ESERCIZI FISICA I Lezione

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1 ESERCIZI FISICA I Lezione Tutor: Alessandro Ursi alessandro.ursi@iaps.inaf.it ESERCIZIO 1 Una carrucola che pesa Ms = 1 kg ed attaccata ad un dinamometro, vengono appesi due carichi, rispettivamente da m1 = 10 kg e da m2 = 6 kg, mediante una fune inestensibile e di massa trascurabile, libera di scivolare attraverso la carrucola. 1.1 Calcolare la forza misurata dal dinamometro, mentre le due masse si assestano Come nell'esercizio precedente, la massa M1 più pesante trascinerà con sé la massa M2. Su ogni carico agiranno la forza peso e la tensione della fune τ: quest'ultima sarà uguale in tutte le sue componenti, essendo il filo inestensibile e anelastico. La carrucola in equilibrio ha una risultante delle forze pari a:

2 F 2τ M! g = 0 cioè: F = 2τ + M! g Per ottenere la forza risultante è necessario calcolare la tensione del filo. Considerando le forze agenti sui due carichi appesi, utilizzando un'ascissa curvilinea diretta nel senso del moto: τ + M! g = M! a τ M! g = M! a Risolvendo il sistema trovo la tensione del filo: τ = 2g!!!!!!!!! Sostituendola nell'equazione della forza: F = 2τ + M! g = 4g!!!!!!!!! + M! g ~ 157 N

3 ESERCIZIO 2 Un uomo è in piedi sul tetto di una macchina ferma al parcheggio. Ad un certo istante l'auto si mette in moto e accelera con accelerazione A = γt (γ = 0.1 m/s 3 ). Il tetto dell'auto ha coefficienti di attrito μ! = 0.1 e μ! = Calcolare il tempo necessario perché l'uomo cominci a scivolare indietro durante il moto dell'auto L'accelerazione con cui si muove la macchina è l'accelerazione di trascinamento a cui è sottoposto un sistema di riferimento solidale all'uomo. Per la condizione di stazionarietà in presenza di attrito statico, per iniziare a muoversi l'uomo necessita di una forza f: f > f!!"" = μ! mg mγt > μ! mg condizione che sarà soddisfatta per tempi t >!!!! ~ 9.8 s 2.2 Nel momento esatto in cui comincia a scivolare, calcolare l'accelerazione dell'uomo Nel momento in cui l'uomo comincia a strisciare sul tetto della macchina, subirà un'accelerazione opposta in verso all'accelerazione di trascinamento A: ma = f f!!"" in questo caso la forza che muove l'uomo sarà quella ricavata precedentemente f f!!"" ma = f!!"" f!!"" cioè a = μ! g μ! g ~ 0.2 m/s!

4 ESERCIZIO 3 Un corpo puntiforme di massa m = 2 kg si trova in quiete su una superficie liscia di un cono di semi-apertura α = π/3 ed è sostenuto da un filo inestensibile e di massa trascurabile lungo L = 1.5 m, fissato ad un perno posto al vertice del cono. A partire dall'istante t = 0 al corpo puntiforme viene applicata una forza di modulo costante F0 = 0.6 N costantemente tangente alla superficie conica e perpendicolare al filo. 3.1 Determinare la tensione del filo e la reazione normale della superficie conica all'istante t = 0 - Fino al tempo t=0 la massa è appesa al filo, pendendo su di un piano inclinato, senza altra forza esterna applicata. La condizione di equilibrio del corpo darà quindi: τ = P cos α = 1 2 mg N = P sin α = 3 2 mg 3.2 Determinare l'accelerazione del corpo all'istante t = 0 + Essendo la forza applicata sempre tangenziale alla superficie del cono, l'accelerazione associata sarà diretta lungo un asse ortogonale sia alla forza peso P, che alla forza centripeta FC (nel disegno sarà un vettore entrante nella pagina). Una terna (x,y,z) definirà quindi i vettori (P,FC,at). Di conseguenza, l'accelerazione tangenziale sarà semplicemente:

5 a! =! = 0.3 m/s!! 3.3 Dal tempo t = 0 + al tempo t* al quale il corpo si stacca dalla superficie conica, determinare come varia la velocità angolare, il modulo della tensione del filo e la reazione normale sviluppata A partire dal tempo t=0 ho un'accelerazione tangenziale costante, che porta la biglia a girare attorno al cono: in questo caso non avrò più una condizione di equilibrio come nel punto 1.1, ma un moto circolare non uniforme con velocità angolare che cambia nel tempo. Dalla definizione di velocità angolare: ω =!! dove la velocità tangenziale sarà semplicemente v = a! t e il raggio in questione sarà la proiezione della lunghezza del filo R = L sin α. La velocità angolare in funzione del tempo sarà uguale a: ω(t) =!!!!"#! t Anche tensione e reazione normale varieranno nel tempo. In questo caso, essendo presente anche una forza centripeta, le forze agenti sulla massa sono: τ(t) = P cos α + mω(t)! R sin α N(t) + mω(t)! R cos α = P sin α che, sostituendo ω(t) e R diventano: τ(t) = mg cos α +!!!!! t! N(t) = mg sin α!!!! cot α t! 3.4 Determinare il valore di t*!

6 Al tempo t* cessano di valere tutte le considerazioni fatte finora, perché la massa si stacca dalla superficie e il moto della biglia diventa un semplice moto circolare, vincolato dalla tensione del filo. Il tempo t* sarà quel tempo per cui la reazione normale del piano diventa maggiore del peso (proiettato) della biglia, ossia: N(t ) = mg sin α!!!!! cot α t! t =!"!"#!!!!!!"#! = 2.64 s

7 ESERCIZIO 4 Una massa m = 5 kg è poggiata su un disco con coefficiente di attrito statico e dinamico µ = 0.3, a 50 cm dal centro, e attaccata, attraverso un filo inestensibile di massa trascurabile che passa attraverso un foro nel piano, ad un'altra massa M = 6 kg appesa come in figura. 4.1 Calcolare la velocità angolare a cui deve ruotare il piatto affinché la massa M non cada Considerando le forze che agiscono tra le masse M e m, perché M non cada significa che essa è in equilibrio e la risultante delle forze è nulla, come mostrato in figura: Ma = Mg τ = 0 ma = τ μmg Quella che agisce sulla massa m sul piano è la forza centripeta che posso descrivere come τ = Mg mω! R = Mg μmg da cui la velocità angolare necessaria a mantenere in equilibrio la massa M ω =!"!"!"! ~ 4.2 Hz 4.2 Calcolare la velocità angolare minima per cominciare ad alzare la massa M In questo caso la risultante delle forze sulla massa M non è più nulla, ma darà un'accelerazione diretta verso l'alto (verso positivo dell'ascissa curvilinea). Sulla massa m invece adesso la forza di attrito sarà di verso opposto rispetto al caso precedente: Ma = τ Mg > 0 ma = τ + μmg τ > Mg mω! R = Mg + μmg da cui la velocità angolare minima per far salire la massa M ω =!" +!"!"! ~ 5.4 Hz