PROGRAMMA SVOLTO E INDICAZIONI LAVORO ESTIVO. a. s CLASSE 3Cs. Insegnante: prof.ssa Franca TORCHIA Disciplina: MATEMATICA

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1 PROGRAMMA SVOLTO E INDICAZIONI LAVORO ESTIVO a s CLASSE Cs Insegnante: profssa Franca TORCHIA Disciplina: MATEMATICA

2 PROGRAMMA SVOLTO EQUAZIONI E DISEQUAZIONI - Disequazioni e princìpi di equivalenza (ripasso) - Disequazioni di primo grado (ripasso) - Disequazioni di secondo grado (ripasso) - Disequazioni di grado superiore al secondo (ripasso) - Disequazioni fratte (ripasso) - Sistemi di disequazioni (ripasso) - Equazioni e disequazioni con valori assoluti - Equazioni e disequazioni irrazionali FUNZIONI - Funzioni e loro caratteristiche o Definizione di funzione reale di variabile reale o Dominio e codominio di una funzione o Immagine e controimmagine, zeri, positività o Grafico della funzione - Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche, pari, dispari - Funzione inversa e suo grafico - Proprietà delle funzioni - Funzioni composte PIANO CARTESIANO E RETTA (ripasso) - Coordinate nel piano Lunghezza di un segmento - Punto medio di un segmento, baricentro di un triangolo Riepilogo: Distanza, punto medio, baricentro - Rette nel piano cartesiano o Coefficiente angolare, retta passante per due punti - Rette parallele e rette perpendicolari - Distanza di un punto da una retta - Luoghi geometrici e retta - Fasci di rette LE TRASFORMAZIONI E I GRAFICI DELLE FUNZIONI - Le traslazioni - Le simmetrie - Simmetria rispetto all asse - Simmetria rispetto all asse y - Simmetria rispetto all origine - Grafico di y= f() e y=f( ) - Le dilatazioni e contrazioni LA PARABOLA - Definizione e equazione - Parabola con asse parallelo all asse y e all asse - Parabole in posizione particolare - Posizione reciproca retta-parabola - Le rette tangenti - Grafici di funzioni - Risoluzione grafica di equazioni e disequazioni irrazionali LA CIRCONFERENZA - Definizione e equazione - Circonferenze in posizione particolare - Posizione reciproca retta-circonferenza - Le rette tangenti - I fasci di circonferenze - Grafici di funzioni - Risoluzione grafica di equazioni e disequazioni irrazionali L ELLISSE - Definizione e equazione - Proprietà dell ellisse: assi, vertici, fuochi, eccentricità

3 - Posizione reciproca retta-ellisse - Le rette tangenti - L ellisse traslata (metodo del completamento del quadrato) - Grafici di funzioni - Risoluzione grafica di equazioni e disequazioni irrazionali L IPERBOLE - Definizione - Equazione dell iperbole riferita al centro e agli assi, equazione degli asintoti - Proprietà dell iperbole: assi, vertici, fuochi, eccentricità - Posizione reciproca retta-iperbole - Le rette tangenti - L iperbole traslata (metodo del completamento del quadrato) - L iperbole equilatera, l iperbole riferita ai propri asintoti - La funzione omografica - Grafici di funzioni - Risoluzione grafica di equazioni e disequazioni irrazionali FUNZIONI ESPONENZIALI - La funzione esponenziale e sue caratteristiche - Equazioni esponenziali - Disequazioni esponenziali INDICAZIONI PER IL LAVORO ESTIVO ALLIEVI AMMESSI ALLA CLASSE SUCCESSIVA Tutti gli studenti ammessi alla classe successiva devono svolgere gli esercizi (divisi per argomento) di seguito riportati e gli esercizi al termine di ogni capitolo relativi a VERIFICA DELLE COMPETENZE INDICAZIONI PER IL LAVORO ESTIVO ALLIEVI CON GIUDIZIO SOSPESO e/o eventuali VOTI DI CONSIGLIO Gli studenti con giudizio sospeso devono ripassare bene tutti gli argomenti trattati durante l anno e svolgere ALMENO gli esercizi (divisi per argomento) di seguito riportati CAP EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DISEQUAZIONI E PRINCIPI DI EQUIVALENZA ASSOCIA a ogni unione di intervallo sulla retta orientata la rappresentazione equivalente con le parentesi quadre a ] ;] ]; +[ b [ ;] [; +[ c [ ;[ [; +[ d [ ;] ]; +[ Stabilisci se i seguenti insiemi sono intervalli o unioni di intervalli Rappresentali sulla retta orientata, mediante disuguaglianze e con le parentesi quadre R 5 5 ; ] ; [ ] ;5] R DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO Risolvi le seguenti disequazioni intere numeriche + 6( + ) + 0

