MECCANICA QUANTISTICA. Corso di laurea in fisica PROGRAMMA DEL CORSO E PROGRAMMA D ESAME. Anno accademico 2011/2012

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1 MECCANICA QUANTISTICA Corso di laurea in fisica PROGRAMMA DEL CORSO E PROGRAMMA D ESAME Anno accademico 2011/2012 Argomenti facenti parte del programma d esame. Argomenti facenti parte del programma d esame con le limitazioni indicate Argomenti introduttivi e richiami utili alla comprensione degli altri argomenti del corso. Non fanno parte del programma d esame. Si intende che devono essere conosciuti per la parte necessaria alla comprensione degli altri argomenti. Argomenti non svolti o svolti in modo incompleto durante le lezioni; i relativi appunti sono ugualmente presenti in rete. Possono essere argomenti d esame solo a richiesta dello studente. Le indicazioni del tipo N/n si riferiscono ai fascicoli di appunti presenti in rete. PARTE I INTRODUZIONE ALLA MECCANICA QUANTISTICA L EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER 1/1 Invenzione dell equazione di Schrödinger Introduzione L ipotesi di de Broglie Le relazioni di de Broglie in presenza di un potenziale L equazione di Schrödinger 1/2 Onde, corpuscoli e funzione d onda Diffrazione e interferenza di onde materiali Interpretazione della funzione d onda Relazioni di incertezza 1/3 Studio preliminare dell equazione di Schrödinger Proprietà generali La funzione d onda Lo spazio L 2 (x; dx) Proprietà dell operatore H Separazione della variabile temporale Generalità sul problema agli autovalori Esistenza e unicità della soluzione

2 PARENTESI MATEMATICA 2/1 Spazi di Hilbert e operatori negli spazi di Hilbert Spazi di Hilbert Operatori Proiezioni Rappresentazioni Problemi agli autovalori 2/2 Problemi agli autovalori negli spazi di Hilbert finitodimensionali Sottospazi invarianti Problemi agli autovalori 2/3 Distribuzioni singolari e funzione delta di Dirac Distribuzioni singolari e funzione densità La funzione delta La funzione delta come limite di funzioni ordinarie 2/4 Problemi agli autovalori negli spazi di Hilbert infinitodimensionali Esempi Generalizzazione Rappresentazioni Completezza degli autovettori Sottospazi invarianti Commutatività 2/5 Problema agli autovalori dell operatore hamiltoniano Problema agli autovalori dell operatore hamiltoniano 2/6 Notazione di Dirac Vettori Operatori Generalizzazione agli elementi impropri 2/7 Operazioni su spazi di Hilbert Prodotto diretto Somma diretta

3 SVILUPPI INTERPRETATIVI E FORMALI 3/1 Lo stato quantomeccanico e la sua evoluzione Lo stato di una particella in meccanica quantistica L evoluzione secondo l equazione di Schrödinger La riduzione 3/2 Le grandezze fisiche e i loro valori Le grandezze fisiche e i loro valori 3/3 La grandezza posizione La grandezza posizione 3/4 La particella libera La particella libera 3/5 La grandezza momento lineare La grandezza momento lineare Definizione della distribuzione dei valori Calcolo della distribuzione dei valori Distribuzione dei valori del momento lineare solo il risultato 3/6 L operatore H e l energia La soluzione dell equazione di Schrödinger in presenza di un potenziale Discussione euristica dello spettro di H La grandezza energia Definizione della distribuzione dei valori positivi dell energia Calcolo della distribuzione dei valori Distribuzione dei valori positivi dell energia solo il risultato Assunzione sulla distribuzione dei valori negativi dell energia Rappresentazioni dell energia 3/7 Generalizzazioni e sviluppi Valori e distribuzione dei valori di una grandezza generica Distribuzioni congiunte e grandezze compatibili Grandezze non compatibili Costanti del moto 3/8 Commutatori Commutatori 3/9 Esperimenti reali Esperimenti reali

4 PARTE II SISTEMI SEMPLICI UNA PARTICELLA IN UNA DIMENSIONE 4/1 Sistemi unidimensionali Sistemi unidimensionali 4/2 La particella libera Evoluzione dei valori medi, degli scarti quadratici medi e delle correlazioni di x e p Pacchetto gaussiano solo i risultati 4/3 Potenziali rettangolari Buca di potenziale rettangolare solo i risultati Barriera di potenziale rettangolare solo i risultati 4/4 Potenziali continui Potenziali continui 4/5 Processi d urto in una dimensione Buca di potenziale rettangolare Barriera di potenziale rettangolare Potenziale di forma qualsiasi Descrizione stazionaria dei processi d urto 4/6 Barriera impenetrabile Barriera impenetrabile 4/7 Oscillatore armonico unidimensionale Oscillatore armonico unidimensionale UNA PARTICELLA IN TRE DIMENSIONI 5/1 Sistemi unidimensionali e sistemi tridimensionali Relazione tra gli spazi degli stati 5/2 Sistemi a simmetria rettangolare Sistemi a simmetria rettangolare 5/3 Sistemi a simmetria centrale Sistemi a simmetria centrale 5/4 Processi d urto in tre dimensioni Esperimenti di diffusione Autofunzioni con prescrizione di onde uscenti Diffusione di un onda stazionaria Processo d urto di un pacchetto d onde Diffusione di un fascio di pacchetti d onde 5/A Coordinate curvilinee ortogonali

