Istituzioni di Matematiche II AA Registro delle lezioni

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1 Istituzioni di Matematiche II AA Registro delle lezioni Riferimenti: [1] M.Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 2. Zanichelli [2] M.Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 1. Zanichelli [3] Dispense di Algebra lineare da M.Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: MATEMATICA Calcolo infinitesimale e Algebra lineare, seconda edizione. (cap.2) Zanichelli 1. Martedì 1 marzo. 1 ora Integrale indefinito come equazione differenziale. Equazioni differenziali ordinarie, soluzioni. Equazioni differenziali del primo ordine. Esempi di equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili. Metodo risolutivo. Il problema di Cauchy per equazioni del prmo ordine. Esercizi. Giovedì 3 marzo: Lezione sospesa per inagibilità dell aula. 2. Mercoledì 9 marzo. 2 ore Equazioni a variabili separabili: Teorema di esistenza locale; Teorema di esistenza ed unicità locale Teorema di esistenza ed unicità globale: Dato il problema di Cauchy { y = a(t)b(y) y(t 0 ) = y 0 Se a(t) è continua in un intorno I di t 0 e b(y) è derivabile in R con derivata continua e limitata, allora il problema ammette una ed una sola soluzione e il dominio di questa soluzione è I. Esempi ed esercizi. Equazioni riconducibili a equazioni a variabili separabili: le equazioni omogenee di Manfredi. Equazioni differenziali lineari del primo ordine: il metodo del fattore integrante. 3. Lunedì 14 Marzo 2 ore Equazioni differenziali lineari del primo ordine: Teorema di esistenza ed unicità globale; la struttura dell integrale generale; la struttura dell integrale generale dell equazione omogenea associata; ricerca di una soluzione dell equazione completa: il metodo della variazione delle costanti. Equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti:

2 equazione caratteristica; metodi ad hoc (o di somiglianza) per la ricerca di una soluzione dell equazione completa. Equazioni riconducibili ad equazioni lineari: equazione di Bernoulli. 4. Martedì 15 Marzo 1 ora Esercizi ed esempi. Modelli di dinamica di popolazioni: le equazioni di Malthus e di Verhulst. Equazione della cinetica chimica. Riferimenti: [1] cap.1 pargrafo 1 e 2 con tutti gli esercizi. Equazoni di Bernoulli ed equazioni omogenee (di Manfredi): pg. 427 e Mercoledì 16 marzo. 2 ore Numeri complessi: forma algebrica, coniugato e modulo; forma trigonometrica. Esercizi. 6. Lunedì 21 marzo. 2 ore Elevamento a potenza intera, estrazione di radice e soluzione di equazioni nel campo complesso. Teorema fondamentale dell algebra. Esercizi. Riferimenti: [2] cap. 1 paragrafo 8 con tutti gli esercizi. 7. Martedì 22 marzo. 1 ora Polinomi nel campo complesso. Abbiamo integrato con le seguenti osservazioni: Sia P (z) = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n a coefficienti a i C, indichiamo con P (z) il polinomio P (z) = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n. - Se tutti gli a i sono reali, allora P (z) = P (z). - α è radice di P (z)se e solo se α è radice di P (z). - Teorema. Se P (z) è a coefficienti reali, α è radice di P (z) se e solo se anche α lo è. Inoltre α e α hanno la stessa molteplicità. -Teorema. Ogni polinomio a coefficienti reali di grado dispari ha almeno una radice reale. -Teorema. Ogni polinomio a coefficienti reali si può fattorizzare in polinomi a coefficienti reali di primo e di secondo grado. Esercizi. Applicazione all integrazione di funzioni razionali fratte. Data una successione (z n ) e un punto z in C, diciamo che lim z n = z n + se lim z n z = 0. n + Serie nel campo complesso. L esponenziale complesso. sin z e cos z. Formula di Eulero.

