Determinare estremo superiore ed estremo inferiore dell insieme ( 1) n A = n + 1 : n IN

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1 Prima prova di verifica in itinere di ANALISI MATEMATICA Gennaio 00 Determinare estremo superiore ed estremo inferiore dell insieme { } ( ) n A = n + : n IN specificando se si tratta rispettivamente di massimo e di minimo. Determinare inoltre il derivato di A e stabilire se A è un insieme chiuso o un insieme aperto motivando la risposta. Calcolare i seguenti limiti ( lim x + x x + x + ), lim ( + sin x) x. x x 0 Classificare i punti di discontinuità della seguente funzione: { e x f(x) = se x 0 se x = 0 Studiare la seguente funzione: f(x) = x ln x Determinare il dominio e gli eventuali punti singolari della funzione: 5 f(x) = arcsin x x

2 Seconda prova di verifica in itinere di ANALISI MATEMATICA TRACCIA A Marzo 00 Si consideri la funzione f(x) = arcsin x 8 x Determinare: ) il dominio della funzione f giustificando i passaggi; ) il segno di f; ) le eventuali intersezioni con gli assi; ) la derivata prima di f; 5) il dominio della derivata prima; 6) il segno della derivata prima; 7) i limiti della derivata prima agli estremi del suo dominio e gli eventuali punti singolari. Sia g : lr lr una funzione derivabile tale che g (arcsin 5 ) =. Stabilire, 9 specificando il motivo, se la funzione g f è ben definita e se è derivabile. Calcolare infine (g f) ( ). 9

3 Terza prova di verifica in itinere di ANALISI MATEMATICA TRACCIA A 7 Aprile 00 Risolvere i seguenti integrali indefiniti x ln x dx dx x ln x e x cos e x dx Risolvere i seguenti integrali indefiniti x ln x dx sin x dx e arcsin x dx Utilizzando i criteri di integrabilità, stabilire l esistenza del seguente integrale e calcolarlo: + 0 x + 6 dx Utilizzando i criteri di integrabilità, stabilire l esistenza del seguente integrale e calcolarlo: x dx x 0

4 Terza prova di verifica in itinere di ANALISI MATEMATICA TRACCIA B 7 Aprile 00 Risolvere i seguenti integrali indefiniti arctan x + x dx x x dx x + x dx Risolvere i seguenti integrali indefiniti x e x dx cos x dx ln( + x ) dx Utilizzando i criteri di integrabilità, stabilire l esistenza del seguente integrale e calcolarlo: + 0 x + dx Utilizzando i criteri di integrabilità, stabilire l esistenza del seguente integrale e calcolarlo: x x dx

5 Quarta prova di verifica in itinere di ANALISI MATEMATICA 9 Maggio 00 Stabilire se la funzione: x y (x, y) (0, 0) f(x, y) = x + y 0 (x, y) = (0, 0) è differenziabile in (0, 0). Sia Φ : lr lr la funzione definita dalla legge: t Φ(t) = (, t ) + t per ogni t lr. Assegnata f : lr lr, differenziabile su lr, stabilire, specificando il motivo, se la funzione composta F (t) = f(φ(t)) è derivabile su lr. Supponendo che f(0, ) = (, ), calcolare F (0). Determinare i punti di estremo relativo della seguente funzione: Calcolare l area del dominio regolare f(x, y) = x ye (x +y ) { } D = (x, y) lr : x a + y b

6 Determinare il volume del dominio: { } T = (x, y, z) lr : x + y z x + y. Calcolare γ 5 6 y x + y dx + x x + y dy dove γ è l arco di ellisse di semiassi e con centro in (0, 0), di punto iniziale (, 0) e punto finale (0, ).

7 Prova scritta di ANALISI MATEMATICA Maggio 00 Determinare il valore dei parametri b e c affinchè la seguente funzione risulti derivabile in x = 0: x ln( x) se x < 0 f(x) = x x + bx + c se x 0 Assegnata la funzione f(x) = x x, stabilire, giustificando il motivo, se è invertibile nell intervallo ], 0[ e calcolare (f ) (). Studiare la seguente funzione: f(x) = (x ) Calcolare i seguenti integrali: ln(ln x) x dx + + 6x 9x dx dx 9 + x

8 Stabilire se la funzione 5 f(x) = e x verifica le ipotesi del teorema di Rolle nell intervallo [, ]. Determinare la derivata della funzione 6 f(x, y) = y + xy + x y nel punto (0, ) e nella direzione v = (, ). Determinare i punti di estremo relativo della seguente funzione: 7 f(x, y) = (y x )(y x ) Determinare il volume del solido: { } T = (x, y, z) lr : x + y z x + y +. Calcolare γ 8 9 [(e x sin y + y)dx + (e x cos y + x y)dy] dove γ è la curva la cui traccia coincide con il grafico della funzione y = ln x in [, e] orientata da (, 0) a (e, ).

9 Prova scritta di ANALISI MATEMATICA 8 Giugno 00 Determinare il valore del parametro b affinchè la seguente funzione risulti derivabile in x = 0: { x + bx se x 0 f(x) = ln( x) se x < 0 Si consideri la funzione f(x) = ln( x ) + Assegnata una funzione g : lr lr derivabile sul suo dominio, stabilire, specificando il motivo, se la funzione g f è derivabile in un intorno di 0. Supponendo che g () =, calcolare (g f) (0). Studiare la seguente funzione: f(x) = ln x + x + Calcolare i seguenti integrali: + arctan x x dx x dx x + x

10 Stabilire se la funzione f(x, y) = è differenziabile in (0, 0). 5 sin xy x + y se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) Sia Φ :]0, + [ lr la funzione definita dalla legge: 6 Φ(t) = ( t +, ln t) per ogni t ]0, + [. Assegnata f : lr lr, differenziabile su lr, stabilire, specificando il motivo, se la funzione composta F (t) = f(φ(t)) è derivabile su ]0, + [. Supponendo che f(, 0) = (, ), calcolare F (). Determinare i punti di estremo relativo della seguente funzione: Determinare il volume del solido:. Calcolare 7 f(x, y) = x ye (x +y ) 8 T = { (x, y, z) lr : x + y z, x + y + z } γ 9 [ y + x x + y dx + x y x + y dy] dove γ è la curva la cui traccia coincide con il grafico della funzione y = x + in [, ] orientata da (, ) a (, ).

11 Prova scritta di ANALISI MATEMATICA Calcolare il seguente limite: Stabilire se la funzione 7 Luglio 00 sin(x ) lim x ( x ) + x x. f(x) = e x + x 5 è invertibile e derivabile su lr e calcolare (f ) (). Studiare la seguente funzione: Calcolare i seguenti integrali: f(x) = ln( x). 0 e x (x + )dx 0 x ln x dx dx e x + e x

12 Stabilire la differenziabilità in (0, 0) della seguente funzione: 5 f(x, y) = Determinare la derivata della funzione 6 x + y f(x, y) = x xy nel punto (, ) e nella direzione v = (, ). Determinare i punti di estremo relativo della seguente funzione: Calcolare il seguente integrale 7 f(x, y) = x y ( x y) D 8 x y x + y dxdy dove D è la corona circolare di centro l origine e raggi e. Data la forma differenziale lineare 9 ω(x, y) = x y (x + y ) dx + xy (x + y ) dy, calcolarne l integrale lungo la circonferenza di centro (,) e raggio.