posto dei puntini. I lati AB e BC sono I lati AB e CD sono I lati AD e sono consecutivi I lati AD e sono

Dettagli

Poligoni. Def: I poligoni sono figure geometriche formate da una spezzata chiusa semplice e dalla parte di piano che essa delimita.

Poligoni. Def: I poligoni sono figure geometriche formate da una spezzata chiusa semplice e dalla parte di piano che essa delimita. Poligoni Def: I poligoni sono figure geometriche formate da una spezzata chiusa semplice e dalla parte di piano che essa delimita. I punti A, B, C, D, E sono i VERTICI del poligono I segmenti AB, BC, CD,

Dettagli

2. La somma degli angoli interni di un triangolo è 180.

2. La somma degli angoli interni di un triangolo è 180. 1 BREVI NOTE DI GEOMETRIA EUCLIDEA I fondamentali Riportiamo di seguito alcuni risultati che non si può non sapere. La presentazione sintetica è una scelta obbligata per questioni di sintesi, tuttavia

Dettagli

Problemi sui punti notevoli di un triangolo

Problemi sui punti notevoli di un triangolo 1 Sia O l ortocentro del triangolo ABC; dimostra che B è l ortocentro del triangolo AOC. 2 Dimostra che in un triangolo rettangolo il circocentro è il punto medio dell ipotenusa. 3 Il baricentro del triangolo

Dettagli

TRIANGOLI. Proprietà: in ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato. CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI

TRIANGOLI. Proprietà: in ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato. CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI TRIANGOLI Si dice triangolo un poligono che ha 3 lati e 3 angoli. Proprietà: in ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato. a) RISPETTO AI LATI CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI SCALENO:

Dettagli

C7. Circonferenza e cerchio

C7. Circonferenza e cerchio 7. irconferenza e cerchio 7.1 Introduzione ai luoghi geometrici Un luogo geometrico è l insieme dei punti del piano che godono di una proprietà detta proprietà caratteristica del luogo geometrico. Esempio

Dettagli

esercizi 107 Problemi sulla retta

esercizi 107 Problemi sulla retta esercizi 107 Problemi sulla retta Es. 1 Detto C il punto in cui l asse del segmento di estremi A( 3, 3) e B(1, 5) incontra l asse x, calcolare le coordinate del punto D equidistante da A, B e C. Determinare

Dettagli

Dato un triangolo ABC, è il segmento che partendo dal vertice opposto al lato, incontra il lato stesso formando due angoli retti.

Dato un triangolo ABC, è il segmento che partendo dal vertice opposto al lato, incontra il lato stesso formando due angoli retti. Anno 2014 1 Sommario Altezze, mediane, bisettrici dei triangoli... 2 Altezze relativa a un vertice... 2 Mediane relative a un lato... 2 Bisettrici relativi a un lato... 2 Rette perpendicolari... 3 Teorema

Dettagli

GEOMETRIA. Congruenza, angoli e segmenti

GEOMETRIA. Congruenza, angoli e segmenti GEOMETRIA Per affermare che un triangolo è isoscele o rettangolo oppure che un quadrilatero è un parallelogramma o un rettangolo o un rombo o un quadrato o un trapezio o un trapezio isoscele, c è sempre

Dettagli

Costruzioni geometriche. ( Teoria pag , esercizi 141 )

Costruzioni geometriche. ( Teoria pag , esercizi 141 ) Costruzioni geometriche. ( Teoria pag. 81-96, esercizi 141 ) 1) Costruzione con squadra e riga. a) Rette parallele. Ricorda ; due rette sono parallele quando.... oppure quando hanno la stessa. Matematicamente

Dettagli

Costruzioni inerenti i triangoli

Costruzioni inerenti i triangoli Costruzioni inerenti i triangoli D ora in poi indicheremo con a, b e c i tre lati del triangolo di vertici A, B e C, in modo che a sia opposto al vertice A, b al vertice B e c al vertice C Costruzione

