Elementi di teoria degli insiemi

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1 ppendice Elementi di teoria degli insiemi.1 Introduzione Comincia qui l esposizione di alcuni concetti primitivi, molto semplici da un punto di vista intuitivo, ma a volte difficili da definire con grande precisione. Una volta formato un comune punto di vista si potrà iniziare a costruire su questi concetti una struttura matematica, un modello assiomatico che consenta la deduzione logica di risultati fondamentali. lla base di tutto questo poniamo la comprensione intuitiva del concetto di insieme. Il termine insieme è utilizzato per indicare una collezione di oggetti. Esso rappresenta quindi una pluralità di oggetti che trattiamo come un unico oggetto. Gli oggetti che costituiscono un insieme sono detti elementi, o membri, dell insieme. Se un insieme contiene un numero finito di elementi, si dice un insieme finito; se contiene un numero infinito di elementi si dice un insieme infinito. Un insieme che non contiene alcun elemento è detto insieme vuoto..2 Prime nozioni e notazioni sugli insiemi Indicheremo gli insiemi con lettere latine maiuscole, gli elementi con lettere latine minuscole. L insieme vuoto è generalmente indicato con. Useremo il simbolo per indicare l appartenenza: scriveremo a per affermare che un elemento a appartiene ad un insieme. Per esprimere che a non appartiene ad scriveremo a /. Per rappresentare un insieme si possono utilizzare due tipi di scrittura. consiste nell elencare i suoi elementi: = {a, b, c,...}, Il primo ed è adatto alla rappresentazione di insiemi finiti. Oggetti di un certo tipo vengono raccolti in un insieme in virtù del fatto che posseggono almeno una caratteristica comune, e questa serve anche a definire l insieme. Il secondo tipo di rappresentazione consiste proprio nell enunciare una proprietà α verificata da tutti e soli gli elementi a : = {a a verifica la proprietà α} dove con a si intende il generico elemento di. In questo modo si possono rappresentare anche insiemi infiniti..3 Sottoinsiemi Definizione.1. Dati due insiemi e, si dice che è un sottoinsieme di, o è contenuto in, e si scrive, se e soltanto se ogni elemento di è anche elemento di, vale a dire che l appartenenza ad implica l appartenenza a : se e soltanto se x = x, x. -1

2 ppendice. Elementi di teoria degli insiemi Il simbolo = indica implicazione, significa cioè che l affermazione alla sua sinistra implica quella alla sua destra, mentre il simbolo si legge per ogni. Lo stesso concetto si esprime anche utilizzando la scrittura, e dicendo che contiene, o anche che è un sovrainsieme di. L insieme vuoto è considerato un sottoinsieme di qualsiasi insieme, cioè è contenuto in qualsiasi insieme. Osserviamo che secondo questa definizione un insieme può essere considerato come sottoinsieme di se stesso. La relazione di inclusione tra insiemi gode delle seguenti proprietà: (1) per ogni insieme (proprietà riflessiva). (2) e C C (proprietà transitiva). Per descrivere il caso più generale in cui è un sottoinsieme di e non coincide con, utilizziamo il concetto di sottoinsieme proprio. Diremo che è un sottoinsieme proprio di se è un sottoinsieme di ed esistono elementi di che non appartengono ad. Quando, nello scrivere che è un sottoinsieme di, si vuole sottolineare che esso è un sottoinsieme proprio di si utilizza la scrittura, o anche l analoga. Sull idea di sottoinsieme è basata la definizione dell uguaglianza di due insiemi, nel senso che quest ultima è equivalente all affermazione che i due insiemi si contengono reciprocamente. Definizione.2. Due insiemi e sono uguali, e scriveremo =, se e soltanto se valgono simultaneamente le affermazioni e : = se e soltanto se x x. Il simbolo, che chiameremo di equivalenza, indica la reciproca implicazione delle affermazioni alla sua destra e alla sua sinistra. Una totalità di oggetti x costituisce uno spazio o universo, che chiameremo insieme universale avente gli elementi x, e indicheremo con U. Ogni volta che consideriamo una collezione di insiemi aventi elementi x la penseremo come una collezione di sottoinsiemi dell insieme universale U. Definizione.3. Sia un insieme dello spazio U (cioè un sottoinsieme dell insieme universale U). Si chiama complementare di, e si indica con, l insieme degli elementi di U che non appartengono ad : Valgono le seguenti proprietà: = {x x U, x / }. U =, = U, ( ) =. U Figura.1: L insieme, sottoinsieme dell insieme universale U, e il complementare. -2