4 Risolvi la seguente disequazione ( + )( ) 0 DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO ASSOCIA a ogni disequazione la sua soluzione 0 a 0 ( ) 0 b Impossibile c Risolvi le seguenti disequazioni numeriche intere ( ) 9 ( ) + ( ) ( + ) d R 5 DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO VERO O FALSO? 9 + 0è sempre vero 0 non ha soluzioni 9 0 ha come soluzione ha soluzione ha soluzione 5 5 Risolvi le seguenti disequazioni di grado superiore al secondo 6 7 non esiste R DISEQUAZIONI FRATTE Risolvi le seguenti disequazioni fratte SISTEMI DI DISEQUAZIONI Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni + ( ) 6 ( + ) ( ) + + =

5 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI ASSOCIA a ogni equazione o disequazione la sua soluzione + = 0 a = = b Impossibile 5 0 c + 0 d R Risolvi le seguenti equazioni che contengono valori assoluti = + = 0 ( ) ( ) = 9 = 5 + = = 6 = 5 7 Risolvi le seguenti disequazioni con il valore assoluto Risolvi il seguente sistema di disequazioni con il valore assoluto EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI VERO O FALSO? a 9 = + è impossibile b + = 5è sempre vera c può avere soluzioni negative d = ( ) e ha soluzione Risolvi la seguente equazione irrazionale = 0 = + 0 = 0 = = Risolvi le seguenti disequazioni irrazionali

6 CAP FUNZIONI FUNZIONI E LORO CARATTERISTICHE LEGGI IL GRAFICO Osserva il grafico della figura che rappresenta una funzione f() e: a determina dominio e codominio; b individua gli zeri di f(); c calcola f(0), f(), f() a), y ; b),, ;c), 0, non esiste COMPLETA Nella funzione f : R R completa le uguaglianze, scrivendo il valore mancante (se esiste) al posto dei puntini y = ; f ( ) = ; = f Determina il dominio delle seguenti funzioni = + ; 8 = f ( ); 5 () = f 5 7; ; non esiste; y + y = y = + + PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI Indica se le seguenti funzioni sono pari, dispari, né pari né dispari ( ) = ; g ( ) = + ; h ( ) dispari, pari, né pari né dispari f = + 9 LEGGI IL GRAFICO Ciascuno dei seguenti grafici rappresenta una funzione y = f () di dominio D R Indica per ognuno se si tratta di una funzione pari o dispari o né pari né dispari e determina gli intervalli di crescenza a)dispari, [-;-[ ]- ;[ ];]; b)pari,[0;[ ]; +[;c)népari né dispari,[-;-[ ]- ;[ [; +[

7 LEGGI IL GRAFICO Ciascuno dei seguenti grafici rappresenta una funzione f : R R Indica per ognuno se si tratta di una funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva Date le seguenti funzioni f e g, determina f g e g f ( ) = + ; g ( ) f = + CAP PIANO CARTESIANO E RETTA COORDINATE NEL PIANO LEGGI IL GRAFICO Scrivi le coordinate dei punti indicati in figura Trova per quali valori di a il punto P( a ; a + ) appartiene al secondo quadrante a LEGGI IL GRAFICO Indica la condizione sulle coordinate che descrive l insieme di punti evidenziato y LUNGHEZZA E PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO, BARICENTRO DI UN TRIANGOLO Verifica che il quadrilatero di vertici A(; 0), B(; ), C( ; ) e D( ; ) è un rombo; calcola il perimetro e l area del rombo 0; 8 Sia M(; 6) il punto medio del segmento AB, con A( ; 5) Determina le coordinate di B B ( 5; 7) Verifica che il triangolo di vertici A(; ), B(9; ) e C(7; 8) è isoscele Calcola il perimetro e l area e 9 8 determina il baricentro + 6; 6; ; Determina il triangolo A B C simmetrico di ABC, con A(; ), B(6; ), C(; ), rispetto al punto P(; ) A ( 0; 5), B( ; 7), C(; 7) COMPLETA Dati i punti A( ; ) e B(8; ): a) La distanza tra i punti A e B è b) Il punto medio del segmento AB ha coordinate M c) Il simmetrico del punto B rispetto al punto A ha coordinate B' d) Il baricentro del triangolo OAB ha coordinate G a );b) M; ; c)b ( 6; 7);d) G ;