Dettagli

FLATlandia. "Abbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo" (Edwin A. Abbott) Flatlandia 8-22 Maggio 2011

FLATlandia. Abbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo (Edwin A. Abbott) Flatlandia 8-22 Maggio 2011 FLTlandia Il testo del problema: "bbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo" (dwin. bbott) Flatlandia 8-22 Maggio 2011 onsiderato un triangolo, acutangolo e isoscele sulla base, si chiami il piede della

Dettagli

La retta. y 5 x ; 5y. Esercizio 6. 6 x 3. y x. Essendo ;,, i tre punti sono allineati.

La retta. y 5 x ; 5y. Esercizio 6. 6 x 3. y x. Essendo ;,, i tre punti sono allineati. La retta Esercizi Esercizio eterminare l equazione della retta passante per ; 7 e parallela alla retta. 7 ( ) ; 7 ;. Esercizio eterminare l equazione della retta passante per 7 e perpendicolare alla retta.

Dettagli

Quadrati di Kenmotu. Ercole Suppa. In occasione del problema 600 di Triánguloscabri. 7 novembre 2010

Quadrati di Kenmotu. Ercole Suppa. In occasione del problema 600 di Triánguloscabri. 7 novembre 2010 Quadrati di Kenmotu Ercole Suppa In occasione del problema 600 di Triánguloscabri 7 novembre 2010 Sommario Dato un triangolo, con gli angoli compresi tra 45 e 90, nel suo interno possono essere posizionati

Dettagli

Matematica Introduzione alla geometria

Matematica Introduzione alla geometria Matematica Introduzione alla geometria prof. Vincenzo De Felice 2014 Problema. Si mostri che un triangolo con due bisettrici uguali è isoscele. La matematica è sfuggente. Ziodefe 1 2 Tutto per la gloria

Dettagli

I PARALLELOGRAMMI Si dice PARALLELOGRAMMA un quadrilatero avente i lati opposti paralleli a due a due.

I PARALLELOGRAMMI Si dice PARALLELOGRAMMA un quadrilatero avente i lati opposti paralleli a due a due. I PARALLELOGRAMMI Si dice PARALLELOGRAMMA un quadrilatero avente i lati opposti paralleli a due a due. A D B H C K Una particolarità del parallelogramma è che mantiene le sue caratteristiche anche quando

Dettagli

CORSO DI PREPARAZIONE AI GIOCHI DI ARCHIMEDE 2015

CORSO DI PREPARAZIONE AI GIOCHI DI ARCHIMEDE 2015 CORSO DI PREPARAZIONE AI GIOCHI DI ARCHIMEDE 2015 Lezione del 3 NOVEMBRE 2015 GEOMETRIA CRITERI DI CONGRUENZA FRA TRIANGOLI IL SIMBOLO indica la congruenza PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA: Se due triangoli

Dettagli

Proporzioni tra grandezze

Proporzioni tra grandezze Definizione Due grandezze omogenee A e B (con B 0) e altre due grandezze omogenee C e D (con D 0) si dicono in proporzione quando il rapporto tra le prime due è uguale al rapporto tra la terza e la quarta

Dettagli

Poligoni e triangoli

Poligoni e triangoli Poligoni e triangoli Def: I poligoni sono figure geometriche formate da una spezzata chiusa semplice e dalla parte di piano che essa delimita.. I punti A, B, C, D, E sono i vertici del poligono. I segmenti

Dettagli

Laboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica

Laboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica Laboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica Liceo cientifico. Einstein, Teramo Relatore: Rosanna Tupitti e-mail: rosannatupitti@gmail.com web: http://www.rotupitti.it/ 26 novembre

Dettagli

Progetto Matematica in Rete - Geometria euclidea - La similitudine. La similitudine. Figure simili

