Incontri Olimpici Geometria
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- Corinna Mancini
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1 Incontri Olimpici Geometria Michele arsanti appunti redatti da Ercole Suppa 19 dicembre 009 Sommario In questo documento sono riportati gli appunti della conferenza tenuta da Michele arsanti in occasione degli Incontri Olimpici Rette parallele e similitudine. Problema 1. Dagli estremi, di un segmento tracciamo due segmenti paralleli, D e sia F = D. Dal punto E tracciamo la parallela ad e sia F il suo punto di intersezione con. Dimostrare che: D = 1 EF D E F Figura 1 1
2 Dalla similitudine dei triangoli D e F E abbiamo: EF D = F ed analogamente dalla similitudine dei triangoli ed F E segue che (1) EF = F () Sommando (1) e () otteniamo: EF D + EF = D = 1 EF Problema. Sia un triangolo con = 10. bisettrice interna dell angolo, dimostrare che: Se D è la 1 D = F E D Figura
3 Siano E, F i punti in cui le parallele ad D passanti per e incontrano e rispettivamente. Si verifica subito che E, E, F, F hanno tutti ampiezza 60. Pertanto i triangoli E e F sono equilateri per cui E = e F =. Dal problema precedente segue che: 1 D = 1 E + 1 F = Problema 3. Sia un triangolo e siano M, N i punti medi di e rispettivamente e sia G il baricentro. Dimostrare che M N, = MN e G = GN M N G Figura 3 I triangoli e MN sono simili (per il secondo criterio di similitudine) ed hanno rapporto di similitudine. Pertanto: MN, = MN llora anche i triangoli G e MNG sono simili con rapporto di similitudine, quindi = MN. Problema 4. Sia D un quadrilatero e siano K, L, P, Q i punti medi di D,, D, rispettivamente. Dimostrare che i segmenti KL e P Q si bisecano. 3
4 P L K Q D Figura 4 Dal problema precedente segue che KP, KP = 1 (1) QL, QL = 1 () Da (1) e () discende che KP QL e KP = QL. Pertanto KQLP è un parallelogrammo per cui le diagonali KL e P Q si bisecano. Disuguaglianza triangolare. Problema 5. Sia a l asse di un segmento e sia P un punto appartenente al semipiano di origine a contenente. Dimostrare che P < P. 4
5 a P' Q Figura 5 Sia Q = a P. Dalla disuguaglianza triangolare applicata al triangolo P Q, tenuto conto che Q = Q, abbiamo: P < P Q + Q P < P Q + Q = P Problema 6. Siano L, M, N i punti medi dei lati,, di un triangolo. Dimostrare che + + > 3 (M + N + L) N G M L Figura 6 5
6 Indichiamo con G il baricentro del triangolo. La disuguaglianza triangolare applicata rispettivamente a GN, GL, GM fornisce: G < 1 + GN (1) Sommando (1), (), (3) otteniamo: G < 1 + GL () G < 1 + GM (3) G + G + G < 1 ( + + ) (4) Dalla (4) tenuto conto che il baricentro divide ciascuna mediana in due parti, una doppia dell altra, segue che 3 (M + N + L) < 1 ( + + ) + 1 (M + M + L) 3 M + M + L < 3 ( + + ) Osservazione 1. La disuguaglianza M +M +L < 3 ( + + ) può essere migliorata come, dimostrato nel seguente problema. Problema 7. Siano L, M, N i punti medi dei lati,, di un triangolo. Dimostrare che + + > M + N + L 6
7 N G M L ' Figura 7 Sia il simmetrico di rispetto ad L. Poichè è un parallelogrammo si ha che =. Dalla disuguaglianza triangolare applicata al triangolo otteniamo < + L < + (1) In moodo analogo si prova che M < + () N < + (3) La disuguaglianza richiesta si ottiene sommando (1), (), (3). Problema 8. Siano L, M, N i punti medi dei lati,, di un triangolo. Dimostrare che M + N + L > 3 ( + + ) 4 N G M L Figura 8 7
8 Indichiamo con G il baricentro del triangolo. La disuguaglianza triangolare applicata rispettivamente a G, G, G fornisce: G + G > L < + (1) G + G > M < + () G + G > N < + (3) Sommando (1), (), (3) ed utilizzando le note relazioni G = 3 M, G = 3 N, G = 3 L abbiamo: (G + G + G) > (M + N + L) > M + N + L > 3 ( + + ) 4 3 lcune proprietà dell ortocentro. Si dimostra facilmente che gli angoli intorno all ortocentro di un triangolo sono uguali agli angoli = α, = β,, come illustrato nella seguente figura. R S H T Figura 9 Problema 9. In un triangolo, i simmetrici dell ortocentro rispetto ai lati appartengono alla circonferenza circonscritta. 8
9 R S H T H' Figura 10 Sia H l ortocentro e sia H il simmetrico di H rispetto al lato. Dalle proprietà degli angoli intorno all ortocentro segue che: H + = H H + HH + = = HT + T H + = = α + β + γ = 180 Pertanto il quadrilatero H è ciclico e H appartiene alla circonferenza circonscritta ad. Problema 10. In un triangolo, i simmetrici dell ortocentro rispetto ai punti medi dei lati lati appartengono alla circonferenza circonscritta. 9
10 H M H' Figura 11 Sia H l ortocentro e sia H il simmetrico di H rispetto al punto medio M del lato. Il quadrilatero H H è un parallelogramma in quanto le sue diagonali e HH si dimezzano. Pertanto, utilizzando le proprietà degli angoli alterni interni e quelle degli angoli intorno all ortocentro, abbiamo: H + = H H + HH + = = H H + H H + = = α + β + γ = 180 llora il quadrilatero H è ciclico, ossia H appartiene alla circonferenza circonscritta ad. Problema 11. Sia un triangolo rettangolo con = 90 e siano D, E, F l altezza, la bisettrice e la mediana uscenti dal vertice. Dimostrare che DE = EF. D E F Figura 1 10
11 Il triangolo è inscrivibile nella semicirconferenza di diametro. llora, tenuto conto che F = F, si ha F = F = 90 = D (1) Poiche E è la bisettrice di N si ha E = E () Sottraendo membro a membro () ed (1) si ottiene: DE = EF. 11
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