8 EQUAZIONI LINEARI E RETTA Scrivi l equazione della retta passante per A e B A(; ), B( ; 5) y= Indica il coefficiente angolare m, il termine noto q e poi rappresenta la retta di equazione: y 6 = 0 = m ; q = Disegna le rette rappresentate dalle seguenti equazioni + y = 0; y+ = 0 ASSOCIA a ogni retta un punto appartenente ad essa ) A(; ) ) y 9 = 0 B(;8) y = ) + y + = 0 ) y = 0 C ; D( ; ) FORMA ESPLICITA E COEFFICIENTE ANGOLARE Disegna i grafici delle rette rappresentate dalle seguenti equazioni Trasforma poi tali equazioni in forma implicita y = 5 ; y = 5 Determina, se possibile, il coefficiente angolare delle rette AB, AC e BD e disegnale ( ) A ;, B ( ) 0; C ; D 0;, ( ), ( ) ;0; non esiste Trova l equazione della retta passante per l origine che ha il coefficiente angolare y m = e poi ; = = P calcola l ascissa del punto P della retta che ha ordinata 6 Scrivi l equazione della retta che passa per il punto P(; ) e ha coefficiente angolare uguale a quello della retta di equazione y = 0 y= 6 Rappresenta graficamente le seguenti funzioni y= ; + y = se 0 se0 se Rappresenta nel piano cartesiano l insieme delle soluzioni del seguente sistema di disequazioni + y 0 y + 0 VERO O FALSO? a) Il coefficiente angolare della retta passante per i punti A(; ) e B(0; b) La retta di equazione 6y + = 0 ha coefficiente angolare m = ) è m = se c) Il punto (; ) appartiene al grafico della funzione y = + 5 se d) La retta passante per il punto (;) e parallela all asse y ha equazione = RETTE PARALLELE E RETTE PERPENDICOLARI LEGGI IL GRAFICOScrivi le equazioni della retta r, della retta s parallela a r e della retta t perpendicolare a r r : y = + ;s : y = ;t : y = + 6

9 Considera le seguenti rette, determina il loro coefficiente angolare e stabilisci, senza disegnarle, quali sono parallele e quali perpendicolari + y = 0, y+ 6 = 0, 6+ y = 0, y 8 = 0 Scrivi l equazione della retta parallela e della retta perpendicolare alla retta data, entrambe passanti per A, poi disegna le tre rette 5 y =, y ; y 5 = + = + 5 A ( ) 0; Fra le rette passanti per il punto P( ; ) determina l equazione della retta che è: a) parallela all asse ; b) perpendicolare alla retta di equazione y = + POSIZIONE RECIPROCA DI DUE RETTE Stabilisci la posizione reciproca delle seguenti rette r : y = 5, s : y + 7 = 0, t :0 y + 6 = 0 7 a) y = ; b) y = + I lati del triangolo ABC appartengono alle rette di equazione: y = 0 ; ; = Determina le coordinate dei vertici e calcola il perimetro del triangolo A ;0 ; B ; ; C ; ; + y = + ASSOCIA a ogni sistema lineare la corrispondente situazione grafica + y + = 0 + y + = 0 a) b) y = y = ( ) ( ) ( ) + y + = 0 c) y = + 5 ) ) ) DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA Determina la distanza del punto P dalla retta r : y = + ; r, ( ) P [a-; b-; c-] VERO O FALSO? a) Il punto (; ) è più vicino all asse y che all origine O b) La distanza tra la retta d equazione + y + 8 = 0 e il punto (; ) è c) La distanza tra le due rette parallele di equazioni y = e y = + è d) Il punto (;) ha la stessa distanza dall asse e dalla retta d equazione = 5 [a) V; b) V; c) F; d) V] LUOGHI GEOMETRICI E RETTA Determina l equazione dell asse del segmento avente come estremi i punti A e B, utilizzando due metodi diversi A( ;), ( 5;) B y + 9 = 0 Determina le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle rette r ed s r : y = 0, : y + = 0 + y = 0; y + 6 = 0 s COMPLETA a L asse del segmento di estremi A(; ) e B( 5; 0) ha coefficiente angolare b Le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle rette = e y = sono e c L equazione della retta simmetrica di y = rispetto alla retta = è d I punti P(;0) e P'(; ) si corrispondono in una simmetria di centro