3 Riferimenti:[2] cap. cap. 5, paragrafo 2 Esercizi da 22 a 30 pg Mercoledì 23 marzo. 2 ore Spazi vettoriali sul campo R, definizione ed esempi: i vettori nel piano e nello spazio, significato geometrico di somma e moltiplicazione per uno scalare, i vettori nel piano e nello spazio cartesiano, lo spazio R n, lo spazio di tutti i polinomi, spazi funzionali. Combinazioni lineari, vettori linearmente indipendenti. Significato geometrico di dipendenza lineare nel caso di due vettori e di tre vettori in R 3. Sottospazi vettoriali definizione ed esempi. Generatori, base, dimensione di uno spazio vettoriale. La dimensione di R n, dello spazio dei polinomi di grado minore o uguale a n. I sottospazi vettoriali di R 2 e R 3. Riferimenti:[3] 9. Lunedì 28 marzo. 2 ore Trasformazioni lineari. Immagine e nucleo. Esempi di trasformazioni lineari nei seguenti casi: L : R R, L : R R 2,L : R 2 R, L : R 2 R 2,L : R R 3,L : R 3 R, L : R 3 R 3, la derivazione, l integrale definito. Una trasformazione lineare che ha come dominio uno spazio di dimensione finita è nota non appena è noto come agisce sugli elementi di una base. Trasformazioni lineari tra spazi di dimensione finita e loro rappresentazione matriciale una volta che siano fissate le basi. Teorema sulla dimensione di immagine e nucleo. 10. Martedì 29 marzo. 2 ore Matrici. Lo spazio vettoriale delle matrici m n. Prodotto righe per colonne tra matrici conformabili e sue proprietà. Teorema di rappresentazione con dimostrazione. Matrice trasposta. 11. Mercoledì 30 marzo. 2 ore Matrici n n: matrice identità, matrice inversa di una matrice data. Determinante e sue proprietà. Teorema di Binet. Condizione necessaria e sufficiente affinchè una matrice sia invertibile. Forma della matrice inversa. Sistemi lineari e loro forma matriciale. 12. Lunedì 4 aprile. 2 ore Sistemi di n equazioni in n incognite e teorema di Cramer con dimostrazione. Esercizi. 13. Martedì 5 aprile. 2 ore Caratteristica di una matrice. Il teorema di Rouchè- Capelli con dimostrazione. Esercizi. Sistemi omogenei. Autovalore di una matrice quadrata e relativi autovettori: definizioni e teoremi. 14. Mercoledì 6 aprile. 2 ore

4 Esercizi. Esempi di applicazioni lineari del piano cartesiano in sè: rotazioni, simmetria rispetto alla bisettrice del primo quadrante, simmetrie rispetto agli assi, dilatazioni. Operatori di simmetria dello spazio che lasciano invariata la molecola d acqua. Ricerca degli autovalori di una matrice e dei relativi autovettori. Matrici del cambiamento di base. Diagonalizzazione. Riferimenti:[3] paragrafi 1.1, 3.1, 3.4, 4 e 5 tutto, 6, con gli esercizi. 15. Lunedì 11 aprile. 2 ore Equazioni differenziali di ordine n, forma normale, il problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine, Teorema di esistenza ed unicità globale. Struttura dell integrale generale, con dimostrazione. L equazione omogenea, matrice wronskiana. L equazione non omogenea, metodo di variazione delle costanti. Esercizi. Cenni sul metodo di Frobenius per la soluzione delle equazioni differenziali, l equazione di Bessel. Riferimenti: [1] cap. 7 paragrafo 4.1 pg Martedì 12 aprile. 2 ore Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, equazione caratteristica, metodo di somiglianza. Esercizi. 17. Mercoledì 13 aprile. 2 ore Vibrazioni meccaniche. Esercizi. Equazioni differenziali lineari di ordine superiore al secondo. Riferimenti:[1] Tutto il capitolo 1 con gli esempi e gli esercizi. 18. Lunedì 18 aprile. 2 ore Esercizio sulle vibrazioni meccaniche. Matrici dimensione algebrica e geometrica di un autovalore. Autovalori regolari. Condizioni di diagonalizzabilità. Matrici simmetriche. 19. Martedì 19 aprile. 2 ore Prodotto scalare nel piano e nello spazio, in R 3 e R 3 e sue propietà. Prodotto scalare e ortogonalità, lunghezza e distanza. Prodotto scalare in R n e in spazi funzonali. Basi ortonormali. Cenni sulle forme quadratiche. 20. Mercoledì 20 aprile. 2 ore Equazioni parametriche e cartesiane di una retta nello spazio. Equazione di un piano per un punto e ortogonale a un vettore dato. Esercizi di preparazione al primo esonero. 21. Mercoledì 27 aprile. 2 ore Prodotto vettoriale nello spazio e in R 3. Prodotto misto. Equazione del piano per tre punti. Parallelismo e ortogonalità tra rette e tra piani. 22. Lunedì 2 maggio. 2 ore

