La quantità di moto. Il masso ha più quantità di moto della persona in fuga.

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1 La quantità di moto Il masso ha più quantità di moto della persona in fuga.

2 La quantità di moto La quantità di moto: esprime l inerzia nel movimento, cioè la difficoltà di fermare un oggetto in movimento ed è definita come il prodotto tra la massa di un oggetto e la sua velocità quantità di moto = massa velocità

3 La quantità di moto La quantità di moto è un vettore: - il modulo è uguale alla massa moltiplicata per il modulo della velocità; - la direzione e il verso sono gli stessi del vettore velocità. Quando la direzione non è importante: quantità di moto = massa velocità p = mv

4 La quantità di moto una grande massa o una elevata velocità una grande quantità di moto una grande massa e una elevata velocità una quantità di moto ancora più grande una piccola massa o una ridotta velocità una piccola quantità di moto una piccola massa e una ridotta velocità una quantità di moto ancora più piccola

5 L impulso L impulso: - è il prodotto tra una forza e l intervallo di tempo durante il quale essa agisce. - è dato dall equazione impulso = forza intervallo di tempo I = F Δt una grande forza che agisce per un tempo lungo un grande impulso se la stessa forza agisce per un tempo breve l impulso è più piccolo

6 INTERPRETAZIONE GRAFICA DELL IMPULSO DI UNA FORZA VARIABILE F(t) L impulso è l area del sotto-grafico della forza con l asse dei tempi I t 1 Δt t 2 t 6

7 Vediamo ora la relazione esistente fra la quantità di moto ed il II principio della dinamica. da cui segue: F F t m a m v F m v m t v f v ) ( i Da quanto visto segue il seguente teorema: TEOREMA DELL IMPULSO L impulso di una forza in un dato intervallo di tempo è pari alla variazione di quantità di moto nello stesso intervallo di tempo: I F t m v p f p i p

8 L impulso fa variare la quantità di moto Maggiore e l impulso esercitato su un corpo, maggiore e la variazione della sua quantità di moto. L impulso è uguale alla variazione della quantità di moto di un corpo.

9 Sistemi Isolati Quando si esaminano problemi connessi alla conservazione di grandezze fisiche è particolarmente importante valutare se il sistema, cioè l ambiente, in cui le grandezze in esame interagiscono fra di loro sia o meno isolato. Per valutare se un sistema è isolato dobbiamo innanzitutto definire: Forze Interne: Forze esercitate dai corpi che fanno parte del sistema; Forze Esterne: Forze esercitate dai corpi che non fanno parte del sistema. Su questa base diamo la seguente definizione di sistema isolato: Si definisce SISTEMA ISOLATO un sistema in cui la risultante delle forze esterne applicate al sistema è uguale a zero. In un sistema isolato, quindi, agiscono solo forze interne che, per il principio di azione e reazione, hanno una risultante nulla sul sistema.

10 Conservazione della Quantità di Moto Consideriamo il teorema dell impulso e applichiamolo nel caso di un sistema isolato. I F t m v p f p i p Poiché il sistema è isolato la risultante delle forze è nulla, quindi: F 0 I F t p 0 p 0 p cost. Da ciò segue che: LEGGE DI CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO In un sistema isolato la quantità di moto totale del sistema si conserva: Ptot i p i costante

11 La conservazione della quantità di moto Solo un impulso esterno può modificare la quantità di moto di un sistema: gli impulsi prodotti dalle forze interne non possono farlo. La quantità di moto di un sistema si conserva, ossia non varia nel tempo, quando il sistema è isolato cioè se la risultante delle forze esterne è nulla (non agiscono forze esterne non bilanciate)

12 La conservazione della quantità di moto Il principio di conservazione della quantità di moto: afferma che, in assenza di una forza esterna non bilanciata, la quantità di moto di un sistema si conserva. può essere riscritto dalla relazione: quantità di moto totale iniziale=quantità di moto totale finale p TOT iniziale = p TOT finale

13 La conservazione della quantità di moto totale di un sistema come conseguenza del 3 Principio della dinamica M A A F B A Sono uguali e opposte F A B M B B A se non agiscono altre forze sui due corpi A e B, per il 3 principio della dinamica: dopo A F M M A B B B a F B B A M a v B v M A A t t ma, poiché la durata dell interazione è ovviamente la stessa per entrambi i corpi, M M B v (v dopo B M v B prima B v dopo B A ) M M A v A A (v prima A dopo A M v B v prima A prima B ) C è dunque una quantità che resta costante, inalterata, durante un interazione fra corpi ed è la somma dei prodotti massa velocità dei singoli corpi che compongono il sistema di corpi, cioè si conserva la quantità di moto totale iniziale e finale

14 Urti Si parla di urti quando due punti materiali interagiscono per un intervallo di tempo estremamente breve. si possono sviluppare forze di intensità elevata: dette impulsive forze interne Quando due particelle elementari ad alta energia entrano in collisione, anche non arrivando al contatto fra loro, si tratta ancora di urto. Possiamo separare l evento in tre parti: prima e dopo l urto (possiamo studiarne il moto) e durante 14

