MD2 MD3. Basi di funzioni e funzioni di primo grado

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1 MD MD3 Basi di funzioni e funzioni di primo grado 0

2 5.1 Introduzione. Concetto di funzione. Siano A e B due insiemi, una funzione f da A verso B è una relazione che ad ogni elemento x appartenente all insieme A, fa corrispondere al massimo un elemento y appartenente all insieme B. A = insieme di partenza. B = insieme di arrivo. Esempio Siano A = { 1; ; 3; 4; 5 } e B = {8; 10; 1; 14; 16; 18 } Per definire una funzione è necessario conoscere la corrispondenza fra gli elementi dell insieme di partenza e quelli dell insieme di arrivo. Supponiamo di conoscere quanto segue: f (1) non esiste f () = 10 si legge : f di uguale a 10 ; significa che 10 è l immagine di rispetto alla funzione f f (3) = 14 f (4) = 18 f (5) non esiste Più in generale possiamo dire che: y = al quadruplo di x, aggiungi In simboli una funzione si definisce come segue : A B f : x y = 4 x + Insieme di definizione o dominio : D f = {, 3, 4 } Sono tutti gli elementi dell insieme di partenza che hanno un immagine., 3, 4 sono detti argomenti Insieme delle immagini o codominio : Im f = { 10, 14, 18 } Sono tutti gli elementi dell insieme di arrivo che sono immagini. 10, 14, 18 sono detti immagini. 1

3 Modi di rappresentare una funzione. a) Diagramma a frecce o sagittale. A B b) Grafo della relazione. Gf = { ; 10 ), ( 3 ; 14 ),( 4 ; 18 ) } c) Diagramma cartesiano Quando A e B sono insiemi di numeri, o di grandezze omogenee, è spesso utile rappresentare il grafo di Gf di una funzione f : A B nel piano rispetto a un sistema di assi cartesiani Oxy Il piano cartesiano è un sistema di riferimento costituito da: - asse orizzontale chiamato asse delle ascisse o asse x, - asse verticale chiamato asse delle ordinate o asse y, - punto d intersezione degli assi chiamato origine O. Nel piano cartesiano tutti i punti sono definiti da coppie di numeri reali A = (x ; y) x = ascissa ; y = ordinata Esempio 1) Nella figura è rappresentato il grafico della funzione che descrive lo spazio percorso da un automobile in corrispondenza del tempo misurato dalla sua partenza, per una durata di 4 ore Da un grafico di questo genere si possono ricavare diverse informazioni, come per esempio: - l auto si è fermata durante il tragitto due volte: la prima volta per mezz ora, dopo aver percorso 80 km, la seconda volta per quasi un ora, dopo aver percorso altri 40 km. - I primi 80 km sono stati percorsi a una velocità media inferiore a quella dei successivi 40 km. - Lo spazio complessivo percorso dopo 4 ore dalla partenza è stato di 160 km. ESERCIZI : serie 5, pp 1-1) Esempio tratto da Dimensione matematica III ed G. Casagrande

4 Grafici di funzioni e di non funzioni. a) ; ;.. b) G = { ( ; 5), (4 ; 8), (6 ; 11) } è una funzione G = {(3 ; 5), (4 ; 5), (6 ; 8) } è una funzione G = { ( ; 5), ( ; 8), (4 ; 11) } non è una funzione c) y y y x x x.... ESERCIZI : serie 5, p No. 4 Determinazione del dominio data l equazione della funzione. N N f : x y = 1 x g : x y = 1 x x h : x y = x6 z : x y = x 6 3

5 ESERCIZI : serie 5, p 3 No. 8 e 9 5. Esempio 1) Sovente risulta utile determinare delle leggi che regolano specifici fenomeni della natura, nonché situazioni economiche o altro. Immaginiamo di misurare il tempo di caduta di una boccia da una certa altezza e decidiamo di effettuare una serie di misurazioni, ponendoci a diverse altezze del palazzo scolastico. La misurazione effettuata ha dato i seguenti risultati riportati nella tabella seguente: Altezza (m) Tempo (s) 0,6 1 1,3 1,4 1,8, Esiste una relazione, una regolarità tra l altezza da cui cade la boccia e il tempo che impiega per toccare il suolo? Quale legame esiste fra questi dati? Non è cosa semplice rispondere, ma disponendo di ulteriori dati più precisi, si potrebbe concludere che, approssimativamente, la legge secondo la quale ad una certa altezza x corrisponde un tempo di caduta y può essere espressa come segue: Altezza tempo x y = x 5 Grazie alla definizione della legge che regola questo fenomeno è possibile calcolare il tempo di caduta senza dover effettuare ulteriori misurazioni. Prova a calcolare il tempo di caduta della boccia da un altezza di 10 metri e quello da un altezza di 50 metri. In matematica ci si è preoccupati di trovare un linguaggio, dei simboli, che potessero servire per descrivere in modo preciso situazioni di questo genere ed altre, e si è arrivati così all idea di funzione. 4