Progetto Matematica in Rete - Geometria euclidea - La similitudine. La similitudine. Figure simili Figure simili Se consideriamo due triangoli equilateri di lato diverso, due quadrati di lato diverso intuitivamente diciamo che hanno la stessa forma. Ma cosa comporta avere la stessa forma? Se osserviamo

Dettagli

Laboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica

Laboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica Laboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica Liceo cientifico. Einstein, Teramo Relatore: Rosanna Tupitti e-mail: rosannatupitti@gmail.com web: http://www.rotupitti.it/ 26 novembre

Dettagli

Scheda per il recupero 11

Scheda per il recupero 11 Ripasso Scheda per il recupero PLIGNI INSRITTI Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza; la circonferenza si dice, in tal caso, circoscritta

Dettagli

Liceo Scientifico G. Galilei Trebisacce Anno Scolastico Prova di Matematica : Piano cartesiano e retta Alunno: Classe: 2 C

Liceo Scientifico G. Galilei Trebisacce Anno Scolastico Prova di Matematica : Piano cartesiano e retta Alunno: Classe: 2 C Liceo Scientifico G. Galilei Trebisacce Anno Scolastico 010-011 Prova di Matematica : Piano cartesiano e retta Alunno: Classe: C 10.03.011 prof. Mimmo Corrado Dato il triangolo di vertici: 6; 3, ; 1, 4;

Dettagli

3^A - MATEMATICA compito n d. l'equazione della mediana BM, verificando che il baricentro le appartenga;

3^A - MATEMATICA compito n d. l'equazione della mediana BM, verificando che il baricentro le appartenga; ^ - TETI compito n 2-2014-2015 1 Il triangolo ha come lati le rette r : y=x 2, s: x 4=0, t : x y 22=0 Disegna le rette r, s, t e determina: a le coordinate dei vertici =r s, =s t, =t r ; b l'area del triangolo;

Dettagli

c) Determina per quali valori di k il segmento BC ha misura 2. 3) Ricava l equazione della spezzata rappresentata in figura

c) Determina per quali valori di k il segmento BC ha misura 2. 3) Ricava l equazione della spezzata rappresentata in figura VERIFICHE TERZA C a.s. 2010 2011 1) Sono assegnati i punti A(0; 10) B(8; - 6) C(0; 0). Rappresentali. a) Verifica che il triangolo ABC è isoscele e calcola la sua area b) Tra i punti P che hanno ordinata

Dettagli

24/03/2012 APPUNTI DI GEOMETRIA EUCLIDEA LEZIONE 2-3. definizione 26-29/3/2012

24/03/2012 APPUNTI DI GEOMETRIA EUCLIDEA LEZIONE 2-3. definizione 26-29/3/2012 PPUNTI DI GEOMETRI EULIDE LEZIONE 2-3 26-29/3/2012 definizione un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni un triangolo è un l

Dettagli

1 Congruenza diretta e inversa

1 Congruenza diretta e inversa 1 Congruenza diretta e inversa PROPRIETÀ. La congruenza tra due figure piane mantiene inalterata la lunghezza dei segmenti e l ampiezza degli angoli; ciò che cambia è la posizione delle figure nel piano.

Dettagli

I quadrilateri Punti notevoli di un triangolo

I quadrilateri Punti notevoli di un triangolo I quadrilateri Capitolo Quadrilateri 1 erifica per la classe prima COGME............................... ME............................. Quesiti 1.a ero o falso? 1. La somma degli angoli interni di un ottagono

Dettagli

10 a GARA MATEMATICA CITTÀ DI PADOVA 25 MARZO 1995 SOLUZIONI

10 a GARA MATEMATICA CITTÀ DI PADOVA 25 MARZO 1995 SOLUZIONI 10 a GARA MATEMATICA CITTÀ DI PADOVA 2 MARZO 199 SOLUZIONI 1.- Nella somma 70 + + 40 gli studenti che studiano almeno una lingua contano una volta, quelli che ne studiano almeno due un altra volta, quelli

Dettagli

Indice del vocabolario della Geometria euclidea

Indice del vocabolario della Geometria euclidea Indice del vocabolario della Geometria euclidea 1 Postulati di appartenenza: piano, retta e punto nello spazio Punto, retta, piano nello spazio Punto, retta nel piano Punto nella retta Punto esterno alla

Dettagli

Due rette si dicono INCIDENTI se hanno esattamente un punto in comune, altrimenti si dicono PARALLELE.

