ESERCIZI SVOLTI DEL CORSO DI TRASMISSIONE NUMERICA

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1 Università egli Stui i rento Corso i Lure in Ingegneri elle eleomunizioni ESERCIZI SVOLI DEL CORSO DI RASMISSIONE NUMERICA Prof Lorenzo Bruzzone

2 ESERCIZIO Costruire un oie vente n=3, k=2 on rità isri, ovvero on role i oie ostituite un numero isri i ) Il oie ottenuto è linere? ) Visulizzre nello szio triimensionle l isosizione elle role i oie ) Determinre le ità riveltive e orrettive el oie SOLUZIONE ESERCIZIO ) Innnzitutto eterminimo le role i oie (evono essere ostituite tutte un numero isri i ): M i X i Verifihimo l linerità: X X 2 = () ( ) = ( ) l oie Quini il oie NON è linere ) Le role i oie sono istriuite nello szio triimensionle el oie nel moo seguente: Prol i oie Prol non rtenente l oie ) Dll figur è eviente he l istnz minim tr le role i oie è ri 2 (si noti he il lolo ell istnz minim uò essere effettuto onfrontno le istnze tr tutte le ossiili oie i role i oie Non si uò rgionre sul eso elle role i oie erhé il oie non è linere) Quini: il oie uò rivelre errore; il oie NON uò orreggere errori Per l rtiolre struttur ei oii ontrollo i rità, in questo so si ossono rivelre nhe errori trili

3 ESERCIZIO 2 Un sorgente isret senz memori uò emettere 7 simoli ifferenti A, B, C, D, E, F e G rtterizzti lle seguenti roilità i emissione: P ( A ) = P( B ) = P( C ) = P( E ) = P( F ) = P( G ) = 8 P ( D ) = ) Determinre il oie i Shnnon-Fno er l sorgente onsiert ) Clolre l effiienz erentule el oie ottenuto ) Il oie ottenuto è ssolutmente ottimo? 4 SOLUZIONE ESERCIZIO 2 ) Il oie i Shnnon-Fno er l sorgente onsiert uò essere ottenuto nel moo seguente: Simolo Proilità Pssi i oifi Prol i N i 2 3 oie D /4 2 A /8 3 B /8 3 C /8 3 E /8 3 F /8 3 G /8 3 ) 7 7 N = P N i= 9 = = + = i i = H( X ) = P log 2 = log log 2 P 4 8 i= 275 [ init / simolo] = + 3 = + = i = i 275 [ it / simolo] H( X ) Effiienz % = = % N ) Il oie ottenuto è ssolutmente ottimo ( N = H( X )) ESERCIZIO 3 Si onsieri un oie lohi linere sistemtio on k=3 e n=4 Dte le role i oie X = ( ), X 2 = () e X 3 = ( ), eterminre l mtrie G

4 SOLUZIONE ESERCIZIO 3 Simo he: X = MG = ( m m m ) Il oie è sistemtio, quini: X = ( ) M = ( ) X 2 = () M 2 = ( ) X 3 = ( ) M 3 = ( ) G = Inino on x i ' ' ' ' il qurto it ell rol i oie i-esim, ossimo srivere: x ' ' ' ' = = 4 ' ' ' ' = = = x = x3' ' ' ' = = 34 = Pertnto: G = ESERCIZIO 4 Si to un oie lohi linere sistemtio vente n=5, k=2 e rtterizzto ll seguente mtrie genertrie: G = ) Determinre le role i oie ) Determinre l ità orrettiv e riveltiv el oie ) Verifire he l rol i oie Y=() non rtiene l oie utilizzno l sinrome ) Effetture l orrezione ell suett rol Y utilizzno l sinrome ) Simo he: SOLUZIONE ESERCIZIO 4

5 X = MG Pertnto, ossimo trovre le role i oie effettuno un semlie rootto righe er olonn i tutti i messggi er l mtrie G Si ottiene: M i X i W( X i ) ) Dto he il oie è linere, l istnz minim si uò rivre ome il minimo vlore el eso ssoito lle role i oie Nel nostro so min = 3, ertnto: il oie uò rivelre fino 2 errori; il oie uò orreggere errore ) Riorimo he l sinrome si uò lolre ome: S = YH ; H [ P = I n k ] G 2 [ I P] = P = = [ P I ] H 3 = S = YH = () = ( ) ( ) Pertnto, esseno S ( ), Y NON rtiene l oie ) Veimo ome si uò usre l sinrome er effetture l orrezione i Y Simo he: S = YH = EH Costruimo l tell i orrisonenz tr i vlori ei vettori errore e l sinrome (limitimoi gli errori singoli in qunto il nostro oie uò orreggere solo errori singoli):

6 E S Limitimoi onsierre gli errori singoli e ostruimo l tell i ssoizione sinrome-errore: Nel nostro so (vei risost ): Pertnto: S Ê S = YH = ( ) Ê = ( ) Xˆ = Y + Ê = () + ( ) = () ESERCIZIO 5 Si to il oifitore i un oie onvoluzionle mostrto in figur (n=2, k=, L=2): m i m i m i- m i-2 ) Determinre l oe rte el oie ) Disegnre il trliio el oie ) Disegnre il igrmm stti el oie ) Dto il messggio in ingresso (), eterminre l sequenz in usit l oifitore e) Determinre l istnz lier el oie

7 SOLUZIONE ESERCIZIO 5 ) A ogni ingresso mi orrisone un usit on ue it x' i = mi mi x' ' i = mi mi 2 x ti : ' i x' ' i L oe rte el oie è quini ri : R =/2 ) Esseno L=2, il numero i ossiili stti el oifitore è to : 2 L =2 2 =4 Veimo ome si uò eterminre il trliio: Stto m i- m i-2 stto usit stto m i= m i= ) Dl trliio è immeito ssre l igrmm egli stti: usit m i= m i=

8 ) Utilizzno il trliio (o il igrmm egli stti) si uò filmente eterminre l'usit el oifitore: m i stto x i e) Veimo infine i lolre l istnz lier el oie: F stto L istnz lier L è ri : L =4

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