6 1) Esempio e considerazioni t rat t i da: Dimensione mat emat ica II, edizioni Casagrande 5

7 5.3 Funzione iniettiva Una funzione f: X Y è iniettiva se a ogni immagine y corrisponde sempre al massimo una controimmagine x (ossia quando elementi distinti del dominio hanno sempre immagini distinte). In simboli: f(x 1 ) = f(x ) => x 1 = x Esempio a) ; ;.... Esempio b) G = { (- ; ), (-1 ; ), (0 ; 3) } è una funzione non iniettiva G = {(-3 ; ), (-1 ; 1), (-1 ; 0) } non è una funzione G = { (- ; ), (-1 ; 3), (0 ; 4) } è una funzione iniettiva Esempio c) y y y x x x... y y y x x x.. 6

8 5.4 Funzione inversa Data la funzione g da X verso y tale che g: X Y si dice funzione inversa (indicandola g -1 ) la funzione da Y verso X definita g -1 : Y x Rappresentando con un diagramma a frecce Nota: - Se g trasforma x in y, allora g -1 trasforma y in x - Se (x ; y) G g, allora (y ; x) G g -1 ESEMPIO 1: Sia data la seguente funzione : f : calcolare la sua inversa ( f -1 ) x y = 3/ x +, SOLUZIONE: 1. Risolvere l equazione di f rispetto alla variabile x :. Riscrivere l equazione scambiando la x con la y: => f - 1 : ESEMPIO : Data la funzione reale g: y = x 5 x, calcolare g - 1 ESERCIZI: serie 5 p. 3 e 4 No. 10a) e 10b) 7

9 5.5 Funzione di primo grado Definizione. La funzione del tipo f : x è di primo grado; il suo grafico è una retta. La sua forma algebrica può essere espressa in due modi: esplicita : esempio y = x 5 implicita : esempio y 3x = 10 Rappresentazione cartesiana Esempi: Sono date le seguenti due funzioni g : Z h : y = ax + b con a,b * x y = x - 4 x y = 5 rappresentarle nello stesso piano cartesiano. 1 x, Osservazione: La funzione g è definita per valori interi di x e viene chiamata funzione. La funzione h è definita per valori reali di x e viene chiamata funzione.. Leggi i punti A e B d incontro della funzione h con gli assi cartesiani:. 8

10 Casi particolari. Se b = 0 l equazione y = ax + b si riduce a, Il grafico è una retta.. La funzione viene chiamata Se a = 0 l equazione y = ax + b si riduce a, Il grafico è una retta.. La funzione viene chiamata Osservazioni: - b si chiama termine noto e rappresenta. - a si chiama coefficiente angolare o pendenza e viene così definita a = y x ESERCIZI : serie 5, p 4 No. 11a e 11b Intersezione con gli assi cartesiani. Data una funzione f, si tratta di determinare i punti d incontro con gli assi cartesiani; Sono possibili due soluzioni: SOLUZIONE GRAFICA: rappresentare nel piano cartesiano la funzione e leggere i punti d incontro con gli assi. SOLUZIONE ALGEBRICA: si sa che: f asse y quando x =.. f asse x quando y =.. Calcolare dunque f(0) per intersezione asse f(x) = 0 per intersezione asse.. 9

11 Esercizio: Data la funzione reale g y = x 5 a) Calcola algebricamente i punti d intersezione con gli assi cartesiani b) Verifica graficamente. ESERCIZI : serie 5, p 4 No. 1, 13 Intersezione fra due funzioni di primo grado Si tratta di determinare il punto d incontro fra le due rette. Sono possibili due soluzioni: SOLUZIONE GRAFICA: rappresentare nel piano cartesiano le due funzioni e leggere il punto d incontro. SOLUZIONE ALGEBRICA: risolvere il sistema di equazione delle due funzioni. 10