5 MOMENTI ANGOLARI 6/1 Teoria generale del momento angolare Teoria generale del momento angolare 6/2 Momento angolare orbitale Momento angolare orbitale Valori di l e unicità Costruzione delle armonoiche sferiche e dimostrazione delle loro proprietà Proprietà delle armoniche sferiche riassunto dei risultati 6/3 Momento angolare 1 2 Momento angolare 1 2 6/4 Addizione di momenti angolari Addizione di momenti angolari SISTEMI DI UNA PARTICELLA A SIMMETRIA CENTRALE 7/1 Sistemi idrogenoidi Sistemi idrogenoidi 7/2 Particella libera come sistema a simmetria centrale Particella libera in coordinate polari Dimostrazione delle proprietà delle funzioni di e Neumann sferiche Proprietà delle funzioni di Bessel e Neumann sferiche solo i risultati Dimostrazione dello sviluppo dell onda piana in armoniche sferiche Sviluppo dell onda piana in armoniche sferiche 7/3 Potenziali rettangolari sferici Potenziali rettangolari sferici solo i risultati 7/4 Urto contro un potenziale centrale Costruzione delle soluzioni con prescrizione di onde uscenti Sviluppo in onde parziali e approssimazione di bassa energia Matrice S LO SPIN 8/1 Lo spin Lo spin PARTICELLA IN UN CAMPO ELETTROMAGNETICO 9/1 Particella in un campo elettromagnetico Particella carica in un campo elettromagnetico Particella carica e dotata di momento magnetico in un campo elettromagnetico 9/2 L interazione spin orbita L interazione spin orbita ============ Termine del programma della prova orale, parte I ============

6 SISTEMI DI DUE PARTICELLE 10/1 Sistemi di due particelle Sistema di due particelle senza spin Sistema isolato di due particelle senza spin 10/2 Sistema di due nucleoni Sistema di due nucleoni 10/3 Diffusione da un bersaglio di massa finita Diffusione da un bersaglio di massa finita PARTE III PRINCIPI DELLA MECCANICA MECCANICA QUANTISTICA 11/1 Principi generali della meccanica quantistica Stati e grandezze Evoluzione di Schrödinger Misurazione 11/2 Sviluppi del formalismo e dei principi Evoluzione del valore medio di una grandezza La parità Relazioni di incertezza Costanti del moto L operatore di evoluzione temporale Traslazioni e rotazioni Descrizioni di una trasformazione Descrizioni dell evoluzione temporale Ancora sulle traslazioni e rotazioni 11/3 Irriducibilità nello spazio di Hilbert Irriducibilità Teorema di Stone e von Neumann e analoghi per spin e sistemi composti Descrizioni equivalenti di un sistema fisico Forma alternativa del principio E Appendice 11/4 Riducibilità nello spazio di Hilbert Riducibilità nello spazio di Hilbert e sue conseguenze Principio di riduzione ai sottospazi invarianti 11/5 Particelle identiche Particelle identiche Sottospazi invarianti Bosoni e fermioni

7 PARTE IV SVILUPPI APPLICATIVI SISTEMI DI PARTICELLE IDENTICHE 12/1 Descrizione di sistemi di particelle identiche Basi ortonormali Invarianza di un determinante di Slater Formule per il calcolo di elementi di matrice tra determinanti di Slater METODI APPROSSIMATI 13/1 Perturbazioni statiche dello spettro discreto Perturbazioni statiche dello spettro discreto 13/2 Perturbazioni statiche degli stati del continuo Perturbazioni statiche degli stati del continuo 13/3 Teoria perturbativa dell evoluzione temporale Teoria perturbativa dell evoluzione temporale 13/4 Metodo variazionale Metodo variazionale APPLICAZIONI DI METODI APPROSSIMATI 14/1 Approssimazione di Born Approssimazione di Born 14/2 Decadimento di sistemi instabili Sistemi instabili Decadimenti provocati da una perturbazione Decadimento beta di un nucleo 14/3 Teoria semiclassica della radiazione Il problema Transizioni indotte Emissione spontanea Approssimazione di dipolo elettrico 14/4 Metodo di Hartree Fock Lo stato di Hartree Fock Le equazioni di Hartree Fock Le equazioni di Hartree Fock in una base di lavoro L hamiltoniano di Hartree Fock Energie approssimate Osservazioni sul procedimento iterativo

8 COMPLEMENTI 15/1 Rotazioni e momenti angolari Rappresentazioni delle rotazioni Proprietà di trasformazione e regole di commutazionme con il momento angolare Coefficienti di Clebsch Gordan Coefficienti di riaccoppiamento Operatori tensoriali irriducibili Relazioni tra diverse rappresentazioni delle rotazioni Teorema di Wigner Eckart Applicazioni del teorema di Wigner Eckart