Due rette si dicono INCIDENTI se hanno esattamente un punto in comune, altrimenti si dicono PARALLELE. Riepilogo di Geometria: Assioma A1 Per tutte le coppie di punti P,Q dell insieme S è assegnato un numero reale (=)> 0, che si dice distanza di P da Q e si indica don d(p,q) 1- Se i punti P,Q sono distinti

Dettagli

Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza

Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza Def: 1. Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono punti della La circonferenza si dice circoscritta al poligono.

Dettagli

Si dicono elementi di un triangolo i suoi lati e i suoi angoli interni ed esterni. α β

Si dicono elementi di un triangolo i suoi lati e i suoi angoli interni ed esterni. α β Il triangolo è un poligono di tre lati e tre angoli. In esso, ovviamente, possiamo anche affermare che: la somma degli angoli esterni misura 2 x 180 α γ β la somma degli angoli interni misura 180 Elementi

Dettagli

La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto (180 ).

La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto (180 ). Il triangolo (UbiLearning) - 1 Triangoli Un triangolo è un poligono formato da tre lati. Rappresenta la più semplice figura piana formata dal minimo numero di lati utili a chiudere una superficie piana.

Dettagli

I TRIANGOLI AB < AC + BC

I TRIANGOLI AB < AC + BC I TRIANGOLI Il triangolo è un poligono formato da tre angoli e da tre lati: rappresenta la figura più semplice in assoluto, in quanto 3 è il numero minimo di segmenti necessari per delimitare una superficie

Dettagli

Questionario di TRIANGOLI. per la classe 3^ Geometri

Questionario di TRIANGOLI. per la classe 3^ Geometri Questionario di TRIANGOLI per la classe 3^ Geometri Questo questionario è impostato su 25 domande disponibili e ideate per la verifica prevista dopo la parte di corso fino ad oggi svolta. Tutte le domande

Dettagli

1 In un triangolo rettangolo l'ipotenusa è congruente a 13

1 In un triangolo rettangolo l'ipotenusa è congruente a 13 1 In un triangolo rettangolo l'ipotenusa è congruente a 13 5 cateto sono commensurabili. di un cateto. Dimostrare che l'ipotenusa e l'altro Ipotesi: a ipotenusa, b,c cateti del triangolo rettangolo; a

Dettagli

Problemi di geometria

Problemi di geometria criteri di similitudine sui triangoli 1 Dimostra che le altezze di un triangolo sono inversamente proporzionali ai relativi lati. 2 Dimostra che due triangoli rettangoli sono simili se hanno ordinatamente

Dettagli

Angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed esterni, corrispondenti, coniugati).

Angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed esterni, corrispondenti, coniugati). ppunti di geometria.s. 013-014 1 Prof. Luigi ai PPUNTI ngoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed esterni, corrispondenti, coniugati). In un triangolo l angolo

Dettagli

LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI 1. La circonferenza e il cerchio ESERCIZI 1 A Disegna un triangolo ABC di altezza CH relativa ad AB. Fissa un segmento ED minore di CH. Determina il

Dettagli

LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI TEST 1 In figura sono disegnati l angolo aob e il segmento PQ, perpendicolare al lato Oa e tale che PH sia congruente a HQ. Il luogo geometrico dei

Dettagli

Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013

Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013 Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013 1) È assegnato il punto P 1 (3; 1), calcolare le coordinate dei punti: P 2 simmetrico di P 1 rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante P 3 simmetrico