12 X Teoria di Matematica Esercizio: Date le funzioni reali f : y x + = 0 ; g : y + 3x = a) Calcola algebricamente f g. b) Verifica graficamente. ESERCIZI : serie 5, p. 4 e 5 No Calcolo della pendenza Come già osservato la pendenza della retta o coefficiente angolare corrisponde al valore di a e può essere calcolato applicando la formula : a = y x Dati due punti A (x 1 ; y 1 ) e B ( x ; y ), Il calcolo della pendenza sarà : a Esercizio di applicazione Calcola la pendenza di ciascuna delle rette passanti per le seguenti coppie di punti: a) A (8 ; 4), B ( ; 6) b) C ( ; -4), D (-5 ; -8) c) E (/7 ; 1/), F (5/14 ; 7/8) d) G (- /15 ; 5), H (4 ; - /15) 11

13 Condizione di parallelismo di due rette Due rette sono parallele se hanno la stessa direzione; algebricamente le due rette devono essere definite da equazioni con coefficiente angolare uguale. Ossia: se f(x) = a 1 x + b e g(x) = ax + b, f // g a 1 = a Esercizio 1: Sono date le seguenti funzioni reali f : x + 3y = 10 ; g : 30 y 5 = - 0x Stabilire se f // g Esercizio : Una retta passa per A (;) e B (7;6) l altra per C (3;-3) e D (8;1) Stabilire se la retta per AB è parallela alla retta per CD. ESERCIZI : serie 5, p 5 No. 18, 19 Condizione di perpendicolarità di due rette Abbiamo visto che due rette sono // a1 = a ; dunque se due rette sono a1 Risolvi l esercizio seguente e scoprilo. a.. ma come? Esercizio: a gruppi (leggera la consegna e completare la tabella a pagina 9): Sono conosciute le seguenti rette f : 7y x = 14, g: 7x 10 = - y a) Determinare il coefficiente delle due rette, b) Confrontarli e definire (a parole) come sono, c) Indicare un espressione che mi permetta di uguagliare i due coefficienti, d) Indicare una forma algebrica che mi permetta di esprimere la condizione di perpendicolarità. (completa la tabella che segue) 1

14 a) b) c) d) Esercizio di applicazione: È data l equazione della retta f: 5x - 0 = y. Come deve essere il coefficiente angolare della retta g per essere perpendicolare a f? ESERCIZI : serie 5, p 5 (N. 0 6) 13

15 Determinazione dell equazione di una retta conosciuti punti Dati A (x 1 ; y 1 ) B (x ; y ) si può determinare l equazione della retta in due modi utilizzando l equazione generale y = ax + b a) Utilizzando la pendenza e un punto a y 1 y x ax 1 b si determina il coefficiente angolare; si sostituiscono le coordinate di uno dei punti conosciuti e il coefficiente angolare nell equazione generale della retta per determinare il termine b. Si definisce così l equazione della retta cercata. Esempio1: Determinare l equazione della retta passante per A (3 ; -4) e B (-6 ; -10) Esempio : Calcolare l equazione di una retta passante per P (5 ; 4) e perpendicolare alla retta di equazione y + 5x = 0 b) Utilizzando i due punti y y 1 ax 1 ax b b Si sostituiscono le coordinate di ognuno dei punti conosciuti nell equazione generale della retta; risolvendo il sistema si determinano la pendenza a e il termine noto b. Si definisce così l equazione della retta cercata. Esempio: Determinare l equazione della retta passante per C (5 ; 5) e D (-10 ; -7) ESERCIZI : serie 5, p 6 No. 7 30; ESERCIZI VARI : serie 5, p 6 No

16 Distanza tra due punti (come approfondimento) Applicando il teorema di Pitagora al triangolo ABC si avrà: AB = AC + CB dove AC =.. CB =.. quindi AB =.. da cui AB = distanza fra due punti Esempi: 1) Dati i punti A ( ; 3) e B (5 ; -1), calcolare la loro distanza. ) Di un triangolo si conoscono i seguenti vertici: A ( 7 ;3) 10, B ( 5 ; 7 ) 5, C ( 39 ; 3 ) 10 5, calcolare il perimetro. 3) Trovare i vertici del triangolo determinato dalle rette y + 3x = 0, y x - 4 = 0, 3x y 1 = 0 e calcolare il perimetro. ESERCIZI : serie 5, p. 7 No. 37, 38 15