3 .4. Operazioni con gli insiemi.4 Operazioni con gli insiemi Consideriamo ora gli insiemi,, C dello spazio U. Definizione.4. Si chiama unione dei due insiemi e, e si indica con, l insieme degli elementi di U che appartengono ad almeno uno dei due insiemi, ; si può dunque scrivere: = {x x o x }. L operazione di unione gode delle seguenti proprietà: =, = U, =, ( ) C = ( C). Definizione.5. Si chiama intersezione dei due insiemi e, e si indica con, l insieme degli elementi di U che appartengono sia ad che a ; si ha cioè: = {x x e x }. Quando risulta = i due insiemi si dicono disgiunti. L operazione di intersezione gode delle seguenti proprietà: =, =, =, ( ) C = ( C). Definizione.6. Si chiama differenza dei due insiemi e, e si indica con, l insieme costituito dagli elementi di che non appartengono a, vale a dire: =. Osserviamo che risulta = se e solo se. Definizione.7. Si chiama somma disgiunta (o differenza simmetrica) dei due insiemi e, e si indica con, l insieme costituito dagli elementi che appartengono ad o a, ma che non appartengono ad vale a dire: = = ( ) ( ). Oltre alle proprietà di cui godono singolarmente, le operazioni di unione e di intersezione sono caratterizzate da una reciproca proprietà distributiva. Valgono le relazioni ( C) = ( ) ( C), ( C) = ( ) ( C). Inoltre, considerando il complementare, si verifica anche che (leggi di De Morgan): ( ) =, ( ) =. -3

4 ppendice. Elementi di teoria degli insiemi Figura.2: Unione, intersezione, differenza e somma disgiunta degli insiemi e. Le operazioni di unione ed intersezione si possono generalizzare, estendendole in generale ad una collezione di insiemi i, con i I, dove I è l insieme degli indici. Definizione.8. Sia i, con i I, una collezione di insiemi. (1) L unione degli insiemi i è l insieme costituito dagli elementi appartenenti ad almeno uno degli i. (2) L intersezione degli insiemi i è l insieme costituito dagli elementi comuni a tutti gli i. Una operazione che riveste grande importanza in molti sviluppi della teoria che affronteremo è il prodotto cartesiano. Definizione.9. Siano e due insiemi (distinti o coincidenti). Scelti due elementi a e b, si può considerare la coppia ordinata (a, b). Si chiama prodotto cartesiano dei due insiemi e, e si indica con, l insieme di tutte le coppie ordinate (a, b) che si ottengono al variare di a in e di b in. Per esempio, date in un piano due rette ortogonali, se è l insieme dei punti della prima retta e l insieme dei punti della seconda, il prodotto cartesiano è rappresentato dall insieme dei punti del piano considerato. Si può generalizzare il prodotto cartesiano estendendolo ad un numero qualsiasi di insiemi. Definizione.10. Siano 1, 2,..., n n insiemi (distinti o coincidenti). Si chiama prodotto cartesiano degli n insiemi i, i = 1, 2,..., n, e si indica con n, l insieme di tutte le n-ple ordinate (a 1, a 2,..., a n ) che si ottengono al variare di a 1 in 1, a 2 in 2,..., a n in n. -4