Dettagli

I punti di Brocard. Enrico Lucchin. November 20, 2018

I punti di Brocard. Enrico Lucchin. November 20, 2018 I punti di rocard Enrico Lucchin November 20, 2018 1 Punti di rocard x P y z Un punto P all interno di un triangolo, se collegato ad ognuno dei suoi vertici forma una coppia di angoli con ciascun lato

Dettagli

Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato

Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato * * * n. 0 pag. 06 a) Scrivi l equazione della circonferenza γ 1 di centro P ; ) e passante per il punto A0; 1). b) Scrivi l equazione della circonferenza

Dettagli

Problemi di geometria

Problemi di geometria corde e archi 1 Sia γγ una circonferenza di diametro AB. Siano AB e CD due corde parallele. Dimostra che la retta CB passa per il centro O della circonferenza. 2 3 4 5 6 7 Dimostra che due punti presi

Dettagli

I PARALLELOGRAMMI E I TRAPEZI

I PARALLELOGRAMMI E I TRAPEZI I PARALLELOGRAMMI E I TRAPEZI 1. Il parallelogramma ESERCIZI 1 A Disegna un parallelogramma ABCD, la diagonale BD e i segmenti AK e CH, perpendicolari a BD. Dimostra che il quadrilatero AHCK è un parallelogramma.

Dettagli

es. 1 Tracciare con le squadre rette parallele e perpendicolari

es. 1 Tracciare con le squadre rette parallele e perpendicolari ESERCIZI es. 1 Tracciare con le squadre rette parallele e perpendicolari es. 2 Data una retta ed un punto A esterno alla retta, tracciare la perpendicolare passante per A es. 3 Data una semiretta con origine

Dettagli

D2. Problemi sulla retta - Esercizi

D2. Problemi sulla retta - Esercizi D. Problemi sulla retta - Esercizi Per tutti gli esercizi è OBBLIGATORIO tracciare il grafico. 1) Trovare il perimetro del triangolo ABC, con A(1;0), B(-1;1), C(0;-). [ 5 + 10 ) Trovare il perimetro del

Dettagli

ISTITUTO SAN GABRIELE CLASSI 4 S - 4 SA PROF. ANDREA PUGLIESE GEOMETRIA EUCLIDEA NELLO SPAZIO

ISTITUTO SAN GABRIELE CLASSI 4 S - 4 SA PROF. ANDREA PUGLIESE GEOMETRIA EUCLIDEA NELLO SPAZIO ISTITUTO SAN GABRIELE CLASSI 4 S - 4 SA PROF. ANDREA PUGLIESE GEOMETRIA EUCLIDEA NELLO SPAZIO GEOMETRIA NELLO SPAZIO Gli enti fondamentali sono punto, retta, piano, e spazio. Con le lettere maiuscole (A,B,C,...)

Dettagli

Anno Accademico Corso di Laurea in Scienze biologiche Prova scritta 1 di Istituzioni di Matematiche del 13 febbraio 2007 COMPITO A

Anno Accademico Corso di Laurea in Scienze biologiche Prova scritta 1 di Istituzioni di Matematiche del 13 febbraio 2007 COMPITO A del 13 febbraio 007 COMPITO A 1. Dire per quali valori del parametro reale λ, il seguente sistema lineare x + y = 1 x + y = x y = λ ammette soluzioni e trovarle.. Siano date le rette r : x + 3y + 3 = 0

Dettagli

Rappresenta nel piano cartesiano l insieme dei punti P(x; y) le cui coordinate soddisfano le seguenti condizioni:

Rappresenta nel piano cartesiano l insieme dei punti P(x; y) le cui coordinate soddisfano le seguenti condizioni: ultima modifica /0/0 ESERCIZI PROPOSTI IL PIANO CARTESIANO LE COORDINATE DI UN PUNTO NEL PIANO CARTESIANO A Quali sono le coordinate dei punti indicati in figura? B Quali sono le coordinate dei punti indicati

