Meccanica Dinamica del punto materiale

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1 Meccanica Dinamica del punto materiale 8

2 Dinamica del punto materiale Legge fondamentale della dinamica: d r ma m dt Tipi di forza: orza peso Reazione vincolare orza di attrito radente (statico, dinamico)

3 orza elastica : una forza del tipo Nel caso ulsazione: Dinamica del punto materiale orza elastica x k x x u k ( ) ( ) x > costante elastica Il modulo è proporzionale allo spostamento rispetto al centro Il verso è sempre opposto a quello dello spostamento Esempio: punto materiale all estremo di una molla ideale (senza massa): l l x a m k m Moto armonico semplice, con ω k π eriodo: T π m ω O kx x k( l l ) kx Equazione del moto: forza accelerazione posizione d x x m k (monodimensionale) lunghezza a riposo dt k + x m k ω m Determinati dal rapporto tra costante elastica e massa del punto

4 ( x) kx u x l l Dinamica del punto materiale orza elastica Equazione del moto? x sin( ω t + φ) con ω Se assumiamo condizioni iniziali x ( ) x v( ) x x sin( ω t + / ) x cos( ω ) π d x k + x dt v ω x sin( ω t) m Equazione della velocità? v ω cos( ω t + φ) t sinφ x cos ω φ φ π /, x k m

5 Dinamica del punto materiale orza elastica Supponiamo una velocità iniziale non nulla: x ( ) x v ( ) v sinφ x ω cosφ v ase iniziale: mpiezza: sinφ ω cosφ sin x v sin α + cos α 1 x v φ + cos φ + ω Sfruttiamo Equazione del moto: 1/ tan vremo ancora moto armonico φ x ω v 1 x sin( ω t + φ) ma con valori diversi di ampiezza e fase iniziale arctan φ v x x ω v + ω v x x( t) x + + sin ωt arctan ω ω v er v si ritrovano i risultati precedenti arctan α π / α

6 Dinamica del punto materiale orza elastica Equilibrio statico l ( l l ) 1 pplichiamo a una forza costante che mantenga la molla (ideale) tesa con uno spostamente costante x 4 3 l 1 I punti e Q sono fermi pplicata dall esterno orza elastica -kx orza elastica +kx Reazione vincolare oiché anche la molla nel suo insieme è ferma la risultante delle forze esterne deve essere nulla: er mantenere una molla libera deformata di una quantità x dobbiamo applicare agli estremi due forze uguali e contrarie di modulo kx

7 ili e carrucole ilo ideale : inestensibile, massa trascurabile Tensione del filo teso a una estremità da una forza Elemento infinitesimo ds bilancia la forza T ll interno del filo ogni elemento infinitesimo è in equilibrio statico tra coppie di forze ll altro estremo il vincolo esercita la forza B T T, T B Carrucola: consente di cambiare direzione alla forza senza modificarne l intensità z O B β orza applicata al perno: T 1 + T T cos β u Z mg mg

8 endolo conico unto materiale di massa m appeso a un filo di lunghezza data ruota con v cost su traiettoria circolare (filo: inestensibile, massa trascurabile)

9 Calcolare: Velocità del punto, tensione del filo TOT ma z T cos mg v N T sin man m r (moto circolare uniforme) T mg T cos v mg La velocità non m dipende dalla massa r cos sin v rg tan v ± gl sin tan Limite di piccoli angoli: cos sin +... endolo conico Relazione tra angolo e velocità del punto T + mg v gl L angolo è (circa) proporzionale alla velocità T cos mg Velocità angolare: ω T T v r sin u z mg g tan l sin ω u T gl sin tan l sin l T r u N g / l O g l cos

10 y y f ( ) y sin 1 3 y 6

11 T Moto curvilineo dv dt v R m ut + m u N T N + orza tangenziale Variazione del modulo della velocità N ma + m T a N a a + a orza centripeta Variazione della direzione T N Effetto della presenza di vincoli a T T La causa della variazione di direzione nel moto curvilineo è spesso data dalla risposta vincolare a N N zone del vincolo: N

12 endolo semplice orza peso Tensione del filo unto materiale di massa m appeso a un filo ideale (inestensibile, massa trascurabile) di lunghezza fissata

13 endolo semplice unto di massa m, vincolato a un filo ideale, nei pressi della superficie terrestre osizione generica individuata dall angolo Moto circolare TOT T + mg ma Componenti normale e tangente alla traiettoria centripeta: tangenziale: T mg cos ma mg sin ma Verso opposto a > ( forza di richiamo ) T ccelerazione tangenziale in funzione della accelerazione angolare: d a T Lα L g sin dt d dt N g L + a T g sin d g + sin dt L Nel limite di piccole oscillazioni (piccoli valori di ): sin +... < Moto armonico semplice O > L mg sin T mg Equazione differenziale del moto del pendolo mg cos

14 iccole oscillazioni ulsazione e periodo: ω g L Equazione del moto: T er l angolo Velocità angolare: Velocità angolare d g + dt L endolo semplice π π ω Moto armonico semplice L g ( t) max sin( ω t + φ) Condizioni iniziali Indipendenti - dalla massa - dall ampiezza dell oscillazione Coordinata s(t) lungo la traiettoria: d s( t) L ( t) L max sin( ωt + φ) ω ( t) ω max cos( ωt + φ) dt Velocità lineare: ulsazione ds v ( t) Lω max cos( ωt + φ) dt Velocità massima: cos( ω t + φ ) 1 ( ω t + φ) Velocità nulla: cos( ω t + φ ) ( ω t + φ) π / max O s( t) L mg sin T mg cos mg

15 Tensione del filo T mg cos ma N T m( g cos v + an ) m g cos + L Tensione massima: er piccole oscillazioni: v( t) Lω cos( ω t + φ) max Limite delle piccole oscillazioni: T π L / er grandi oscillazioni: moto periodico ma non armonico pprossimazione sul periodo endolo semplice Equazione del moto: t) sin( t ) Componente perpendicolare alla traiettoria: ( ω ) max ω φ T ( t) m g cos + L cos ( t + ) Tensione minima: ( max ω + φ ( t) ( ω + φ ) ( t) max t ( ω + ϕ ) π / t g max < 5 T / T < 5% max < 7 T / T <.1% O L mg sin T mg cos mg

16 endolo semplice orza peso Tensione del filo

17 Lavoro della forza: Dinamica del punto materiale Lavoro della forza Consideriamo un punto in moto, soggetto a una forza compie uno spostamento s lungo la sua traiettoria π / W < Lavoro motore ( W > ) π / Lavoro nullo ( W ) π / Lavoro totale compiuto da una forza nello spostamento di dal punto al punto B assando al limite: W B s s cos T s > Lavoro resistente ( W < ) orza e la direzione dello spostamento in generale variano da un punto all altro della traiettoria orza costante su ogni piccolo spostamento W i s i i W B ds n i 1 s B cos ds i s i s i i B T B ds s ds T orza tangenziale: proiezione in direzione dello spostamento B Il lavoro è l integrale di linea della forza lungo la traiettoria

18 Dinamica del punto materiale Lavoro della forza La forza agente può essere la risultante di diverse forze Lavoro totale: W B N B B ds i ds i 1 B N i ds i 1 N B N ds W i 1 N N i 1 i i 1 i i ds Il lavoro della risultante è pari alla somma del lavoro delle singole forze agenti B - Non agiscono forze W - La risultante è nulla - La risultante è sempre ortogonale alla traiettoria - Spostamento nullo E.g.: Moto circolare uniforme