STATISTICA (II modulo - Inferenza Statistica) Esercitazione I consegna 3 maggio 2006

Transcript

1 STATISTICA (II modulo - Inferenza Statistica) Esercitazione I consegna 3 maggio 2006 Esercizio A. Si supponga che tre banche vorrebbero aprire uno sportello presso un nuovo centro commerciale e che ciascuna decida indipendentemente dalle altre e che la probabilità che una singola banca decida di aprire uno sportello sia pari a 0.5. SI provi a descrivere l insieme degli eventi possibili. Calcolare la probabilità che 1. non venga aperto nessuno sportello, 2. vengano aperti tre sportelli, 3. ne venga aperto almeno uno. Esercizio B. Supponendo che in una scatola contenente 20 pezzi di un componente elettronico 2 pezzi sono difettosi; se si estraggono a caso due pezzi, uno alla volta e senza reimmissione, quale è la probabilità che: 1. il primo sia difettoso e il secondo sia buono? 2. che entrambi siano difettosi? 3. che entrambi siano buoni? 4. che almeno 1 sia buono Esercizio C. Si supponga di prendere un aereo della compagnia aerea X da Roma a Milano, mentre per il viaggio di ritorno si è scelta la compagnia Y. Si definiscano gli eventi A ={compagnia X perde il mio bagaglio} e B ={compagnia Y perde il mio bagaglio}. Se A e B sono eventi indipendenti con P (A) > P (B), P (A B) = e P (A B) = 0.03, determinare P (A) e P (B). Esercizio E. (non per Economia Aziendale) La direzione di una catena di supermercati ritiene che il 5% dei punti vendita fornisce dati di inventario falsi per mascherare ammanchi. Si sa anche che, se il responsabile di un punto vendita sta cercando deve nascondere degli ammanchi, sicuramente dichiarerà una quantità di merce maggiore di quella presente sugli scaffali. Tuttavia, anche un responsabile onesto potrebbe dichiarare, per errore, una quantità superiore; la probabilità che questo accada si ritiene sia pari a Calcolare la probabilità che 1. in un generico punto vendita la quantità inventariata sia superiore a quella presente sugli scaffali, 2. che, se la quantità presente sugli scaffali risulta inferiore rispetto a quella inventariata, il responsabile stia cercando di mascherare degli ammanchi. Esercizio F. Sei lotti sono pronti per essere consegnati da parte di un certo fornitore. Il numero di componenti difettose in ciascun lotto è il seguente: Lotto Numero di difetti Si supponga che uno di questi lotti venga fornito ad un determinato cliente, e si definisca la variabile casuale X che esprime il numero di difetti presenti in un lotto. Determinare: 1. la distribuzione di probabilità della variabile casuale X; 2. la funzione di ripartizione della v.c. X; 3. il valore atteso e la varianza della v.c. X.

2 Esercitazione II 5/05/2006 Esercizio A. È noto che il 38% dei dipendenti di un azienda italiana è extracomunitario. Considerando un campione casuale con ripetizione di 18 dipendenti, determinare: 1. la probabilità che al massimo 4 dipendenti siano extracomunitari; 2. la probabilità che siano extracomunitari un numero di dipendenti compreso tra 6 e 9; 3. il numero medio atteso di lavoratori extracomunitari e la varianza. Esercizio B. Calcolare la probabilità che una v.c. normale con: 1. valore atteso 1 e varianza 1 assuma un valore compreso nell intervallo [0,1]; 2. valore atteso 1 e varianza 4 assuma un valore compreso nell intervallo [-1,1]; 3. valore atteso 1 e varianza 2 assuma un valore maggiore di 1; 4. valore atteso 0 e varianza 2 assuma un valore compreso nell intervallo [-2,-1]; 5. valore atteso 1 e varianza 1 assuma un valore minore di 0; 6. valore atteso µ e varianza σ 2 assuma un valore compreso nell intervallo [µ, µ + σ]. Esercizio C. Si consideri la seguente distribuzione di probabilità congiunta: Y X Si calcolino: 1. i valori attesi e le varianze delle distribuzione marginali di X e Y ; 2. la covarianza tra le v.c. X e Y. Sulla base di tale risultato possiamo affermare che X e Y sono indipendenti? 3. date le distribuzioni marginali delle v.c. X e Y, costruire la corrispondente distribuzione congiunta nel caso di indipendenza. Esercizio D. Il numero medio di clienti che acquistano presso un ipermercato è di 5 clienti al minuto. Assumendo che la distribuzione dei clienti segua la legge di Poisson, determinare: 1. la probabilità che non vi siano acquisti in un minuto; 2. la probabilità che vi siano almeno due acquisti in un minuto; 3. il numero medio atteso di acquirenti in una giornata (8 ore). Esercizio E. Il contenuto medio di una betoniera è di 10 quintali con una deviazione standard pari a Calcolare la probabilità che il contenuto di una betoniera si discosti dal suo valore atteso per più di 0.1 quintali.