Dettagli

Misure riguardanti triangoli, parallelogrammi, poligoni regolari e cerchio

Misure riguardanti triangoli, parallelogrammi, poligoni regolari e cerchio Misure riguardanti triangoli, parallelogrammi, poligoni regolari e cerchio ELEMENTI DI GEOMETRI PIN. MISURE RIGURDNTI TRINGOLI, PRLLELOGRMMI, POLIGONI REGOLRI, CERCHIO La geometria piana si occupa delle

Dettagli

POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI AD UNA CIRCONFERENZA

POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI AD UNA CIRCONFERENZA POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI AD UNA CIRCONFERENZA Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono punti della circonferenza. La circonferenza si dice circoscritta al

Dettagli

Esercizi sulle rette nello spazio

Esercizi sulle rette nello spazio 1 Esercizi sulle rette nello spazio 1) Sono dati quattro punti non complanari, tre di essi possono essere allineati? 2) Sono dati quattro punti non complanari, quanti piani generano? 3) Quante coppie di

Dettagli

Le caratteristiche dei poligoni. La relazione tra i lati e gli angoli di un poligono. Definizioni

Le caratteristiche dei poligoni. La relazione tra i lati e gli angoli di un poligono. Definizioni Le caratteristiche dei poligoni 1. Si dice poligono la parte del piano delimitata da una spezzata chiusa. 2. Il perimetro di un poligono è la somma delle misure del suoi lati, si indica cm 2p. 3. Un poligono

Dettagli

Liceo Scientifico G. Galilei Trebisacce Anno Scolastico Prova di Matematica : La retta + Pitagora e Euclide Alunno: Classe: 2 C

Liceo Scientifico G. Galilei Trebisacce Anno Scolastico Prova di Matematica : La retta + Pitagora e Euclide Alunno: Classe: 2 C Liceo Scientifico G. Galilei Trebisacce Anno Scolastico 011-01 Prova di Matematica : La retta + Pitagora e Euclide Alunno: Classe: C 8.0.01 prof. Mimmo Corrado A. Dato il triangolo di vertici: 7, 1, 65

Dettagli

Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO GEOMETRIA

Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO GEOMETRIA Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO GEOMETRIA TRIANGOLI Criteri di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti:

Dettagli

e) A10, ( 1;B6,2 ) ( ) f) A3,42;B12,2

e) A10, ( 1;B6,2 ) ( ) f) A3,42;B12,2 7. ESERCIZI SULLA DISTANZA FRA DUE PUNTI ) Calcola le distanze fra le seguenti coppie di punti: a) A;B6 ( ) ( ) A( 8 ); B( 7 5) c) A ( ;B ) ( 7) d) A( ); B e) A ( ;B6 ) ( ) f) A4;B ( ) ( ) g) A ; B 6 h)

Dettagli

CIRCONFERENZA E CERCHIO

CIRCONFERENZA E CERCHIO CIRCONFERENZA E CERCHIO CERCHIO Perimetro (circonferenza) Area La circonferenza è circa 3 volte ( ) la lunghezza del diametro C= d oppure C=2 r A = r 2 Formule inverse d=c: r=c:(2 ) SETTORE CIRCOLARE È

Dettagli

Circonferenza e cerchio

Circonferenza e cerchio Circonferenza e cerchio Def. La circonferenza è la linea chiusa formata dall insieme di tutti i punti di un piano che hanno la stessa distanza da un punto detto centro della circonferenza. La distanza

Dettagli

Liceo Scientifico G. Galilei Trebisacce Anno Scolastico Prova di Matematica : La retta + Pitagora e Euclide Alunno: Classe: 2 B