5 Funzioni di variabile reale a valori vettoriali. Limiti, continuità, derivabilità e propietà. Definizioni e condizioni equivalenti. Vettore derivato, vettore tangente. Curve regolari. Sostegno, curve equivalenti. Orientazione. Esempi. 23. Martedì 3 maggio. 2 ore Integrali, lunghezza di una curva regolare, indipendenza di questa dalla parametrizzazione. Esercizi. Curve piane in forma cartesiana. 24. Mercoledì 4 maggio. 2 ore Primo esonero. 25. Lunedì 9 maggio. 2 ore Curve piane in forma polare. Forma del modulo del vettore derivato. Integrali di linea di prima specie, Teorema sulla indipendenza dell integrale di linea di prima specie dalla parametrizzazione, con dimostrazione. Il parametro arco. 26. Martedì 10 maggio. 1 ora Cenni sugli integrali di linea di seconda specie. Esercizi. Massa e baricentro di una curva. Riferimenti:[1] cap.2 paragrafi 1,2,3,4,5 con gli esempi e gli esercizi 27. Mercoledì 11 maggio. 2 ore Funzioni di due variabili a valori reali. Grafico e curve di livello. Limiti e continuità e teoremi associati. Esempi e controesempi. Calcolo di forme indeterminate con il passaggio alle coordinate polari. Topologia in R 2. Insiemi aperti chiusi, punti interni, esterni, di frontiera. 28. Martedì 17 maggio. 2 ore Teorema di Weirstrass. Insiemi connessi per archi. Teorema di esistenza degli zeri. Applicazione allo studio del segno di una funzione. Esercizi 29. Mercoledì 18 maggio. 2 ore Derivate parziali, gradiente. Differenziale, piano tangente. Teoremi sulle relazioni tra differenziabilità, derivabilità e continuità. Derivate direzionali e teoremi sulla formula del gradiente. Condizioni sufficienti per la differenziabilità. Algebra delle derivate e teoremi sulla derivazione delle funzioni composte. Esempi e controesempi. 30. Lunedì 23 maggio. 2 ore Gradiente di funzioni radiali. Ortogonalità del gradiente con la curve di livello. Gradiente e direzioni di massima e minima crescita. Teorema del valor medio. Caratterizzazione delle funzioni costanti in un insieme connesso. Esercizi. 31. Martedì 24 maggio. 2 ore

6 Estremi locali e punti critici. Punti di sella. Teorema di Fermat. Esempi e controesempi. Esercizi sulla ricerca dei punti critici. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Formula di Taylor con il resto di Peano del secondo ordine. Differenziale secondo, matrice hessiana. 32. Mercoledì 25 maggio. 2 ore Richiami sulle forme quadratiche e sulla loro classificazione. Classificazione nel caso di due variabili attraverso lo studio del segno del determinante della matrice hessiana, con dimostrazione. Classificazione con il test degli autovalori, con cenno di dimostrazione. Applicazione allo studio della natura dei punti critici. Esercizi. 33. Martedì 31 maggio. 1 ora Esercizi sulla ricerca dei massimi e minimi per funzioni definite in insiemi chiusi e limitati che sono chiusura di aperti. 34. Mercoledì 1 giugno. 2 ore Funzioni definite implicitamente. Teorema di Dini. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange con dimostrazione. Esempi ed esercizi. Riferimenti: [1] cap.3 paragrafi 1,2,3,4,5,6,8.1 con gli esempi e gli esercizi e cap.4 paragrafo Lunedì 6 giugno. 2 ore Equazioni differenziali alle derivate parziali: equazioni del trasposto, di Laplace, del calore e delle onde. Soluzioni radiali dell equazione di Laplace in dimensione n. Funzioni di più variabili reali a valori vettoriali. Continuità, derivabilità, differenziabilità. Matrice Jacobiana. Esempi: cambiamenti di variabile, superfici in forma parametrica. Campi scalari e vettoriali. Riferimenti: [1] cap.4 paragrafi 1,2, 36. Martedì 7 giugno. 1 ora Campi vettoriali in R 2. Campi conservativi, potenziale. Campi conservativi di classe C 1 : condizione necessaria con dimostrazione. Lavoro. Esempi ed esercizi. Lavoro di un campo conservativo con dimostrazione. Condizioni necessarie e sufficienti perché un campo sia conservativo, con dimostrazione. 37. Mercoledì 8 giugno. 2 ore Insiemi semplicemente connessi. Insiemi semplicemente connessi in R 2 e R 3. Condizioni sufficienti perché un campo sia conservativo. Esercizi. Campi vettoriali in R 3. Riferimenti: [1] cap.6 paragrafo 1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.7 con gli esempi e gli esercizi. 38. Martedì 14 giugno. 2 ore

7 Integrali doppi su rettangoli. Definizioni e teorema sulla integrabilità delle funzioni continue. Metodo di riduzione.integrali doppi su domini non rettangolari: definizione. Integrazione su insiemi semplici e regolari. 39. Mercoledì 15 giugno. 2 ore Integrali doppi. Metodo di riduzione. Metodo di cambiamento di variabili. Esercizi. 40. Giovedì 16 giugno. 2 ore Integrali generalizzati. Funzione Gaussiana. Integrali tripli, definizione. Integrazione per fili, per strati e per cambiamento di variabili. Formule di Gauss-Green nel piano. Riferimenti: [1] cap.5 paragrafo 1 con gli esempi e gli esercizi. Paragrafi 2 e Mercoledì 22 giugno. 2 ore Dimostrazione delle formule di Gauss-Green nel piano. Applicazioni: dimostrazione del Teorema sulla condizione sufficiente affinchè un campo sia conservativo, calcolo di aree. Cenni su area di una sperficie, integrali di superficie. Gradiente, rotore e divergenza e loro composizione. Cenni sui Teoremi del rotore e della divergenza. Analogie con il Teorema fondamentale del calcolo integrale. Esercizi. Riferimenti: [1] cap.6 paragrafo 2 con gli esempi e gli esercizi.

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