10 FASCI DI RETTE Scrivi l equazione del fascio di rette le cui generatrici hanno equazione + y 5 = 0 e 6+ y = 0, stabilisci di che fascio si tratta e determina l equazione della retta che passa per il punto A(; 0) Dato il fascio di equazione ( ) ( ) fascio è proprio improprio; + y 6= 0 k + + k 7 y k = 0, determina le generatrici e il centro, se il a) Studia il fascio di rette di equazione ( ) 0 7 7y = 0; + y = 0; ; 5 5 k + y k = e determina il centro del fascio se è proprio b) Determina l equazione della retta del fascio passante per P(; ) c) Determina l equazione della retta del fascio perpendicolare alla retta di equazione Tra le rette del fascio di equazione ( ) ( ) a) è parallela all asse delle ascisse; b) è parallela all asse delle ordinate; c) passa per l origine del sistema di riferimento; d) passa per il punto A( ; ); e) è parallela alla retta di equazione + y = 0 a) proprio di centro(;);b) y + = 0; c) + y 9 = 0 y = k + k y + k = 0, k R, determina quella che: a) y = ; b) = ; c) y = 0; d) 7y + 9 = 0; e) 6 + 9y = 0 ASSOCIA all equazione di ciascun fascio di rette la relativa descrizione ) y = m m ) y = m( ) ) y = + k ) + y = k a) Fascio improprio di rette contenente la retta di equazione y = 0 b) Fascio proprio di rette di centro P(; ) c) Tutte le rette aventi coefficiente angolare m = d) Tutte le rette passanti per il punto A(;) eccetto la retta = [-b; -d; -a; -c] CAP 5 PARABOLA PARABOLA E SUA EQUAZIONE Determina le caratteristiche delle seguenti parabole e rappresentale nel piano cartesiano y = 5 ; y= ; y = 5 Applicando la definizione, determina l equazione della parabola di cui sono assegnate le coordinate del fuoco F e l equazione della direttrice d F ( ; ), d : y = y = + + Determina le caratteristiche delle seguenti parabole e rappresentale nel piano cartesiano y = + 6; y = + + 5

11 Scrivi l equazione della parabola avente vertice nell origine degli assi e per fuoco il seguente punto Disegna la parabola nel piano cartesiano e scrivi l equazione della direttrice F ;0 = y ; = Scrivi l equazione della parabola avente il vertice in V(0; ) e per direttrice la retta d di equazione = Disegna la parabola nel piano cartesiano e scrivi le coordinate del suo fuoco F = y y ; F ( ; ) Determina le caratteristiche delle seguenti parabole e rappresentale nel piano cartesiano 7 = y y ; = y y + 6; = y + y + Rappresenta graficamente le seguenti funzioni y = + + ; y = + + y = + ; = y + ; y = COMPLETA La parabola di equazione y = a) ha per asse di simmetria la retta di equazione = b) incontra l asse y nel punto P c) ha il vertice nel punto V d) ha per direttice la retta di equazione y = RETTE E PARABOLE a) = ;b) P 5 ( 0; ); c) V(;);d) y = Trova la misura della corda AB che si ottiene intersecando la parabola di equazione y = con la retta di equazione = + y AB = 0 Inscrivi nella parte di piano delimitata dalla parabola di equazione un rettangolo che ha il perimetro uguale a y = + e dall asse y = ASSOCIA a ogni coppia di retta e parabola la corretta descrizione a y =, y = La retta è tangente alla parabola b = 0, y = + + La retta è secante la parabola c y + 5 = 0, y = + La retta è esterna alla parabola y = + d y =, La retta è parallela all asse della parabola [a-; b-; c-; d-] RISOLUZIONE GRAFICA DI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Risolvi graficamente la seguente disequazione irrazionale 5 0 ;, ;, LEGGI IL GRAFICO irrazionale Quale? Il seguente grafico si riferisce alla risoluzione grafica di un equazione =

12 RETTE TANGENTI A UNA PARABOLA È data la parabola di equazione y = + Scrivi l equazione della retta tangente alla parabola nel punto in cui questa interseca l asse y y= + y = Determina l equazione delle rette tangenti alla parabola È data la parabola di equazione passanti per il punto P(; ) Detti A e B i punti di tangenza, calcola il perimetro del triangolo ABP y = ; y = ; A( ;0 ); B(0;0); + 5 Determina l equazione della retta tangente alla parabola di equazione y = + e parallela alla retta di equazione, poi calcola le coordinate del punto di tangenza y = ; ( ;) y = + 5 È data la parabola di equazione 9 y = + Calcola l area del segmento parabolico 6 individuato dalla parabola e dalla retta di equazione y = 0 VERO O FALSO? a) Per determinare l equazione della retta tangente alla parabola y = + nel suo punto (;) è possibile usare la formula dello sdoppiamento b) Il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola di equazione y = + nel suo punto d incontro con l asse y vale m = c) La parabola di equazione y = 5 e la retta di equazione sono tangenti y = + d) L area del segmento parabolico individuato della parabola di equazione y = + + e dalla retta di equazione y = vale [a) V; b) F; c) F; d) V] DETERMINARE L EQUAZIONE DI UNA PARABOLA Determina l equazione della parabola con asse parallelo all asse, della quale sono indicate di seguito le coordinate del vertice V e del fuoco F e rappresentala nel piano cartesiano V ( 0; ), F ; y y = + + Scrivi l equazione della parabola di vertice V ; 0 e direttrice d: y=, poi rappresentala 9 graficamente y = + 6 Determina l equazione della parabola che passa per i punti A ( ;) e B ( ;) e che ha per asse di simmetria la retta = = y y + y Determina l equazione della parabola che passa per i punti A, B e C assegnati e rappresentala graficamente A( ; ), ( 0;) B, ( ; 5) C = y Scrivi l equazione della parabola di vertice V(; 5), asse parallelo all asse y e passante per il punto A(; ) Rappresentala graficamente y = + + Determina l equazione della parabola equazione y + = 0 y = a + b + c di vertice V(; 5) e tangente alla retta r di y = + 7