15 Urti elastici o anelastici Dal punto di vista energetico gli urti si classificano Elastici: si conserva l energia cinetica Anelastici: non si conserva l energia cinetica. Può: diminuire (viene trasformata in altre forme di energia: energia interna dei corpi, riscaldamento dei corpi) aumentare (l energia interna dei corpi viene trasformata in energia meccanica: esplosioni) Urti completamente anelastici: quando i due corpi restano attaccati dopo l urto e non si conserva l energia cinetica. 15

16 Gli urti elastici Sono urti in cui gli oggetti interagenti rimbalzano l uno sull altro senza subire deformazioni permanenti e senza che si generi calore. Esempio: urto tra sfere elastiche.

17 Urti elastici tra sfere della stessa massa Nella figura (a): - la sfera verde urta la sfera gialla, inizialmente ferma. - la sfera verde si ferma e la sfera gialla inizia a muoversi con la stessa velocità che la sfera verde aveva prima dell urto. In tutti e tre i casi - (a), (b) e (c) - le sfere che compiono l urto scambiano tra loro la propria quantità di moto.

18 Gli urti anelastici Sono urti in cui gli oggetti interagenti si distorcono, producono calore ed eventualmente restano uniti. (Se gli oggetti restano uniti, l urto si dice perfettamente anelastico.)

19 La conservazione della quantità di moto negli urti Ogni volta che due oggetti si urtano, le forze impulsive interne sono talmente elevate che vengono trascurate le forze esterne, per cui gli urti sono considerati sistemi isolati: vale il principio di conservazione della quantità di moto: quantità di moto totale prima dell urto= quantità di moto totale dopo l urto Esempi: gli urti elastici. gli urti anelastici.

20 Riepilogo Un urto è una situazione in cui due oggetti si colpiscono fra loro Se il sistema è isolato durante l urto la quantità di moto si conserva In generale gli urti vengono classificati in urti anelastici, nei quali la quantità di moto si conserva e l energia cinetica non si conserva p 1,i + p 2,i = p 1,f + p 2,f urti elastici, nei quali si conserva sia la quantità di moto sia l energia cinetica p 1,i + p 2,i = p 1,f + p 2,f E c 1,i +E C 2,i = E c 1,f + E c 2,f

21 Urti elastici: caso unidimensionale Velocità finale in un urto elastico

22 Urti elastici: bersaglio fermo Masse del proiettile e del bersaglio confrontabili

23 Masse del proiettile e del bersaglio uguali

24 Massa del proiettile molto più piccola della massa del bersaglio

25 Massa del proiettile molto più grande della massa del bersaglio

26 Urti anelastici Velocità finale in un urto completamente anelastico

27 URTI OBLIQUI Urti elastici: caso bidimensionale Urto bidimensionale: masse uguali e seconda pallina ferma mv 1,i + mv 2,i = mv 1,f + mv 2,f Poiché la velocità iniziale della seconda pallina è nulla abbiamo v 1,i = v 1,f + v 2,f La somma vettoriale delle velocità finali delle due palline è uguale alla velocità iniziale della prima pallina Dalla conservazione dell energia cinetica abbiamo che v 1,i 2 = v 1,f 2 + v 2,f 2 Teorema di pitagora: i vettori velocità finali sono quindi perpendicolari

28 Dinamica di un sistema di punti materiali Un corpo solido (come ad esempio un corpo rigido) può essere visto come un sistema di punti materiali Un corpo rigido è costituito da punti in cui le distanze, non variano nel tempo. Un corpo rigido non subisce alcuna deformazione anche se sottoposto a sollecitazioni estremamente elevate (conserva la sua forma). Per descrivere il moto di un sistema di punti materiali è spesso utile fare uso di un particolare punto detto: CENTRO DI MASSA DEL SISTEMA

29 CENTRO DI MASSA DI UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI Consideriamo n punti materiali: Le relative posizioni: Le relative velocità: Le relative accelerazioni: y r i v i v j m, m, m, m,... m r 1, r 2,... r, r,... r i v, v, vi, v j,... v a, a, a, a,... a i i j j j j a F m j j n n n n r j O x

30 Centro di massa Definiamo il centro di massa (o baricentro) di un sistema di corpi la media, pesata secondo la massa di ciascun corpo, delle posizioni dei singoli corpi. In formula Posizione del centro di massa = m 1r 1 + +m n r n m m n Il sistema, sotto l'azione di forze interne ed esterne, si comporta dal punto di vista meccanico come se la sua massa fosse effettivamente concentrata nel centro di massa e le forze siano applicate in esso r CM i i m r i m i i y v i r i v j r j O x

31 Se non ci sono di forze esterne sul sistema e quindi si conserva la quantità di moto del sistema, il suo centro di massa rimane in quiete o in moto rettilineo uniforme (secondo il primo principio della dinamica). Partendo dai principi della dinamica si dimostra che la velocità con cui si muove il centro di massa v CM è data dalla formula: v CM = p tot m tot Dove m tot è la massa complessiva del sistema e p tot è la quantità di moto totale

