CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prova di FISICA del 15 luglio 2010

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1 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prova di FISICA del 15 luglio ) Una particella di massa m = 100 g viene lanciata da un punto O di un piano orizzontale scabro con velocità v O, paraliela al piano. Raggiunto il punto A, che dista d = 2m dal punto O, la variazione della sua energia cinetica (E cin A - E cin O ) è J. In A sale su un piano inclinato di θ = 30, rispetto al piano orizzontale. L altezza del piano inclinato, fino alla sommità, è h =1m. Si determini: a) il coefficiente di attrito µ tra la particella e il piano su cui si muove, nel tratto OA. b) la minima velocità v O con cui la particella debba essere lanciata da O affinché raggiunga la sommità del piano inclinato, sopponendo il piano inclinato perfettamente liscio. Facoltativo: calcolare la minima velocità v O con cui la particella debba essere lanciata da O affinché raggiunga la sommità del piano inclinato, supponendo che il piano inclinato sia scabro con coefficiente di attrito pari a quello del tratto OA. 2) Un recipiente cilindrico, aperto superiormente, ha raggio R, altezza h=2m ed è interamente riempito di acqua. In prossimità della base inferiore ha un forellino di sezione circolare di raggio r = 1 cm chiuso da un tappo. Tolto il tappo, il rapporto tra la velocità dell acqua della superficie libera e quella di efflusso dal forellino è Si calcoli, supponendo l acqua un fluido ideale, : a) il raggio R del recipiente e la massa di acqua contenuta inizialmente nel recipiente. b) la velocità di efflusso dal forellino giustificando le approssimazioni fatte. 3) Una mole di un gas perfetto monoatomico compie un ciclo reversibile a partire dallo stato iniziale A, in cui la pressione p A = Pa e il volume V A = m 3, costituito dalle seguenti trasformazioni : AB, in cui la pressione aumenta linearmente con il volume ed inoltre p B = 2 p A e V B = 3 V A ; BC, isovolumica e CA isoterma. a) si disegni il ciclo in un diagramma (p, V), si calcolino le coordinate termodinamiche p,v e T ed il lavoro compiuto dal gas nelle trasformazioni AB, BC e CA e nell intero ciclo. b) si calcoli il calore scambiato nelle singole trasformazioni ed il rendimento della macchina che opera con lo stesso ciclo. (Nota: R= 8.31 J/Kmole =0.082 l atmo /Kmole) 4) Due lamine metalliche infinitamente estese sono uniformemente cariche con densità di carica superficiale di segno opposto e modulo σ = C/m 2. La distanza d tra le lamine è 6 cm. Un elettrone (di massa m e ) si stacca, con velocità iniziale nulla, dalla lamina carica negativamente. Determinare: a) il campo elettrico fra le due lamine metalliche e la forza agente sull elettrone, precisando per entrambi modulo, direzione e verso; b) la velocità dell elettrone nell istante in cui raggiunge la lamina carica positivamente. [Note: si trascuri la forza di gravità. e- = C; m e = kg; ε 0 = C 2 /Nm 2 ] SCRIVERE IN MODO CHIARO GIUSTIFICARE BREVEMENTE I PROCEDIMENTI SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE NON DIMENTICARE LE UNITA` DI MISURA. Testi, soluzioni ed esiti alle pagine: www2.fisica.unimi.it/bettega/ (AD), qinf.fisica.unimi.it (EN), (OZ)

2 SOLUZIONE ESERCIZIO 1 a) Nel tratto OA l unica forza agente sulla particella che compie lavoro è la forza di attrito. Il lavoro L compiuto è : L = - µmg d che, per il teorema lavoro energia cinetica, è pari alla variazione dell energia cinetica della particella. Si ha quindi L = - µmg d = E cin A - E cin O = J. Si ricava quindi µ = 0.4 / mg d = 0.2. b) Qualora il piano inclinato sia perfettamente liscio e la particella ne raggiunga la sommità con energia cinetica nulla, l energia meccanica della particella sulla sommità (tutta nella forma di energia potenziale) è E = mgh = 0.98 J. L energia meccanica viene conservata nel tratto percorso lungo il piano inclinato e pertanto l energia meccanica in A (tutta nella forma di energia cinetica) è 0.98 J. L energia cinetica in O deve pertanto essere E cin O = 0.98 J+0.4J = 1.38J, da cui si ricava facilmente la minima velocità v O con cui deve essere lanciata affinché raggiunga la sommità del piano inclinato come v O =(2E cin O /m ) ½ = 5.3 m/s. Facoltativo: Qualora il piano inclinato sia scabro, l energia meccanica non si conserva nel tratto percorso lungo il piano inclinato ma diminuisce di una quantità pari al lavoro L fnc compiuto dalle forze non conservative, in questo caso la forza di attrito. Pertanto l energia cinetica che la particella deve avere in O, per raggiungere la sommità del piano inclinato, deve essere aumentata, rispetto a quella del caso del piano inclinato liscio di una quantità pari a L fnc. La lunghezza s del piano inclinato, essendo l angolo θ = 30 e l altezza h = 1m è s = 2m. La forza di attrito ha modulo f = µmg cos θ e pertanto il lavoro compiuto nel tratto s è L = - s µmg cos θ = J. L energia cinetica che la particella deve avere in O è pertanto E cin O = 1.38J J = 1.72J. La velocità v O con cui deve essere lanciata affinché raggiunga la sommità del piano inclinato è quindi v O = 5.9 m/s.

