Vincenzo Ciancio Armando Ciancio. Metodi matematici per le applicazioni finanaziarie

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3 Vincenzo Ciancio Armando Ciancio Metodi matematici per le applicazioni finanaziarie

4 Copyright MMV ARACNE editrice S.r.l. via Raffaele Garofalo, 133 A/B Roma (06) ISBN I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: settembre 2005

5 Ad Armando Ciancio padre e nonno nostro Maestro di scienza e di vita.

6 Indice 1 I regimi finanziari Grandezze fondamentali Interesse e montante Sconto e valore attuale Equivalenza fra grandezze Interesse anticipato Interesse e capitalizzazione semplice Sconto razionale Capitalizzazione degli interessi Sconto commerciale e capitalizzazione iperbolica Capitalizzazione degli interessi in regime di sconto commerciale Interesse composto Sconto e valore attuale in regime di capitalizzazione composta Tasso nominale di interesse Tasso nominale di sconto Forza di interesse Le rendite Rendite costanti temporanee Rendita unitaria, annua, posticipata, immediata di durata nanni Valore attuale di una rendita unitaria annua posticipata di durata n anni e differita di t anni Rendita unitaria annua anticipata immediata di durata n-anni Rendita unitaria annua frazionata in m rate uguali posticipate e di durata n-anni Rendita unitaria annua frazionata in m rate uguali anticipate e di durata n-anni Valore attuale di n annualitá unitarie differite di t anni e ciascuna frazionata in m rate uguali anticipate (n m rate complessive Rendite perpetue costanti Valore attuale di una rendita perpetua unitaria annua posticipata immediata Valore attuale di una rendita perpetua unitaria annua anticipata immediata

7 2.2.3 Valore attuale di una rendita perpetua unitaria annua posticipata, differita di t anni Valore attuale di una rendita perpetua unitaria annua posticipata, frazionata in m rate uguali posticipate Valore attuale di una rendita perpetua unitaria annua, frazionata in m rate uguali anticipate Rendite continue costanti Rendita continua unitaria annua immediata di durata n anni Valore attuale di una rendita continua costante unitaria annua, di durata n anni e differita di t anni Rendite a rata variabile Rendita con rate in progressione aritmetica Rendita con rate in progressione geometrica L ammortamento di un prestito Il piano di rimborso Prestito di un capitale rimborsabile a scadenza Ammortamento a rate costanti (francese) Ammortamento a quote capitale costanti (uniforme o italiano) Ammortamento con interessi anticipati (tedesco) Ammortamento con quote capitale in piani di accumulo (americano) Valutazione di operazioni finanzarie Criteri di scelta Risultato Economico Attualizzato (REA) Tasso interno di rendimento (TIR) Modello dei dividendi di Gordon Variabili casuali ed applicazioni alla teoria del portafoglio Variabili casuali Valore medio Varianza e scarto quadratico medio o deviazione standard Applicazioni alla finanza Variabili casuali doppie o bivariate Relazioni statistiche Interpolazione lineare Regressione Coefficiente di correlazione lineare Una applicazione: portafoglio a minimo rischio Caso di due titoli Caso di R AB = Caso di R AB = Caso di R AB = Caso di n titoli

8 A Elementi di calcolo delle probabilità. 71 A.1 Fenomeni deterministici ed aleatori A.2 Definizione classica di probabilità A.3 Probabilità frequentistica A.4 Spazio campionaro ed evento A.5 Definizione di probabilità A.6 Spazio campionario con punti equiprobabili A.7 Spazio campionario con punti non equiprobabili A.8 Probabilità condizionata e indipendenza

9 Il libro raccoglie, in maniera sistematica, il ciclo di lezioni ed esercitazioni tenuto dagli Autori, in questi ultimi anni accademici, nel corso di laurea triennale in Matematica. La semplicità dell algoritmo usato rende l esposizione degli argomenti abbastanza comprensibili anche per non esperti in tecniche di calcolo matematico. E stata inclusa una appendice dedicata al richiamo di alcuni concetti fondamentali di Calcolo delle Probabilità di importanza, ormai, essenziale nello studio di varie discipline applicative.