3 Esercitazione III 12/05/2006 Esercizio A. La durata di funzionamento (in mesi) di un componente di un macchinario industriale può essere descritto da una v.c. χ 2 con 30 gradi di libertà. Assumendo di utilizzare in maniera continua il macchinario, determinare: 1. la probabilità che il componente risulti funzionante per almeno 40 mesi; 2. la durata di funzionamento del 5% dei componenti più difettosi; 3. la durata media e la varianza. Esercizio B. Siano X 1 N(0, 1), X 2 N(1, 4) e Y χ 2 (2) variabili casuali indipendenti. Calcolare: 1. Pr(X 1 + 3X 2 < 6). 2. Pr(X 2 1 > 1). 3. Trovare il valore z tale che Pr(X 2 2 < z) = Si trovi il valore z tale che Pr(X1 2 + (X 2 1) 2 /4 + Y < z) = ( ) X 1 5. Si trovi il valore t tale che Pr < t = Y/2 Esercizio C. Sia T una v.c. che si distribuisce come una t di Student con 15 gradi di libertà. 1. Calcolare Pr(T > 2.13). 2. Trovare il valore t tale che Pr(T < t) = 0.9. Esercizio D. Il numero medio di caffè serviti in un ora presso un bar è pari a 23. Assumendo che la distribuzione sia di tipo Poisson. 1. Calcolare la probabilità che vengano serviti almeno 300 caffè in una giornata lavorativa (12 ore). 2. Il numero medio di caffè serviti in un mese (25 giorni lavorativi per 12 ore al giorno). [Suggerimento: si consideri che la somma di v.c. Poisson indipendenti si distribuisce come una Poisson.] Esercizio E. Si assuma che il consumo giornaliero di gas (m 3 ) di una famiglia possa essere descritto da una v.c. χ 2 con media Calcolare la probabilità che la famiglia consumi in un giorno più di 17 m 3 di gas. 2. Calcolare la probabilità che la famiglia consumi in media in un mese più di 17 m 3 di gas. 3. Calcolare il valore atteso del consumo mensile totale di gas. 4. Calcolare il 95 percentile del consumo medio mensile di gas. Esercizio F. Si supponga che il 40% dei guidatori italiani indossa regolarmente le cinture di sicurezza in città. Estratto un campione casuale di 500 guidatori, calcolare: 1. la probabilità che tra 180 e 230 guidatori indossino le cinture di sicurezza; 2. la probabilità che meno di 175 guidatori indossino le cinture di sicurezza.

4 Esercitazione IV 19/05/2006 Esercizio A. Si definisca la v.c. Z = 2X + 1 Y, ottenuta come combinazione lineare della v.c. X con E(X) = 5 e 2 Var(X) = 2, e della v.c. Y con E(Y ) = 8, Var(Y ) = 4. Si determini: 1. E(Z); 2. Var(Z) assumendo che le v.c. X e Y siano indipendenti; 3. la distribuzione della v.c. Z assumendo che le v.c. X e Y siano normali e indipendenti; 4. ( ) Var(Z) sapendo che le variabili casuali X e Y sono correlate con coefficiente di correlazione r = 0.3. Esercizio B. Il numero di dipendenti rilevato in 30 supermercati della regione Umbria dà luogo ai seguenti valori: Costruire un intervallo di confidenza al 99% per il numero medio di dipendenti dei supermercati della regione Umbria. 2. Precedenti studi condotti sullo stesso argomento avevano messo in evidenza che il valore di σ era pari a Calcolare l intervallo di confidenza del punto 1. alla luce di questa nuova informazione. Sotto l ipotesi che la distribuzione sia normale nella popolazione di origine: 1. Costruire un intervallo di confidenza al 99% per il numero medio di dipendenti dei supermercati della regione Umbria. 2. Ottenere una stima corretta di σ 2 e costruire un intervallo di confidenza al 95%. Esercizio C. Si è interessati a stimare la spesa media µ (in Euro) sostenuta in un mese per l acquisto di bevande gassate da parte delle famiglie italiane. A questo scopo si seleziona un campione di 200 famiglie italiane, rilevando la spesa mensile X in bevande gassate ed ottenendo le seguenti sintesi: 200 i=1 x i = 2160, 200 i=1 x2 i = [Sugg.: si tenga presente che la varianza campionaria si può scrivere anche come s 2 = 1 n 1 ( x 2 i nx2 ) ] 1. Assumendo che la spesa mensile in bibite gassate si distribuisca normalmente, si stimi la varianza σ 2 utilizzando uno stimatore non distorto e si fornisca un intervallo di confidenza al 99%. 2. Si determini un intervallo di confidenza per µ al livello del 95%. Esercizio D. Un istituto finanziario estrae dal proprio portafoglio clienti un campione causale di 140 individui possessori di carta di credito. Di questi, 35 non hanno effettuato alcun movimento (pagamento, prelievo, ecc.) nell ultimo mese. 1. Fornire una stima della proporzione di clienti che non hanno effettuato movimenti nell ultimo mese. 2. Calcolare un intervallo di confidenza al 95% per la proporzione di clienti che hanno effettuato almeno un movimento nell ultimo mese. ( ) Escluso studenti Economia Aziendale.