3 SOLUZIONE ESERCIZIO 2 a) Indicati con s e S le sezioni del forellino e del recipiente e con v e V rispettivamente le velocità dell acqua in corrispondenza al forellino e alla superficie libera del recipiente, si ha, secondo l equazione di continuità, : v s = V S da cui V/v = s/s = πr 2 / πr 2 = Si ricava quindi che R/r = 10 2 da cui R = 1m. La massa di acqua contenuta inizialmente nel recipiente è pertanto M= ρv, dove ρ è la densità dell acqua ( 10 3 kg/m 3 ) e V il volume del recipiente, con V= πr 2 h = 6.28 m 3. M è quindi kg. b) La velocità di efflusso dell acqua in corrispondenza del forellino si ottiene dal teorema di Bernoulli, applicato in corrispondenza rispettivamente della superficie libera superiore dell acqua e del forellino. Si ha quindi : p atmo + ½ ρ V 2 + ρ g h = p atmo + ½ ρ v 2 Poiché V = 10 4 v, il termine ½ ρ V 2 può essere trascurato e pertanto v = (2 g h) ½ = 6.3 m/s.

4 SOLUZIONE ESERCIZIO 3 a) Le coordinate termodinamiche sono le seguenti: stato A: p A = Pa V A = m 3 T A = p A V A /nr = Pa m 3 / 8.31 J/moleK = 72.2 K stato B: p B = 2 p A = Pa V B = 3 V A = m 3 T B = p B V B /nr = 2 p A 3 V A /nr = 6 T A = K stato C: V C = V B = 3 V A = m 3 T C = T A = 72.2 K p C = nrt A /3V A = 1/3 p A = 10 5 Pa In un diagramma di questo tipo il Lavoro compiuto dal gas nelle trasformazioni AB, BC e CA è pari all area delimitata dalle trasformazioni stesse e dall asse V, tra lo stato iniziale e quello finale. Pertanto: L AB = (p B + p A ) (V B -V A ) /2 = 1800 J L BC = 0 L CA = nrt A ln(v A /V C ) = 8.31 J/moleK x 72.2 K ln(1/3) = -659 J Per l inero ciclo si ottiene: Lciclo = L AB +L BC +L CA = 1141 J b) Il calore scambiato nelle varie trasformazionisi ottiene dal 1. Principio della termodinamica. Q AB = E AB + L AB = nc V T + L AB = = 3/2 R (T B -T A ) + L AB = (15/2 x 8.31 x ) J = 6300 J Q BC = E BC + L BC = nc V T = 3/2 R (T C -T B ) = -15/2 x 8.31 x 72.2 J = J Q CA = E CA + L CA = L CA = -659 J Il rendimento della macchina è pari a: η = L ciclo /Q ass = 1141/6300 = 0.18 p 2 p A p A p A 3 A VA B C VC V

5 SOLUZIONE ESERCIZIO 4 a) Supposta la lamina negativa coincidente con l asse y e quella carica positivamente passante per il punto (+d,0), il campo elettrostatico all interno delle due lamine è perpendicolare alle lamine e ha verso opposto a quello del semiasse positivo x. Il modulo / E / = σ / ε 0 = Ν / C. Pertanto E = (Ν/ C) i La forza elettrostatica agente sull elettrone F = q E, è parallela all asse x e con verso concorde a quello del semiasse positivo x. Sostituendo i valori numerici si ha F = (N) i. b) Soggetto all azione della Forza F, l elettrone si muove verso la lamina carica positivamente e quando la raggiunge la sua energia cinetica, inizialmente nulla, è variata di una quantità pari al Lavoro compiuto dalla forza F durante lo spostamento d. Poiché / F / è costante e parallela allo spostamento il suo Lavoro è semplicemente / F / d = J. La velocità dell elettrone è pertanto v = (2 L/m) 1/2 = (1.66 x ) 1/2 m/s = 1.3 x 10 8 m/s