13 LEGGI IL GRAFICO Trova l equazione del grafico utilizzando i dati della figura f ( ) 6 8 se + se = ASSOCIA a ogni equazione di parabola le sue caratteristiche a y = + 5 Parabola di vertice V(;) e fuoco F ; b y = Parabola di vertice V(;) e passante per A(0;5) c 9 y = + Parabola di fuoco F ; e direttrice d: y = d y = + Parabola passante per A(0;5) e tangente all asse [a-; b-; c-; d-] CAP 6 CIRCONFERENZA CIRCONFERENZA E SUA EQUAZIONE Determina il luogo geometrico costituito dai punti del piano aventi distanza dal punto C(; ) + y 6y + 6 = 0 Indica se le seguenti equazioni sono le equazioni di una circonferenza e in caso affermativo rappresentale graficamente + y + y = 0 ; + y 6y 7 = 0; + y + 5y + 9 = 0 Calcola per quale valore di k l equazione + y + y + k = 0 rappresenta una circonferenza e determina per quali valori di k si ha una circonferenza: a con raggio ; b passante per il punto A(; ) k 7;a k = 9; b k = Determina il dominio e rappresenta graficamente la seguente funzione = + y = y Rappresenta graficamente la curva descritta dalla seguente equazione + y + + y = 0 LEGGI IL GRAFICOTrova l equazione corrispondente al seguente grafico utilizzando i dati della figura + se 0 f ( ) = se 0 se

14 Rappresenta graficamente la regione del piano corrispondente alla soluzione del seguente sistema di disequazioni + y + y 9 6y + 0 ASSOCIA a ogni equazione di circonferenza la corretta caratteristica ) + y + y = 0 + y + y = ) 0 + y + 6y + 8 = ) 0 ) + y + + = 0 a) Circonferenza col centro sull asse b) Circonferenza che passa per il punto (; ) c) Circonferenza di raggio d) Circonferenza di centro (0, ) RETTA E CIRCONFERENZA La retta di equazione + y + = 0 interseca la circonferenza + y + y = 0 B Calcola la misura della corda AB A ( ;),B( ;0);AB = Risolvi graficamente la seguente disequazione irrazionale [-c, -d, -b, -a] nei punti A e + 5 ; 0, + 0 ; 0,5 Trova l area della regione individuata dal seguente sistema di disequazioni + y y y y y 6 6y 9 y 7 COMPLETA le seguenti affermazioni a La circonferenza : + y + 6 y + 9 = 0 interseca l asse in A b La retta di equazione + y = interseca la circonferenza in B e C c La retta di equazione y = 0 è alla circonferenza d La retta = k stacca sulla circonferenza la corda di lunghezza massima se k = a A ( ;0), b B( ;), C( ;);cesterna; d k = RETTE TANGENTI Determina l equazione delle rette tangenti alla circonferenza di equazione + y + y 5 = 0 condotte dal punto P( ; ) y = 5; y = 5 y y + 5 = 0, verifica che il punto P(; ) le Data la circonferenza di equazione appartiene e determina l equazione della retta tangente in P alla circonferenza + y 5 = 0 Conduci dal punto P(;0) le rette tangenti alla circonferenza di equazione + y + = 0 e, detti A e B i punti di contatto, calcola l area del triangolo ABP y = 0; + y = 0; A( ;); B( ; ); Area = 8