5 Esercitazione V 26/05/2006 Esercizio A. Un grossista è interessato alla percentuale p di confezioni deteriorate di una certo prodotto destinato alla vendita. A tale scopo, estrae un campione casuale (con reimmisione) di 200 confezioni, rilevando che 15 di esse sono deteriorate. 1. Si verifichi l ipotesi che la percentuale di confezioni deteriorate sia pari al 5% contro l alternativa che sia maggiore. 2. Si calcoli il livello di significatività osservato (p-value); 3. Si calcoli la potenza in corrispondenza dell ipoesi alternativa p 1 = Esercizio B. Un agenzia di viaggi ha proceduto all estrazione di un campione casuale di clienti, i quali sono stati classificati in base alla spesa (in Euro) sostenuta nell ultimo anno per vacanze (X) e al grado di soddisfazione espresso (Y ). I dati sono riportati nella seguente tabella: Y X Insoddisfatto Soddisfatto Molto soddisfatto oltre Si assuma 7000 come valore centrale di classe. 1. Si verifichi l ipotesi che la spesa media sia pari a 2000 Euro contro l alternativa che sia diversa, al livello α = Con riferimento al punto precedente, si calcoli il livello di significatività osservato. 3. Si verifichi l ipotesi che la spesa media sostenuta da coloro che si sono dichiarati insoddisfatti sia pari a 2000 Euro contro l alternativa che sia maggiore, al livello α = Con riferimento al punto precedente, calcolare la potenza per il caso µ 1 = Assumendo una distribuzione gaussiana, si verifichi l ipotesi che la varianza della spesa sostenuta da coloro che si sono dichiarati soddisfatti sia pari a contro l alternativa che sia maggiore, al livello α = Calcolare un intervallo di confidenza al 95% per la proporzione di clienti che si sono dichiarati insoddisfatti. 7. Verificare l ipotesi che la proporzione di coloro che si sono dichiarati soddisfatti sia pari al 50% contro l alternativa che sia inferiore. Esercizio C. di vita: I seguenti dati si riferiscono all accrescimento (in kg) di un campione di 10 vitelli in una settimana Sotto l ipotesi che l accrescimento sia distribuito normalmente nella popolazione: 1. verificare l ipotesi che l accrescimento medio sia pari a 3 kg contro l alternativa che sia diverso, al livello α = 0.01; 2. determinare un intervallo di confidenza al 95% per la varianza.

6 Esercitazione VI 1/06/2006 Esercizio A. La seguente tabella riporta la distribuzione per titolo di studio e condizione occupazionale di un campione casuale di giovani con meno di 35 anni: Occupati Disoccupati Licenza elementare Licenza media Diploma maturità Laurea Si verifichi l ipotesi che nella popolazione degli occupati la percentuale di coloro con almeno un diploma di maturità siano il 50% contro l alternativa che siano più del 50%, al livello α = In riferimento alla precedente verifica di ipotesi, calcolare la potenza del test per l ipotesi alternativa che tra gli occupati la percentuale di coloro con almeno un diploma di maturità sia pari al 60%. 3. Si calcoli un intervallo di confidenza al 99% per la proporzione di occupati. 4. Si verifichi l ipotesi che la frequenza dei laureati sia la stessa negli occupati e nei disoccupati, contro l alternativa che sia maggiore tra gli occupati al livello α = 0.1. Esercizio B. I seguenti dati campionari si riferiscono alla durata (in centinaia di ore) misurata su due tipologie di forni industriali: A B Supponendo che la durata in ciascuna popolazione abbia distribuzione normale con la stessa varianza: 1. Si verifichi l ipotesi che la durata media sia la stessa per i forni di tipo A e di tipo B contro l alternativa che sia maggiore per i forni di tipo A, al livello α = Considerando i soli forni di tipo A, verificare l ipotesi che la varianza sia pari a 10 contro l alternativa che sia diversa, al livello α = Calcolare la potenza del test per la verifica d ipotesi del punto precedente qualora la varianza sia pari a 12 sotto l ipotesi alternativa. Esercizio C. Il consumo mensile di gas (in Kw) in un campione di famiglie del comune di Perugia è riportato nella seguente tabella: Consumo n i Totale Si verifichi l ipotesi che il consumo medio mensile sia pari a 400 Kw contro l alternativa che sia maggiore, al livello α = Calcolare la potenza del test per un consumo medio mensile sotto ipotesi alternativa pari a 500 Kw.