17 Distanza punto retta (come approfondimento) Data una retta r di equazione ax + by + c = 0 e un punto P (x0 : y0), per calcolare la distanza del punto P dalla retta r, basta procedere come segue: a) Determinare l equazione della retta passante per P e perpendicolare alla retta data; b) Calcolare il punto d intersezione tra la retta trovata e la retta data; c) Calcolare la distanza tra il punto P e il punto d intersezione delle due rette. Esercizi: 1) Calcolare la distanza del punto Q (3 ; -) dalla retta di equazione y = 4 3 x ) Calcolare l area del triangolo i cui vertici sono: A ( ; 7), B (7 ; 1), C (13 ; 7). 3) Trovare la distanza del punto A(6,) dalla retta r passante per i punti B(8,11) e C(16,17). Soluzione visiva con l aiuto di una rappresentazione grafica 16

18 1. Pendenza di r. si ricava dal rapporto tra la distanza verticale e quella orizzontale tra B e C a r Pendenza di s, perpendicolare a r a s 4 3 (inverso dell opposto della pendenza di r) 3. Applicando questa pendenza partendo da A, in due passi si trova il punto D(1,14) che appartiene anche a r. La distanza AD è l ipotenusa di un triangolo rettangolo avente cateti 8 e 6 AD Punto medio (come approfondimento) Dati due punti A (x 1 ; y 1) e B (x ; y ) il punto medio ha: per ascissa xm = x1 x per ordinata ym = y1 y Esempi: 1 ; 3 1) Conosciuti i punti C (-4 ; 5) e D medio Q., calcolare le coordinate del punto ) Sono dati i seguenti vertici di un triangolo A (3 ; 5), B (10 ; 9) e C (14 ; 3). Determinare le coordinate dei tre punti medi e calcolare il perimetro del triangolo definito dai tre punti medi.. ESERCIZI : serie 5, p. 7 No. 39, 40 17

19 5.6 Inversa di una funzione affine Esempio: Data la funzione f : x y = 3 x a) Calcolare la funzione inversa f -1 ; b) rappresentare graficamente le due funzioni. Esercizio Date le due funzioni reali g(x) = 5x 6y = 7 e h (x) = ½ x /7 y = 10 Calcolare g 1 e h

20 Intersezione di una funzione affine con la sua inversa. Data la funzione f : x y = x 3 4 a) Calcolare la funzione inversa f -1 ; b) Calcolare f f -1 c) Rappresentare graficamente le due funzioni. Osservazione:. ESERCIZI : serie 5 p.7 No

21 5.7 Problemi con funzioni affini tratti dal contesto economico: Costi fissi e costi variabili, intervalli di convenienza. Una ditta ha ricevuto tre offerte di abbonamento per l utilizzo di un macchinario elettronico. Offerta 1: costo fisso mensile 7.- CHF, 10 cts per ogni minuto di utilizzo; Offerta : costo fisso mensile 15.- CHF, 0 cts per ogni minuto di utilizzo; Offerta 3: nessun costo fisso mensile, ma 40 cts per ogni minuto di utilizzo. a) Definisci l equazione di ognuna delle offerte che rappresenta il costo mensile in funzione dei minuti di utilizzo.. b) Rappresenta le tre funzioni nello stesso piano cartesiano. c) Calcola i punti d intersezione delle tre funzioni I punti calcolati rappresentano i punti di riferimento per la definizione degli intervalli di convenienza. 0

22 L intervallo di convenienza è. Nell esempio proposto i punti necessari per la definizione degli intervalli sono solo due! L offerta 3 conviene da L offerta conviene da. L offerta 1 conviene da. In simboli matematici: d) Leggi sul grafico quale offerta conviene accettare, se si prevede di utilizzare il macchinario per 60 minuti al mese.. e) Leggi sul grafico la proposta più conveniente se si volesse spendere da 30.- CHF a 35 CHF. f) Calcolare il costo mensile con la proposta più conveniente nel caso si dovesse utilizzare il macchinario per 80 minuti. ESERCIZI : serie 5, pp