IL PROBLEMA DELLE SCORTE

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1 IL PROBLEMA DELLE SCORTE Un problema particolarmente importante nella vita di ogni impresa è il problema della gestione delle scorte, detto anche di controllo delle giacenze di magazzino, pena l interruzione dei processi produttivi (mancanza di materia prima) con conseguente danno economico. Esso non riguarda solo le imprese ma anche le piccole ditte commerciali che devono sempre avere in magazzino una scorta sufficiente di merci, pena la perdita dei clienti. Gestire il problema delle scorte significa attuare quella politica di approvvigionamento che rende minimo il costo totale ottenuto dalla sommatoria dei costi di ordinazione, di magazzino e di acquisto del materiale. La risoluzione di un problema di scorte richiede la conoscenza dei seguenti dati: 1. Quantità Q di materia prima (prodotti finiti) occorrente in un dato intervallo di tempo (in genere l anno). 2. Il prezzo p di ogni unità acquistata. 3. I tempi di consegna intercorrenti tra le date di ordinazione e le date di consegna. 4. Il consumo futuro o meglio il modo in cui il consumo si distribuisce durante l anno. Nella complessa realtà in cui l impresa opera accade che i dati di cui sopra siano variabili aleatorie e, pertanto, il problema delle scorte sarebbe un problema di scelta in condizioni di incertezza. Supporremo, allora, che i dati considerati siano tutti noti (ipotesi di certezza) e inoltre che : 1. I tempi di consegna siano nulli, cioè che la merce ordinata arrivi appena è terminata quella della precedente ordinazione. 2. Il consumo sia uniforme nel tempo, ciò comporta che il tempo T (periodo o tempo di riordino), intercorrente tra due successive ordinazioni della stessa intensità, sia costante. In base a tali ipotesi, indicando con la quantità di merce (materia prima) da ordinare ogni volta, all inizio del periodo T arriva la merce ordinata. Avendo supposto un consumo uniforme nel tempo, il livello della scorta decresce in modo rettilineo e diventa nullo un istante prima che arriva la merce dell ordinazione successiva. La situazione si può schematizzare, in funzione del tempo, attraverso il seguente diagramma detto a denti di sega. Si tratta del grafico di una funzione periodica (di periodo ) e discontinua, con discontinuità di terza specie non eliminabile, per =,2,3 ecc. ove presenta un salto di ampiezza.

2 Diagramma a denti di sega / ANALISI DEL COSTO COMPLESSIVO 1. Costo di ordinazione: =,dove è indipendente dalla quantità ordinata ed è un costo fisso che deriva da spese di corrispondenza e trattative con i fornitori, da spese amministrative di carico e scarico, da spese legali. Nota la quantità di materia prima occorrente in genere in un anno, è il numero di ordinazioni occorrenti nello stesso periodo. Moltiplicando la spesa, che ogni ordinazione comporta,per, si ottiene = che prende proprio il nome di costo di ordinazione, riferito ad un anno. 2. Costo di magazzino: =,decorre dal momento dell ingresso della merce in magazzino sino al momento del prelievo e deriva dal sostenimento di spese per la conservazione della merce (assicurazione, sorveglianza, deperimento della merce). Esso si calcola in percentuale o proporzionalmente alla scorta media =, media aritmetica tra la giacenza massima e minima zero; è la quantità di merce che dev essere sempre presente nel magazzino. Indicato con il costo unitario della scorta nello stesso intervallo di tempo, risulta che il costo di magazzino è proprio = 3. Costo di acquisto del materiale : è riferito ad ogni unità di merce acquistata ed è comprensivo delle spese di trasporto. Occorre distinguere il caso in cui è costante da quello in cui si prevedono riduzioni per acquisti superiori ad una certa quantità h. Nel primo caso si può trascurare perché non dipende da e, detta la capacità di magazzino, il modello matematico risulta:

3 == + < Essendo,,,, quantità positive, il grafico del costo riguarda solo il primo quadrante dove la funzione presenta un minimo. STUDIO DELLA FUNZIONE DEL COSTO TOTALE 1 C. E. = R ; + =+ = (as.verticale dx), essendo = = ed = + = 0 = (as. obliquo) = + >0 >0-2>0 = ()=2,; = (numero di ordinazioni nel periodo ), = POSSIBILI SOLUZIONI (frequenza delle ordinazioni) C/y C/y (a) (b) La funzione è del tipo =+ con,>0 e prende il nome di iperbole non equilatera. Essendo una funzione somma di due, una retta per l origine = e una iperbole equilatera riferita agli asintoti =, dal prodotto costante, essa ammette un minimo quando le due funzioni sono uguali. Ponendo = si ricava = da cui, per sostituzione, si trova = + = + =2. Il procedimento seguito per determinare il minimo, ha la seguente interpretazione geometrica: Tra tutti i rettangoli di area assegnata, quello di perimetro minimo è il quadrato. Infatti, dette ed le dimensioni del rettangolo, il problema si traduce nel seguente modello: =+,soggetta al vincolo =h. Risolvendo per sostituzione: = si ha =+ e =1 da cui = = h. Ciò prova che il perimetro è minimo se la figura ha le dimensioni uguali e, quindi, se è un quadrato.

4 Dai due grafici soprastanti si vede che in assenza di riduzioni di prezzo, per cui è trascurabile, il minimo si ha in se <,igura (a), mentre si ha in se >,igura (b). Invece, se h è la quantità da acquistare per avere diritto ad uno sconto sul prezzo della merce il modello matematico diventa: = + + = + + <<h In tal caso, si possono presentare quattro situazioni : / / (c) (d) 0 h 0 h Dalla figura (c), essendo <, ed <h<, si vede che il minimo si ha in h perché bisogna scegliere la funzione di costo minore che è definita per h,ossia nell intervallo h,+,a meno del vincolo della capacità. Dalla figura (d), invece, si vede che, pure in presenza di riduzioni, non si può accedere ad esse in quanto il magazzino non lo consente, essendo <<h (oppure < <h), per cui si ha il minimo in (oppure in se risulta < ). Una variante al grafico (c) si presenta quando il minimo della funzione si trova dopo la riduzione h, cioè risulta h< <, e questo accade se la funzione dopo h continua a decrescere e raggiunge il minimo tra h e, in tal caso la soluzione di minimo costo complessivo si trova proprio in e non in h.

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