15 Scrivi l equazione della circonferenza di centro C(; ), passante per A(; ) e disegnala Determina poi l equazione della retta tangente alla circonferenza in A + y 6y = 0; y 7 = 0 VERO O FALSO? a Da un punto P esterno a una circonferenza si possono condurre due rette tangenti alla circonferenza b La retta tangente alla circonferenza + y 5 = 0 nel suo punto (;) ha coefficiente angolare c Le rette di equazioni e + y + 9 = 0 d La retta di equazione = y = = sono tangenti alla circonferenza di equazione è tangente alla circonferenza di equazione + y 6 + 8y = 0 [a) V; b) F; c) F; d) V] DETERMINARE L EQUAZIONE DI UNA CIRCONFERENZA Determina l equazione della circonferenza di diametro AB, con A( ; ) e B(; ), e stabilisci per P + k;k le appartiene quali valori di k il punto ( ) + y 5y = 0; k = k = Determina l equazione della circonferenza passante per i punti A(; 0), B( ; ), C(; ) + y y 0 = 0 Determina l equazione della circonferenza passante per i punti A(; ) e B(0; ) e avente centro sulla retta r di equazione y+ = 0 y y 7 + = 0 Determina l equazione della circonferenza passante per i punti P(; ) e Q(7; ) e tangente alla retta di equazione y = = 0; = 0 y y y y Si considerino i punti A(;), B(;0) e P(;) a) Determina l equazione della circonferenza di diametro AB b) Verifica che la retta PA è tangente a c) Indicata con t l altra tangente a passante per P, determina il punto D di t di ascissa 0 d) Determina le coordinate del punto E in modo che la circonferenza risulti inscritta nel triangolo PDE a) : + y = ; c) t : y = 7, D 0; ; d) E ; ( ) ( ) ( ) ( ) Determina l equazione circonferenza con centro C(5;) e tangente alla retta di equazione + y 7 = 0 Verifica che è tangente all asse y in D e calcola l area del triangolo ABD, essendo A e B i punti in cui interseca l asse : + y 0 8y + 6 = 0; D 0; ; A ;0, B 8;0 ; Area = ( ) ( ) ( ) LEGGI IL GRAFICO Scrivi le equazioni delle circonferenze rappresentate utilizzando i dati delle figure a b a) + y = 0; b) + y y + = 0

16 POSIZIONE DI DUE CIRCONFERENZE Determina i punti A e B di intersezione delle due circonferenze y y = 0e la lunghezza della corda comune AB y y ASSOCIA a ogni coppia di circonferenze la corretta posizione reciproca 7 A ) + y + y = 0, + y + y = 0 a) Secanti ) + y + + y = 0, + y y + = 0 b) Tangenti ) + y + 6y = 0, + y y = 0 c) Esterne = 0 e A ( ; ), B( ; ) ) + y =, + y = 0 d) Concentriche [-d, -c, -b, -a] FASCI DI CIRCONFERENZE Sono date le circonferenze di equazione: + y + 0 6y + 6 = 0, + y + y = 0 a) Dopo averle rappresentate graficamente scrivi l equazione del fascio da esse generato b) Determina le coordinate degli eventuali punti base del fascio c) Scrivi l equazione della circonferenza del fascio che passa per il punto P(0; ) d) Trova l equazione della circonferenza del fascio che ha centro sulla retta di equazione: y+ 8 = 0 ( + k) + ( + k) y ( k ) A 7, y + 6 k = 0; ( ;0 ); k = ; ( + ) + ( y ) = 8 Determina l equazione del fascio di circonferenze passanti per i punti A e B Calcola inoltre la retta dei centri del fascio A( ; ), ( 0;) B ( ) ( ) + y + k + k + y k = 0; 8 6y 9 = 0 Determina l equazione del fascio di circonferenze tangenti nel punto P di ordinata alla retta r di equazione + y = 0 Scrivi poi le equazioni delle circonferenze del fascio di raggio ( k + ) + ( k ) + y + y k + 8 = 0; + y = 0; + y + 8y + = + k + + k y + k + 6y + 5k = 0 Dato il fascio di circonferenze di equazione: ( ) ( ) ( ) a) trova le due circonferenze generatrici; b) calcola l asse radicale e i punti base del fascio; c) determina l asse centrale; d) stabilisci per quale valore del parametro k si ha la circonferenza passante per P(; ) + y + 6y + = 0, + y + 5 = 0; y = 0; A 5 0 ( ;0), B( ; ); y = ; k = COMPLETA le seguenti affermazioni in riferimento al fascio di circonferenze di equazione: + y + ( k ) + ( k) y k + 8 = 0 a) Il punto base del fascio è A b) La circonferenza del fascio passa per l origine O se k = c) La circonferernza del fascio col centro sulla retta di equazione y = + si ha per k = d) L asse centrale del fascio ha equazione a) A(; );b) k = ;c) k = 6;d) y = CAP 7 ELLISSE ELLISSE E SUA EQUAZIONE Determina il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze dai punti A ( 8;0) e B ( 8;0) sia 0 y + = 00 6