Liceo Scientifico G. Galilei Trebisacce Anno Scolastico Prova di Matematica : La retta + Pitagora e Euclide Alunno: Classe: 2 B Liceo Scientifico G. Galilei Trebisacce Anno Scolastico 011-01 Prova di Matematica : La retta + Pitagora e Euclide Alunno: Classe: B 9.03.01 prof. Mimmo Corrado A. Dato il triangolo di vertici: 3, 1 4,

Dettagli

Gli angoli alla circonferenza e i corrispondenti angoli al centro

Gli angoli alla circonferenza e i corrispondenti angoli al centro Gli angoli alla circonferenza e i corrispondenti angoli al centro Svolto dalle alunne: Astuto Giuliana, Indriolo Mariapia, Lombardo Federica, Muscolino Maria Pia ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA Un angolo alla

Dettagli

SPEZZATA. Si chiama spezzata una figura costituita da due o più segmenti consecutivi non adiacenti. A, B, C, D, E. Vertici AB, BC, CD, DE,..

SPEZZATA. Si chiama spezzata una figura costituita da due o più segmenti consecutivi non adiacenti. A, B, C, D, E. Vertici AB, BC, CD, DE,.. Poligoni e triangoli SPEZZATA Si chiama spezzata una figura costituita da due o più segmenti consecutivi non adiacenti B A D E A, B,, D, E. Vertici AB, B, D, DE,.. Lati Una spezzata può essere aperta chiusa

Dettagli

NOME E COGNOME. Sia ABC un triangolo isoscele di vertice A, Prolungare il lato AB di un segmento BD AB e dimostrare che DC > AB.

NOME E COGNOME. Sia ABC un triangolo isoscele di vertice A, Prolungare il lato AB di un segmento BD AB e dimostrare che DC > AB. VERIFICA DI MATEMATICA ^F Liceo Sportivo impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il giorno 6 dicembre 018 NOME E COGNOME 1 3 4 5 Sia ABC un triangolo isoscele di

Dettagli

equivalenti =. ABCD è un trapezio

equivalenti =. ABCD è un trapezio EQUISCOMPONIBILITÀ Problema P.367.41 Dato un trapezio ABCD, considera i due triangoli che hanno ciascuno per base uno dei due lati obliqui e per terzo vertice il punto medio del lato opposto. Dimostra

Dettagli

Esercizi riepilogativi sulle coniche verso l esame di stato

Esercizi riepilogativi sulle coniche verso l esame di stato Esercizi riepilogativi sulle coniche verso l esame di stato n. 9 pag. 55 Sono date le curve α e β definite dalle seguenti relazioni: α : xy x y + 4 = 0 β : luogo dei punti P (k + ; 1 + k ), k R a) Dopo

Dettagli

CONGRUENZE TRA FIGURE DEL PIANO

CONGRUENZE TRA FIGURE DEL PIANO CONGRUENZE TRA FIGURE DEL PIANO Appunti di geometria ASSIOMI 15. La congruenza tra figure è una relazione di equivalenza 16. Tutte le rette del piano sono congruenti tra loro; così come tutti i piani,

Dettagli

Poligoni Un poligono è la parte di piano delimitata da una linea spezzata, semplice e chiusa.

Poligoni Un poligono è la parte di piano delimitata da una linea spezzata, semplice e chiusa. Poligoni Un poligono è la parte di piano delimitata da una linea spezzata, semplice e chiusa. Lato Vertice Angolo interno Angolo esterno I lati del poligono sono segmenti che costituiscono la linea spezzata.

Dettagli

1. costruzione di un TRIANGOLO ISOSCELE di assegnati lati

1. costruzione di un TRIANGOLO ISOSCELE di assegnati lati LABORATORIO DI GEOMETRIA COSTRUZIONI DI BASE DI POLIGONI 1. costruzione di un TRIANGOLO ISOSCELE di assegnati lati Si costruisce un segmento AB, base del triangolo, ed un segmento CD, lato obliquo. Si

Dettagli

I TRIANGOLI. Esistono vari tipi di triangoli che vengono classificati in base ai lati e agli angoli.