32 La quantità di moto totale è dunque uguale alla massa complessiva del sistema per la velocità del centro di massa. p tot = m tot v CM Se sul sistema agisce una forza esterna diversa da zero, Il centro di massa si sposta come un punto materiale in cui è concentrata tutta la massa del sistema p tot = F ext tot t Teorema dell Impulso N.B. Il centro di massa è un punto geometrico che non deve corrispondere per forza a uno dei punti fisici del sistema a cui si riferisce

33 IL MOMENTO ANGOLARE Per descrivere il moto circolare di un punto materiale e i moti di rotazione di un sistema di punti di un corpo rigido, si introduce il momento angolare L calcolato rispetto a un punto fisso O Si definisce momento angolare la seguente grandezza: L v L r p r mv E una grandezza vettoriale con: Modulo dato da: r L rpsin Direzione: perpendicolare al piano che contiene r e p Il momento angolare di un punto materiale è uguale al prodotto vettoriale tra il suo vettore posizione r e la sua quantità di moto Verso: regola della mano destra: r nella direzione del pollice, p direzione delle altre dita, L esce dal palmo della mano

34 Il momento angolare Il momento angolare: misura l inerzia di un corpo nel suo moto di rotazione. è l analogo, per un corpo che ruota, della quantità di moto per un corpo che si muove di moto rettilineo.

35 Il momento angolare nel moto circolare Per un oggetto di piccole dimensioni rispetto alla distanza dall asse di rotazione, il momento angolare è dato dalla relazione: L = mvr Esempi: una pallina che ruota legata a un filo. un pianeta che orbita intorno al Sole.

36 Momento angolare nel moto rettilineo e nel moto circolare

37 Il modulo del momento angolare L è massimo quando p è perpendicolare a r

38 Momento torcente Vettore momento torcente o momento di una forza, Il momento di una Forza

39 Il momento angolare di un sistema Un altra formulazione della seconda legge di Newton Seconda legge della dinamica di Newton (in termini di momento angolare) Momento totale delle forze esterne L = M tot t Il momento angolare di un sistema di punti materiali si conserva nel tempo se il momento totale delle forze esterne che agiscono su di esso è nullo

40 La conservazione del momento angolare Il principio di conservazione del momento angolare: afferma che se il momento risultante delle forze agenti su un sistema e nullo, il momento angolare del sistema resta invariato. è analogo al principio di conservazione della quantità di moto, secondo cui la quantità di moto del sistema resta invariata se la risultante delle forze esterne applicate a un sistema è nulla.

41 MOMENTO ANGOLARE E QUANTITA DI MOTO

42 MOMENTO DI INERZIA Il momento d'inerzia esprime l'inerzia rotazionale di un corpo esattamente come la massa esprime l'inerzia traslazionale. Possiamo vedere che tanto più la massa del corpo è distribuita lontano dall'asse di rotazione maggiore sarà il suo momento d'inerzia e quindi la difficoltà a metterlo in rotazione,

43 MOMENTO ANGOLARE DI UN CORPO RIGIDO E MOMENTO DI INERZIA Il momento angolare del corpo rigido rispetto a 0 è dato dalla somma dei momenti angolari delle tre particelle:

44 Poiché nel moto circolare v = ωr, sostituiamo al posto delle tre velocità tale espressione. Otteniamo: MOMENTO ANGOLARE DI UN CORPO RIGIDO

45 MOMENTO DI INERZIA DI UN CORPO RIGIDO CORPO RIGIDO FORMATO DA n MASSE PUNTIFORMI

46 MOMENTO DI INERZIA DI UN CORPO RIGIDO CORPO RIGIDO CON MASSA DISTRIBUITA IN MODO UNIFORME Un solido non è costituito da masse puntiformi separate; in esso la massa è distribuita con continuità Classifichiamo alcun momenti di inerzia per diversi corpi rigidi di forma comune

47 MOMENTO DI INERZIA DI UN DISCO Nel caso di un disco il momento di inerzia si può calcolare con metodi analitici che il momento d'inerzia rispetto all'asse perpendicolare alle facce piane e passante per il centro vale: I = 1 2 mr2 Il momento di inerzia dipende dalla massa del corpo e dalla sua distribuzione.

48 Notiamo che il momento d'inerzia dipende dalla posizione dell'asse di rotazione. Il momento d'inerzia del disco rispetto all'asse di rotazione parallelo alle sue facce piane e passante per il baricentro del disco è I = 1 4 mr2

49 Quando l uomo piega le braccia e avvicina al busto i manubri, egli riduce la distanza dei manubri dall asse di rotazione e la velocità angolare aumenta.

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51 DINAMICA ROTAZIONALE DI UN CORPO RIGIDO

52 Riassumendo... Sintetizziamo in una tabella le grandezze e le leggi del moto traslatorio e rotatorio