17 A 0; Determina il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze dai punti ( ) e B( 0;) sia 0 y + = 6 5 Scrivi l equazione dell ellisse coi fuochi sull asse y, asse minore di misura Determina la sua eccentricità 9 + y = ; e = 5 e asse maggiore Riconosci se ognuna delle seguenti equazioni rappresenta un ellisse; in caso affermativo scrivile in forma canonica, determina la misura dei semiassi, le coordinate dei vertici e dei fuochi, l eccentricità e rappresenta la curva graficamente y y + = ; + 5y = 00 ; + = 5 9 Riconosci quali delle seguenti equazioni rappresentano ellissi, scrivile in forma canonica e stabilisci se i fuochi appartengono all asse oppure all asse y a) a) + y = ; b) 5y 0 + = ; b) y + = ; c) 5y = 5 ; d) y 9 + = ; c) y = 6 ; d) = 6y + 0 = 8 y LEGGI IL GRAFICO Trova le equazioni delle ellissi rappresentate nei seguenti grafici, utilizzando i dati delle figure, e determina le coordinate dei vertici, quelle dei fuochi e l eccentricità a) b) a) + y = ;A, ;0 ;B, 0; ;F 9 B, ( 0; 6) ;F ( 0; ) ; e =, y ( ) ( ) ( ;0 ); e = ; b) + = ; A ( ;0 ); 6 ELLISSI E RETTE y Stabilisci la posizione reciproca tra l ellisse + = e le rette di equazioni r: y = 5 e 9 s: y + 6 = 0 e, nel caso non siano esterne, determina i loro punti di intersezione, è esterna;s è secantein P ; ; P 6, r ( 0; ) y Data l ellisse di equazione + =, trova la misura della corda individuata sulla retta di 6 6 equazione + y = 0 Determina l equazione della tangente all ellisse di equazione y 8 + = nel punto ( ; ) y P = +

18 ASSOCIA a ciascuna retta la sua posizione rispetto all ellisse di equazione + y = 7 a tangente b y 7 = 0 secante c esterna [a-; b-; c-] y = y + = 0 DETERMINARE L EQUAZIONE DI UN ELLISSE Determina l equazione dell ellisse che ha un vertice in ( ) Scrivi l equazione dell ellisse 6 ; ; ( ;) a 0; 5 y + =, passante per i punti indicati b ;0 e un fuoco in ( ) y + = 9 5 y + = Scrivi l equazione dell ellisse con centro di simmetria nell origine che ha un fuoco nel punto y ( ) ed eccentricità ; rappresentala nel piano cartesiano + = 9 8 F,0 È data l equazione e = y + = Determina per quali valori di k essa rappresenta una ellisse e 5 k k ; k = per quali rappresenta una circonferenza COMPLETA tenendo conto che F e F sono i fuochi dell ellisse ed e è l eccentricità a) + y = F ;, F ; e = 9 F ( 0;6 ), F ( 0; 6) b) + y = c) + y = 6 F ( ;0 ), F ( ) a) F ;0 Determina le caratteristiche e rappresenta la seguente ellisse 9 + y + 6 y + = 0 + 5y 8 50y 7 = 0 e = 5 e = y y ( ;0 ), e = ; b) + = ; c) + =, =, e Dopo averne determinato il dominio e codominio, rappresenta graficamente le seguenti funzioni y = +, y = + y = 9, y = + Risolvi graficamente la seguente disequazione irrazionale ; 0, ;, 5 VERO O FALSO? a) L ellisse di equazione + y + 6y = 0 ha il centro di simmetria nel punto (; ) b) Il dominio della funzione y = + vale

19 c) L ellisse di equazione + y = 6 tramite la dilatazione di equazioni = y = y si trasforma in una circonferenza d) Le ellissi di equazione + y = e 9 + y 8 = 0 si corrispondono mediante una 9 traslazione [a) V; b) V; c) F; d) F] LEGGI IL GRAFICO Il seguente grafico si riferisce alla risoluzione grafica di un equazione irrazionale Scrivi l equazione e risolvila 9 = + ; 9 = = 5 CAP 8 IPERBOLE IPERBOLE E SUA EQUAZIONE Determina il luogo geometrico dei punti del piano la cui differenza delle distanze dai punti A( ;0) e ( ) B ;0 sia 6 y = 9 Determina il luogo geometrico dei punti del piano la cui differenza delle distanze dai punti y A( 0; ) e ( ) sia 6 = 9 Date le seguenti equazioni, determina per ciascuna iperbole la misura del semiasse trasverso, le coordinate dei vertici e dei fuochi, l equazione degli asintoti, l eccentricità e rappresenta ogni curva graficamente y 5 = ; B 0; 9y 6 = ; y = 6 y y = ; 5y = 00; = 6 8 Riconosci quali delle seguenti equazioni rappresentano iperboli, scrivile in forma canonica e stabilisci se i fuochi appartengono all asse oppure all asse y a) y = ; b) y + 0 = 0 ; c) 5y = 0 + ; d) 9 = 8 6y LEGGI IL GRAFICO Scrivi le equazioni delle iperboli rappresentate, utilizzando i dati delle figure Trova le coordinate dei vertici, dei fuochi, l eccentricità e le equazioni degli asintoti a) b) c) a) y y = ; b) = ; c) y = 5 y Stabilisci per quali valori di k l equazione: + = k k + a) un iperbole; b) un iperbole coi fuochi sull asse rappresenta: a) k k ; b) k

