Meccanica Dinamica dei fluidi

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1 Meccanica 6-7 Dinamica dei fluidi

2 Proprietà meccaniche dei fluidi olidi Liquidi Gas orma propria Pressione acqua Assumono la forma dell ambiente che li contiene Volume proprio Incompressibile ρ kg/m 3 3 p Riempie tutto il volume Compressibile ρ.3 kg/m orza che agisce perpendicolarmente a una superficie aria p d d 3 luidi corrimento di qualsiasi parte del fluido rispetto alle parti circostanti Attrito ( viscosità ): resistenza interna allo scorrimento Assumeremo fluido ideale : viscosità nulla Grandezza scalare! Unità di misura: Pascal Pressione atmosferica a livello del mare: N 5 [ p] Pa bar Pa m 5 p.35 Pa atm.35 bar

3 dm Proprietà meccaniche dei fluidi luido nei pressi della superficie terrestre orza di pressione : cosθ sinθ 3 pbh pah cosθ p3ch pah sinθ b a cosθ c a sinθ p p p3 p ρdv gdm Pressione: grandezza non direzionale. Consideriamo un elemento di fluido in quiete in cui agiscano solamente forze di pressione p p p3 orza di pressione produce spostamento dh: dwpressione dh Lavoro complessivo: Elemento infinitesimo di un fluido in quiete: orza di volume : peso 3 h d g dm gρdv d Lavoro delle forze di pressione p dh Wpressione p dv pdv c a b p d La pressione non è direzionale: Ogni elemento infinitesimo di volume di un fluido in quiete subisce uguale pressione in ongi parte della sua superficie. dh θ

4 orza peso: dpeso d Proprietà meccaniche dei fluidi Equilibrio idrostatico Consideriamo un fluido ideale in quiete, densità costante gdm gρdv gρddh dp d orza di pressione: pressione p( h) p( h + dh) Differenza di pressione tra i piani dello strato dh h h + dh Pressione esterna p dpd dv gdm Condizione di equilibrio: d Equazione dell equilibrio idrostatico peso + dpressione gρddh dpd dp dh gρ p( h) p dp gρdh h dp gρ dh p( h) p + gρh Legge di tevino imone di Bruges (548-6) Come cresce la pressione con la profondità in un bacino d acqua? ρ kg/m p 3 3 acqua 5 patm Pa p h 5 3 ( ) ( h[m])pa La pressione aumenta di ~ atmosfera ogni m di profondità 4 h m ρ p ondi oceanici (assumendo cost.) 8 3 Pa bar

5 ρ ρ ' Proprietà meccaniche dei fluidi Principio di Archimede luido in equilibrio, densità ρ Isoliamo una porzione (generica) di fluido. Per essa vale: pressione ostituiamolo con un materiale di densità ρ ' peso gρv L azione delle forze di pressione rimane identica La forza peso cambia: La forza risultante è: ' peso pressione gρv peso gρ ' V gρv Peso dell oggetto gρv ' peso gρ ' V ' Non c è più equilibrio: peso pressione g( ρ ' ρ) V A spinta di Archimede ρ ρ Archimede (87- ac) e ' < la spinta di Archimede prevale sulla forza peso, e l oggetto sale verso l alto Esempio. Quale frazione del volume di un iceberg è sommersa? orza peso in equiliberio con spinta di Archimede: gρ V gρ V ghiaccio acqua V V ρ ghiaccio ρ acqua.9 ρ ghiaccio.9ρ acqua

6 luido in moto in un condotto Proprietà meccaniche dei fluidi Moto di un fluido Variazione di velocità e pressione del fluido a seconda della sezione e della quota del condotto? Assumiamo moto in regime stazionario: d v La velocità varia da un punto all altro del condotto, ma non dipende dal tempo portata v v( x, y, z) Linee di corrente: Traiettorie di elementi di flusso, tangenti al vettore velocità sono fisse in regime stazionario Tubo di flusso: Insieme di tutte le linee di corrente in una sezione Portata: Consideriamo il tubo di flusso per una sezione infinitesima d: dq vd Volume di fluido che attraversa d in un secondo 3 [m /s] In regime stazionario la portata si mantiene costante nel tempo q dq cost. q vd v cost. Media delle velocità nei vari punti della sezione Legge di proporzionalità inversa tra velocità e sezione Leonardo da Vinci (45-59)

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8 Proprietà meccaniche dei fluidi Moto di un fluido: teorema di Bernoulli Relazione tra velocità e pressione del fluido in un condotto generico luido ideale (no attriti), densità costante, regime stazionario Considero volume di fluido compreso tra e z ' si sposta e va a riempire il tratto e dh luido incomprimibile, i volumi si conservano: z ' dv dh dv dh Lo scorrimento equivale a spostare il fluido dal volume dv al volume dv dh Usiamo la relazione: dw dwpeso + dwpressione dek dw de gdm( z z ) Lavoro della forza peso: peso P dw p dh p dh ( p p) dv dek dmv dmv gρdv ( z z) + ( p p) dv ρdvv ρdvv Lavoro della pressione: pressione Variazione energia cinetica: gρdv ( z z )

9 Proprietà meccaniche dei fluidi Moto di un fluido: teorema di Bernoulli gρdv ( z z ) + ( p p ) dv ρdvv ρdvv gρz + p + ρv gρ z + p + ρv Poichè gli stati e sono generici, vale in generale che: Teorema di Bernoulli + + costante p ρv gρz In un fluido ideale in regime stazionario la somma di pressione, densità di energia cinetica e densità energia potenziale si conserva. Daniel Bernoulli (7-78) v p + gρz costante p gρh p p( h) p + gρh e il fluido è statico: Ritroviamo la Legge di tevino e il condotto è orizzontale: z z p ρv + costante Pressione e velocità cambiano solo se cambia la sezione. ezioni più strette: aumenta la velocità, diminuisce la pressione (Viceversa in sezioni più larghe) z z h p p

10 In regime stazionario, se la sezione è costante, la velocità è costante: Per la portata: Teorema di Bernoulli: applicazioni lusso in un tubo a sezione costante z h h p Tubo di Venturi p p + gρz v Il teorema di Bernoulli si riduce a: costante Nei tre tratti del condotto abbiamo: p + gρh p p + gρh costante La pressione decresce con la quota secondo la legge di tevino Quota costante. Dal teorema di Bernoulli: v v v v + ρ + ρ p v p v ( p p) ρv p v Variazione della pressione? p p gρh p p gρh Misura della velocità di un fluido in un condotto p + ρv p + ρv p ( p p ) p ρ Misurando p e p ricavo la velocità

11 Teorema di Bernoulli: applicazioni Recipiente con un piccolo foro (a << A), profondità -h Velocità con cui il fluido esce dal foro? Poiché a << A, sulla superficie libera A, possiamo assumere il regime statico Pressione esterna: z h p A pa Consideriamo il flusso attraverso le sezioni A e a, e applichiamo il Teorema di Bernoulli: p + ρv + gρ z p + ρv + gρz p va z A h pa p va v z a p + gρh p + ρv gh v v gh La velocità di deflusso: A Teorema di Torricelli Non dipende né dalla densità del fluido, né dalla pressione esterna E pari a quella che avrebbe se scendesse in caduta libera a z Evangelista Torricelli (68-647) a

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