SISTEMI DI DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE

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1 SISTEMI DI DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE Un equazione di primo grado in una incognita del tipo, con ha: una sola soluzione (equazione determinata) se nessuna soluzione (equazione impossibile) se tutte le soluzioni reali (equazione indeterminata) se Un equazione di primo grado in due incognite del tipo, con e ha sempre infinite soluzioni, che rappresentate nel piano cartesiano danno luogo ad una.. In matematica si definisce sistema di equazioni un insieme di due o più equazioni. Risolvere un sistema di equazioni significa determinare i valori reali che siamo contemporaneamente soluzioni di tutte le equazioni che compongono il sistema. Si definisce grado di un sistema il prodotto dei gradi complessivi rispetto alle incognite delle sue equazioni. Esempio: Il sistema (a) è di secondo grado perché formato da un equazione di secondo grado e una di primo:, mentre il sistema (b) è di sesto grado perché formato da un equazione di terzo e da una di secondo. Sistemi di primo grado di due equazioni in due incognite Esaminiamo i sistemi di due equazioni di primo grado in due incognite. Poiché ogni equazione di primo grado in due incognite rappresenta graficamente una e risolvere un sistema significa trovare la soluzione comune tra le due equazioni, dal punto di vista grafico un sistema di due equazioni in due incognite rappresenta due. e la sua soluzione rappresenta il loro.. Esempio Il sistema rappresenta graficamente le due rette riportate nel grafico a fianco e la sua soluzione rappresenta il loro punto di intersezione. Vediamo dal grafico che il punto comune alle due rette è : significa che e sono le soluzioni del sistema, come possiamo verificare sostituendo i valori alle incognite.

2 Dalla geometria del piano sappiamo che due rette possono essere incidenti, parallele o coincidenti. Come saranno i corrispondenti sistemi? Se le rette sono incidenti, il sistema avrà soluzione/i (sistema determinato) Se le rette sono parallele, il sistema avrà soluzione/i (sistema impossibile) Se le rette sono coincidenti, il sistema avrà soluzione/i (sistema indeterminato) Metodi risolutivi di un sistema di primo grado in due incognite Graficamente è possibile individuare nei casi più semplici la soluzione di un sistema, ma è un metodo lungo e spesso non preciso. Vediamo allora come si arriva alla soluzione con metodi che si basano su procedimenti algebrici. Metodo di sostituzione Prendiamo il sistema dell esempio e risolviamolo con il metodo di sostituzione. Occorre ricavare una delle due incognite da una delle due equazioni (ad esempio la y dalla prima equazione) applicando i principi di equivalenza delle equazioni: Sostituire alla y della seconda equazione l espressione corrispondente ottenuta dalla prima: La prima equazione resta invariata mentre la seconda diventa un equazione in una sola variabile. Risolviamo la seconda equazione, mantenendo uguale la prima: Calcolato il valore di x, si sostituisce nella prima equazione per determinare il valore di y: Otteniamo la coppia di valori che risultava dal grafico. Esercizio 1 sostituzione: (a) (b) (c) Metodo di riduzione (somma e sottrazione) Prendiamo di nuovo il sistema dell esempio

3 e risolviamolo con il metodo di riduzione. Questo metodo consiste nel moltiplicare, se necessario, una o entrambe le equazioni per un valore reale tale da rendere uguali o opposti i monomi nella stessa incognita. Nel nostro caso, se moltiplichiamo la seconda equazione per, i monomi in diventano uguali: Attenzione: moltiplicare un equazione per 2 significa moltiplicare tutti i coefficienti di entrambi i membri dell equazione per 2. A questo punto costruiamo una terza equazione, eseguendo una sottrazione tra le due equazioni ottenute (se avessimo monomi opposti avremmo eseguito un addizione) Otteniamo un equazione nella sola incognita che risolviamo: Calcoliamo ora la, ripartendo dal sistema in forma normale e moltiplicando, se necessario, per rendere uguali o opposti i monomi in y. Vediamo che in questo caso non è necessario moltiplicare perché i coefficienti della y sono già opposti, quindi eseguiamo la sottrazione: Otteniamo un equazione nella sola incognita che risolviamo: Otteniamo la coppia di valori che risultava dal grafico. Esercizio 2 riduzione: (d) (e) (f) Metodo di Cramer Prendiamo il seguente sistema: e risolviamolo con il metodo di Cramer. Il metodo di Cramer consiste nel costruire, partendo da un sistema in forma normale, tre tabelle di quattro elementi disposti in due righe e in due colonne (matrici 2x2), utilizzando i coefficienti delle incognite e i termini noti delle equazioni. Di queste tre matrici dovremo poi calcolare il determinante, cioè un numero che, nel caso di matrici 2x2, si ottiene dalla differenza tra i prodotti degli elementi della diagonale principale

4 (diagonale che va da sinistra a destra) e gli elementi della diagonale secondaria (diagonale che va da destra a sinistra) Costruiamo le matrici. La prima matrice è detta matrice dei coefficienti delle incognite e si ottiene riportando, nell ordine, i coefficienti della (prima colonna) e della y (seconda colonna). Quindi partendo dal sistema: Otterremo come matrice dei coefficienti delle incognite: La seconda matrice è detta e si ottiene dalla matrice sostituendo i termini noti alla colonna dei coefficienti della : La terza matrice è detta e si ottiene dalla matrice in modo simile alla, sostituendo i termini noti alla colonna dei coefficienti della : A questo punto le soluzioni del sistema si trovano calcolando i rapporti tra i determinanti: che in questo caso sarà: Attenzione: in matematica le matrici e i determinanti dovrebbero essere rappresentati con simboli diversi. Per semplicità invece abbiamo indicato la matrice e il suo determinante con lo stesso simbolo. Esercizio 3 riduzione: (g) (h) (i)

5 SOLUZIONI (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) imp