Meccanica Dinamica del corpo rigido Elementi di fluidodinamica

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1 Meccanica Dinamica del corpo rigido Elementi di fluidodinamica

2 x Assi principali d inerzia z ω u L O y OQ 1/ Z Q O I OQ X Y Ellissoide d inerizia L I ω u + I ω u + I ω u x x x y y y z z z e scegliamo come asse di rotazione un asse principale d inerzia, allora Ad esempio scegliendo l asse si ha e lo stesso vale per y e per z Momenti principali d inerzia x L I ω u I x x x x ω ω L Teorema di Poinsot: Dato un corpo rigido qualunque, comunque venga scelto un punto O, è sempre possibile trovare (almeno) tredirezioni mutuamente ortogonali passanti per O, per ognuna delle quali: L ω

3 Filmato Ground test Planck balance procedure Thales Alenia pace, 8 imulazione Planck in-flight scanning strategy Misura di precisione degli assi principali di inerzia: - tabilità del puntamento (requisito scientifico) - tabilità termo-elettrica - Controllo dell attitudine - Efficienza propulsione re-pointing (hydrazine thrusters)

4 O CM ω L dl M dt Giroscopio Rotazione di un corpo rigido con un punto fissato da sistema di vincoli θ r CM Esempio: punto fisso diverso dal centro di massa mg M ω costante r mg CM Momento della forza peso Precessione del momento angolare Periodo di precessione rispetto al pariodo di rotazione? θ O L CM mg dl dφ dl dφ dl Lsin θ dφ Lsin θ L dt dt rcm mg Lsin θ ωl rcm mg sinθ ω L L T L 4π I 1 r CM mg T sinθ ω L r mg Iω CM velocità angolare di precessione Approssimazione: Quasi tutto il momento angolare è nella rotazione Il periodo di precessione è inversamente proporzionale al periodo di rotazione

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6 Proprietà meccaniche dei fluidi olidi Liquidi Gas Forma propria Pressione acqua Assumono la forma dell ambiente che li contiene Volume proprio Incompressibile ρ 1 kg/m F 3 3 F p F Riempie tutto il volume Compressibile ρ 1.3 kg/m Forza che agisce perpendicolarmente a una superficie aria p df d 3 Fluidi corrimento di qualsiasi parte del fluido rispetto alle parti circostanti Attrito ( viscosità ): resistenza interna allo scorrimento Assumeremo fluido ideale : viscosità nulla Grandezza scalare! Unità di misura: Pascal Pressione atmosferica a livello del mare: N 5 [ p] Pa bar 1 Pa m 5 p Pa atm bar

7 dm Proprietà meccaniche dei fluidi Fluido nei pressi della superficie terrestre Forza di pressione : Pressione: grandezza non direzionale. Consideriamo un elemento di fluido in quiete in cui agiscano solamente forze di pressione F F cosθ F F sinθ pbh p1ah cosθ p3ch p1ah sinθ b a cosθ c a sinθ p p p3 p1 1 ρdv gdm Equilibrio statico: p1 p p3 Forza di pressione produce spostamento dh: dwpressione F dh Lavoro complessivo: Elemento infinitesimo di un fluido in quiete: Forza di volume : peso F 3 h c df g dm gρdv df Lavoro delle forze di pressione p dh Wpressione p dv pdv a b p d F La pressione non è direzionale: Ogni elemento infinitesimo di volume di un fluido in quiete subisce uguale pressione in ongi parte della sua superficie. F dh θ F 1

8 Proprietà meccaniche dei fluidi Equilibrio idrostatico Consideriamo un fluido ideale in quiete, densità costante Forza peso: dfpeso gdm gρdv gρddh h Forza di pressione: dfpressione dp d h + dh p( h) p( h + dh) Differenza di pressione tra i piani dello strato dh Pressione esterna: p dpd dv gdm Condizione di equilibrio: df Equazione dell equilibrio idrostatico peso + dfpressione gρddh dpd dp dh gρ p( h) p dp gρdh h dp gρ dh p( h) p + gρh Legge di tevino imone di Bruges ( ) Come cresce la pressione con la profondità in un bacino d acqua? ρ 1 kg/m p 3 3 acqua 5 patm 1 Pa p h 5 3 ( ) ( h[m])pa La pressione aumenta di ~1 atmosfera ogni 1m di profondità 4 h 1 m ρ p Fondi oceanici (assumendo cost.) Pa 1 bar