I TRIANGOLI. Esistono vari tipi di triangoli che vengono classificati in base ai lati e agli angoli. I TRIANGOLI Il triangolo è un poligono formato da tre angoli o vertici e da tre lati. Il triangolo è la forma geometrica con il minor numero di lati perché tre è il numero minimo di lati con cui si può

Dettagli

Unità Didattica N 25 Quadrilateri particolari

Unità Didattica N 25 Quadrilateri particolari Unità idattica N 25 Quadrilateri particolari 41 Unità idattica N 25 Quadrilateri particolari 01) efinizione di quadrilatero 02) efinizione di parallelogrammo 03) Teoremi diretti sul parallelogrammo 04)

Dettagli

Problemi sui teoremi di Euclide e Pitagora

Problemi sui teoremi di Euclide e Pitagora Appunti di Matematica GEOMETRIA EUCLIDEA Problemi sui teoremi di Euclide e Pitagora Utilizzando le misure di segmenti e superfici si possono riscrivere i teoremi di Pitagora ed Euclide per il triangolo

Dettagli

Geometria. Lezione del 07/03/2012. Stage di Trieste Progetto Olimpiadi

Geometria. Lezione del 07/03/2012. Stage di Trieste Progetto Olimpiadi Geometria Lezione del 07/03/2012 Stage di Trieste Progetto Olimpiadi Assiomi Sono 5, i primi 4 sono: 1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta. 2. Si può prolungare un segmento

Dettagli

Scheda per il recupero 16 TRIANGOLI

Scheda per il recupero 16 TRIANGOLI Ripasso Scheda per il recupero ongruenza nei triangoli Triangoli e criteri di congruenza TRINGOLI lassificazione rispetto ai lati Un triangolo si dice: isoscele se ha due lati congruenti; equilatero se

Dettagli

METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA. Lezione n 11

METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA. Lezione n 11 METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA Lezione n 11 In questa lezione percorriamo gli argomenti della geometria che interessano la scuola primaria, in modo essenziale, o meglio ancora

Dettagli

Test di Matematica di base

Test di Matematica di base Test di Matematica di base Geometria Il rapporto tra la superficie di un quadrato e quella di un triangolo equilatero di eguale lato è a. 4 b. 4 d. [ ] Quali sono le ascisse dei punti della curva di equazione

Dettagli

Teoremi di geometria piana

Teoremi di geometria piana la congruenza teoremi sugli angoli γ teorema sugli angoli complementari Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo α β In generale: Se due angoli sono complementari di due angoli congruenti

Dettagli

La parallela tracciata dal punto medio di un lato di un triangolo a uno degli altri due lati incontra il terzo lato nel suo punto medio.

La parallela tracciata dal punto medio di un lato di un triangolo a uno degli altri due lati incontra il terzo lato nel suo punto medio. TEOREMA DI TALETE Piccolo Teorema di Talete Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull altra trasversale.

Dettagli

IL TRIANGOLO. Teorema di Pitagora. Il triangolo è un poligono avente tre lati.

IL TRIANGOLO. Teorema di Pitagora. Il triangolo è un poligono avente tre lati. IL TRIANGOLO Il triangolo è un poligono avente tre lati. FORMULE AREA: Il triangolo è equivalente a metà parallelogramma. A = (b x h) : da cui: b= A : h e h= A : b TRIANGOLO RETTANGOLO (a, b cateti; c

Dettagli

Corso di Matematica - Geometria. Geometria - 0. Ing. L. Balogh

Corso di Matematica - Geometria. Geometria - 0. Ing. L. Balogh Geometria - 0 Triangoli qualunque somma degli angoli interni, calcolo del perimetro e dell area Oggetti Vertici Lati Angoli Altezza Raggio Simbolo A, B, C a, b, c,, h S, r Perimetro = + + Somma angoli

Dettagli