10 Capitolo 1 I regimi finanziari 1.1 Capitolo Grandezze 1fondamentali. Come in ogni modellizzazione matematica di fenomeni fisici, biologici etc. anche nello studio di problematiche relative ad operazioni finanziarie è necessario introdurre alcune grandezze I regimi fondamentali nanziari. che stanno alla base del modello studiato e di stabilire la loro interdipendenza mediante considerazioni di carattere generale. In questa sezione saranno definiti i concetti di montante (M), interesse (I), sconto (S) e valore attuale (V a ) per poi analizzare le leggi particolari che caratterizzano i c1 cosiddetti 1.1 regimi Grandezze finanziari. fondamentali Interesse Interesse e montante. e c1s1 In una operazione In una operazione di investimento di investimento un soggetto un soggetto rinuncia, rinuncia, al tempo al tempo t 0, tad 0,adun capitale C capitale C per recuperare, in un tempo successivo t per recuperare, in un tempo successivo t 1, una somma 1, una somma M (montante M (montante di C nel periodo di C nel periodo t 0 t 1 ). La dierenza t 0, t 1 ). La differenza I = M ; C (1.1.1) (1.1.1) eq1.1 è detta e interesse detta interesse prodotto prodotto dall investimento. dall'investimento. I!C M Figura 1.1: Capitale (C), interesse (I) emontante (M ) Figura 1.1: Capitale (C), interesse (I) e montante (M). Il rapporto Il rapporto i = I C i = I C 9 prende il nome di tasso di interesse mentre r = M C fig1.1 (1.1.2) eq1.2 (1.1.2) (1.1.3) 11

11 12 Capitolo 1 si chiama fattore di capitalizzazione. Dalle (1.1.2) e (1.1.3) segue I = Ci (1.1.4) M = Cr (1.1.5) ossia, l interesse I ed il montante M sono entrambi proporzionali al capitale C l uno secondo il tasso di interesse e l altro secondo il fattore di capitalizzazione. Dalla (1.1.1), in virtù della (1.1.4) segue: M = I + C = C(1 + i) (1.1.6) Risulta evidente [vedi (1.1.4) e (1.1.5)] che i (tasso di interesse) ed r (fattore di capitalizzazione) sono rispettivamente l interesse ed il montante prodotti da un capitale unitario (C = 1) nell intervallo temporale (t 0, t 1 ). Dal confronto della (1.1.5) con la (1.1.6) si ha: Sconto e valore attuale r = (1 + i) (1.1.7) Una operazione, che può essere riguardata come simmetrica di quella descritta nel paragrafo 1.1.1, è quella di sconto. Si pensi ad un operatore ha la certezza della disponibiltà, al tempo t 1, di un certo capitale K e desidera realizzare, al tempo t 0 < t 1, questo suo credito anche rinunciando ad una parte del capitale. Questa operazione è detta di sconto o di attualizzazione e rappresenta il costo che l operatore deve pagare per avere immediata disponibilità del suo credito. Indicando con V a la somma realizzata, la differenza S = K V a (1.1.8) è lo sconto subito mentre la somma V a è chiamata valore attuale del capitale K. Capitolo 1 11 S "V a K fig1.2 Figura 1.2: Valore attuale (V a ), sconto (S) e capitale (K) Valore attuale (V a), sconto (S) e capitale (K). Figura 1.2: Il rapporto Il rapporto s = S s = K S prende il nome di tasso di sconto mentre K prende il nome di tasso di sconto mentre = V a K ν = V a si chiama fattore di sconto o di anticipazione. K Ne segue che (1.1.9) eq2.2 (1.1.9) (1.1.10) eq2.3 (1.1.10) S = Ks (1.1.11) eq2.4 V a = K (1.1.12) eq2.5