9 ρ ρ ' Proprietà meccaniche dei fluidi Principio di Archimede Fluido in equilibrio, densità ρ Isoliamo una porzione (generica) di fluido. Per essa vale: F pressione ostituiamolo con un materiale di densità ρ ' F peso gρv L azione delle forze di pressione rimane identica La forza peso cambia: La forza risultante è: F ' peso F pressione gρv F ' gρ ' V peso gρ ' V gρv F ' F Non c è più equilibrio: peso pressione g( ρ ' ρ) V F A Peso dell oggetto spinta di Archimede ρ ρ Archimede (87-1 ac) e ' < la spinta di Archimede prevale sulla forza peso, e l oggetto sale verso l alto Esempio. Quale frazione del volume di un iceberg è sommersa? Forza peso in equiliberio con spinta di Archimede: gρ V gρ V ghiaccio acqua V V ρ ghiaccio ρ acqua.9 ρ ghiaccio.9ρ acqua

10 Fluido in moto in un condotto Proprietà meccaniche dei fluidi Moto di un fluido Variazione di velocità e pressione del fluido a seconda della sezione e della quota del condotto? Assumiamo moto in regime stazionario: d v La velocità varia da un punto all altro del condotto, ma non dipende dal tempo portata v v( x, y, z) Linee di corrente: Traiettorie di elementi di flusso, tangenti al vettore velocità sono fisse in regime stazionario Tubo di flusso: Insieme di tutte le linee di corrente in una sezione Portata: Consideriamo il tubo di flusso per una sezione infinitesima d: dq vd 3 [m /s] Volume di fluido che attraversa d in un secondo In regime stazionario la portata si mantiene costante nel tempo q dq cost. 1 q vd v cost. Media delle velocità nei vari punti della sezione Legge di proporzionalità inversa tra velocità e sezione Leonardo da Vinci ( )

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12 Proprietà meccaniche dei fluidi Moto di un fluido: teorema di Bernoulli Relazione tra velocità e pressione del fluido in un condotto generico Fluido ideale (no attriti), densità costante, regime stazionario 1 Considero volume di fluido compreso tra 1 e z 1 ' 1 si sposta e va a riempire il tratto 1 e dh 1 Fluido incomprimibile, i volumi si conservano: z ' dv dh dv dh Lo scorrimento equivale a spostare il fluido dal volume dv 1 al volume dv dh dw de Lavoro della forza peso: peso P dw p dh p dh ( p1 p) dv 1 1 dek dmv dmv1 gρdv ( z z1) + ( p1 p) dv 1 ρdvv 1 ρdvv1 Lavoro della pressione: pressione Variazione energia cinetica: dw dw + dw de Usiamo la relazione: peso pressione K gdm( z z ) 1 dm dm ovviamente 1 gρdv ( z z ) 1

13 Proprietà meccaniche dei fluidi Moto di un fluido: teorema di Bernoulli 1 1 gρdv ( z z ) + ( p p ) dv ρdvv ρdvv 1 1 gρz1 + p1 + ρv1 gρ z + p + ρv Poichè gli stati 1 e sono generici, vale in generale che: Teorema di Bernoulli costante p ρv gρz In un fluido ideale in regime stazionario la somma di pressione, densità di energia cinetica e densità energia potenziale si conserva. Daniel Bernoulli (17-178) v p + gρz costante p p gρh p( h) p + gρh e il fluido è statico: e il condotto è orizzontale: Ritroviamo la Legge di tevino z cost. p 1 ρv + costante Pressione e velocità cambiano solo se cambia la sezione. ezioni più strette: aumenta la velocità, diminuisce la pressione (Viceversa in sezioni più larghe) z z h p p

14 In regime stazionario, se la sezione è costante, la velocità è costante: Per la portata: Teorema di Bernoulli: applicazioni Flusso in un tubo a sezione costante z h h 1 p 1 Tubo di Venturi p p + gρz v Il teorema di Bernoulli si riduce a: costante Nei tre tratti del condotto abbiamo: p + gρh p p + gρh 1 1 costante La pressione decresce con la quota secondo la legge di tevino Quota costante. Dal teorema di Bernoulli: v11 v v1 v ρ + ρ 1 p v p v ρv 1 ( p 1 p) 1 p v Variazione della pressione? p p gρh p p gρh 1 1 Misura della velocità di un fluido in un condotto 1 1 p + ρv p + ρv 1 1 p 1 ( p p ) p ρ 1 Misurando p 1 e p ricavo la velocità

15 Teorema di Bernoulli: applicazioni Recipiente con un piccolo foro (a << A), profondità -h Velocità con cui il fluido esce dal foro? Poiché a << A, sulla superficie libera A, possiamo assumere il regime statico z Pressione esterna: p A pa Consideriamo il flusso attraverso le sezioni A e a, e applichiamo il Teorema di Bernoulli: 1 1 p + ρv + gρ z p + ρv + gρz p va z A pa p v 1 p p + ρv gρh gh v v gh La velocità di deflusso: A a v za Legge di Torricelli Non dipende né dalla densità del fluido, né dalla pressione esterna a h h Evangelista Torricelli ( ) a E pari a quella che avrebbe se fosse scesa in caduta libera da un altezza h

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