20 IPERBOLI E RETTE Stabilisci la posizione tra la seguente retta e l iperbole e, nel caso in cui la retta sia secante, determina i loro punti di intersezione y = 0, 8 y = 7 secante; P ( ; ); P ( ; 5) Calcola la lunghezza della corda staccata dall iperbole di equazione equazione + 5y = 0 retta 5y 7 8 Determina le equazioni delle tangenti all iperbole di equazione y = y = ; y = Determina il valore di k affinché l iperbole di equazione equazione y = 0 = sulla retta di 9 condotte dal punto ( ) y = sia tangente alla retta di k k = Utilizzando la formula di sdoppiamento, determina l equazione della retta tangente all iperbole di equazione 7 8y = 0 7 6y = nel suo punto di ordinata che si trova nel I quadrante VERO O FALSO? a) Il punto di tangenza tra la retta = e l ellisse di equazione y = ha coordinate (;0) b) L equazione della retta tangente all iperbole di equazione y = 5 nel suo punto P(; ) è + y + 5 = 0 c) La retta d equazione y = non interseca l iperbole di equazione y = d) L iperbole di equazione y + = 0 stacca una corda sull asse y di misura 9 [a) V; b) F; c) F; d) V] DETERMINARE L EQUAZIONE DI UN IPERBOLE Scrivi l equazione dell iperbole che ha un asintoto di equazione y = e un fuoco nel punto ( 7;0 ); rappresentala graficamente Determina l equazione dell iperbole con vertice reale A ( ;0) ed eccentricità Determina l equazione dell iperbole passante per il punto P 5 ; e = y = 6 e avente fuoco F ( 0; ) y = 9 7 y 5 = Scrivi l equazione dell iperbole che ha per asse trasverso l asse, eccentricità e = e passa per il punto A(; 8) Disegnala e, indicati con F e F i suoi fuochi, calcola l area del triangolo AFF y = ; 8 IPERBOLE TRASLATA Determina le caratteristiche e rappresenta la seguente iperbole y y + = 0 P 0;

21 y y + + = 0 Rappresenta graficamente le seguenti curve y = 5 ; 9 + y = 9 Risolvi graficamente la seguente disequazione irrazionale LEGGI IL GRAFICO Scrivi l equazione della funzione rappresentata nel seguente grafico y = IPERBOLE EQUILATERA Determina l equazione dell iperbole equilatera riferita ai suoi assi di simmetria con un fuoco in F e rappresentala graficamente F ( 5;0) y = 0 ASSOCIA a ogni equazione il grafico corrispondente + a y = b y = c y = d y = + + [a-; b-; c-; d-] Scrivi l equazione dell iperbole equilatera riferita agli asintoti avente un vertice nel punto V ( ;) ; rappresentala graficamente y = 6 Scrivi l equazione dell iperbole equilatera, riferita agli asintoti, calcola le coordinate dei vertici e rappresentala graficamente, sapendo che passa per il punto P P ( ;9) ( ) ( ) y = 6; 6;6, 6; 6 k Trova per quale valore di k il grafico della funzione omografica y = passa per il punto P(; ) Determina poi l equazione della retta tangente al grafico in P k = 0 ; y = +

22 CAP 0 ESPONENZIALI POTENZE CON ESPONENTE REALE Semplifica le seguenti espressioni, applicando le proprietà delle potenze ( 5 5 ):5 ; :6 ; aa + ; FUNZIONE ESPONENZIALE Disegna il grafico delle seguenti funzioni y = ; y = Disegna il grafico della funzione ( ) y = f lato, dopo averne scritto l espressione analitica y = f ( ) = a 5 a a 5 ; ; a ; a indicata Traccia poi i grafici delle funzioni indicate a ; y = f ( ) y = f ( ) y = f ( ) y = f ( ) Determina il dominio delle seguenti funzioni y =,,, y = 7 y = 7 9 VERO O FALSO? a) La funzione 7 y = è decrescente 8 5 b) La funzione y = ha come dominio 0 c) L'equazione = 0 non ammette soluzioni d) La disequazione 5 e) Il grafico della funzione 8 5 ha come soluzione + EQUAZIONI ESPONENZIALI Risolvi le seguenti equazioni esponenziali y = passa per il punto A 0; 5 a) V; b) F; c) V; + = = + = = = = = 0 = = 5 = DISEQUAZIONI ESPONENZIALI Risolvi le seguenti disequazioni esponenziali R d) F; e) F

23 Risolvi il seguente sistema TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE E GRAFICO DELLE FUNZIONI ESPONENZIALI LEGGI IL GRAFICO Utilizzando i dati forniti nella figura, determina l equazione del grafico y = + y = + RISOLUZIONE GRAFICA DI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni, utilizzando il metodo grafico e = = e Torino, 07/06/08 L Insegnante Franca Torchia