5 .5. Relazioni.5 Relazioni Dati due insiemi e, se una proprietà σ è vera per certe coppie (a, b) si dice che σ definisce una relazione binaria R tra i due insiemi e. Una relazione binaria R tra gli elementi di un insieme e gli elementi di un insieme assegna ad ogni coppia ordinata (a, b) una delle affermazioni: (1) a è in relazione con b. (2) a non è in relazione con b. Se R è una relazione, scriviamo a R b o anche (a, b) e diciamo che l elemento a è riferito mediante R all elemento b. Una qualunque relazione dall insieme all insieme definisce un sottoinsieme S di così definito: S = {(a, b) a R b}. Viceversa, preso un sottoinsieme S di si può definire una relazione binaria tra gli elementi di e di nel modo seguente a R b (a, b) S. Possiamo sintetizzare formalmente i concetti fin qui esposti sulla relazione binaria. Definizione.11. Una relazione binaria R tra gli insiemi e è un sottoinsieme del prodotto cartesiano. Consideriamo ora il caso particolare in cui =, cioè relazioni binarie tra elementi dello stesso insieme, per definire due fondamentali tipi di relazione binaria. Definizione.12. Una relazione binaria definita in un insieme si chiama relazione di equivalenza, e si indica con il simbolo, se, per ogni a, b, c,... essa gode delle seguenti proprietà: e1. a a (proprietà riflessiva). e2. a b b a (proprietà simmetrica). e3. a b e b c a c (proprietà transitiva). Definizione.13. Una relazione binaria definita in un insieme si chiama relazione d ordine, e si indica con il simbolo, se, per ogni a, b, c,... essa gode delle seguenti proprietà: o1. a a (proprietà riflessiva). o2. a b e b a a = b (proprietà antisimmetrica). o3. a b e b c a c (proprietà transitiva). -5

6 ppendice. Elementi di teoria degli insiemi.6 Funzioni Definizione.14. Dati due insiemi e, una applicazione o funzione f di dominio e codominio è una legge che associa ad ogni elemento a un unico elemento b detto il valore di f in a e indicato con f(a). Scriveremo f :. Definizione.15. Si chiama immagine di f, e si indica con Imf, o f(), l insieme di tutti i valori f(a) con a. Se Imf è un sottoinsieme proprio di si dice che f è un applicazione di in. Una applicazione f : si dice suriettiva se ogni elemento di è immagine di almeno un elemento di. In questo caso l immagine di f coincide con, e si dice che f è un applicazione di su. Una applicazione f : si dice iniettiva se elementi distinti in hanno immagini distinte, cioè se a a f(a) f(a ) o, in modo equivalente f(a) = f(a ) a = a. Definizione.16. Sia f : e sia b f(). Si dice immagine reciproca di b mediante f l insieme di tutti gli a la cui immagine mediante f dia lo stesso b. L immagine reciproca di b si indica con f 1 (b), che si dice la fibra di f su b. Se f è suriettiva, per ogni b vi è una fibra f 1 (b). Una applicazione f si dice biiettiva se è iniettiva e suriettiva. In questo caso, preso un qualunque b, la fibra f 1 (b) è formata da uno e un solo elemento. Una applicazione biiettiva si indica anche con il simbolo f : Definizione.17. Siano, C tre insiemi e siano f una applicazione da verso, f :, e g una applicazione g : C da verso C. Si definisce applicazione composta (o anche applicazione prodotto) di f con g, e si indica g f, l applicazione da verso C ottenuta applicando prima f e poi g. L applicazione g f è definita purché il dominio di g contenga l immagine di f. In simboli si scrive g f : C. Sia f : una applicazione biiettiva. Per ogni b, essendo f suriettiva, esiste un a tale che b = f(a) e, per l iniettività di f, questo è unico. Si può allora definire una applicazione f 1 : a essendo quell unico elemento di tale che b = f(a). L applicazione così definita si dice applicazione inversa dell applicazione f. -6

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