PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (21 gennaio 2011)

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1 PRV SRITT DI MENI RZINLE (21 gennaio 2011) Il sistema in figura, posto in un piano verticale, è costituito di un asta rigida omogenea (massa m, lunghezza 2l) i cui estremi sono vincolati a scorrere, senza attrito, sugli assi del riferimento cartesiano ortogonale. Un punto P (massa m) è vincolato a muoversi lungo l asta senza uscirne. Sul sistema agiscono, oltre alle forze peso, la forza elastica di costante k = mg/l rappresentata in figura e una coppia di momento M = 4mgl cos k, (k : vers z) agente sull asta. Supposti i vincoli ideali e introdotte le coordinate lagrangiane ξ e indicate in figura, si chiede: 1) Determinare le configurazioni di equilibrio ordinarie e di confine del sistema e studiare, poi, la stabilità di quelle ordinarie; 2) Ritrovare, usando le equazioni cardinali della statica, le configurazioni di equilibrio ordinarie e calcolare le reazioni vincolari; 3) Scrivere la funzione lagrangiana L del sistema ed integrare le equazioni linearizzate del moto intorno alla posizione di equilibrio stabile. Domanda facoltativa: alcolare la velocità relativa e la velocità di trascinamento del punto P. k i P ξ

2 PRV SRITT DI MENI RZINLE (3 febbraio 2011) Il sistema in figura, posto in un piano verticale, è costituito di un asta rigida omogenea (massa m, lunghezza l) incernierata nel suo estremo (0, 0). Sull asta agisce, oltre alla forza peso, la forza elastica generata da una molla ideale di costante k = mg/l che collega l estremo dell asta al punto (0, l). Supposti i vincoli ideali e introdotta la coordinata lagrangiana indicata in figura, si chiede: 1) Determinare i semiassi dell ellissoide centrale d inerzia dell asta; 2) Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema e studiarne la stabilità. 2) Supponendo poi che [0, π], studiare l eventuale equilibrio delle configurazioni di confine; 3) Ritrovare le configurazioni di equilibrio usando le equazioni cardinali della statica e calcolare la reazione vincolare che si esercita nella cerniera sia all equilibrio che in condizioni dinamiche; 4) Scrivere l equazione di Lagrange del moto e, successivamente, integrare l equazione linearizzata del moto nell intorno della posizione di equilibrio stabile.

3 PRV SRITT DI MENI RZINLE (16 aprile 2011) Il sistema in figura, posto in un piano verticale, è costituito di un asta rigida omogenea (massa m, lunghezza l) i cui estremi sono vincolati a scorrere, senza attrito, sugli assi del riferimento cartesiano ortogonale. Sull asta agiscono, oltre alla forza peso, la forza costante F = F i (i: vers ) applicata nel punto e la coppia di momento M = F l cos k (k : vers z). 2 Supposti i vincoli ideali e introdotta la coordinata lagrangiana indicata in figura, si chiede: 1) Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema e le reazioni vincolari usando le equazioni cardinali della statica. Studiare, poi, la stabilità di tali configurazioni; 2) Scrivere l espressione del lavoro virtuale delle forze attive e utilizzarla per ritrovare le posizioni di equilibrio già determinate nella domanda precedente; 3) Scrivere l equazione differenziale del moto del sistema usando le equazioni cardinali della dinamica. Determinare le reazioni vincolari che si esplicano in condizioni dinamiche. Supposto, ora, che il piano del sistema ruoti con velocità angolare costante ω intorno all asse verticale, 4) calcolare il risultante del sistema delle forze centrifughe, il suo punto di applicazione e il potenziale centrifugo. M P k i F

4 PRV SRITT DI MENI RZINLE (6 luglio 2011) Il sistema in figura, mobile in un piano verticale, è costituito di un disco omogeneo D (massa m, raggio R) che rotola senza strisciare sulla retta inclinata di un angolo α = π/3 rispetto all orizzontale. Il disco è vincolato a non oltrepassare due pareti perpendicolari alla retta (con = R; = πr + R). ltre alla forza peso, è applicata al disco una coppia di momento M = a sin k (a R, k= vers z). ssunto come parametro lagrangiano l angolo rappresentato in figura (per = 0 sia o coincidente con ) e introdotto il parametro adimensionale λ = 3mgR/a si chiede: 1) Determinare, in funzione di λ, le configurazioni di equilibrio ordinarie e di confine esaminando la stabilità delle prime. Verificare che, per l esistenza delle posizioni di equilibrio, deve essere a > 0; 2) Ritrovare, usando le equazioni cardinali della statica, le configurazioni di equilibrio già determinate nella domanda precedente; 3) Rappresentare graficamente, nel caso λ = 1, l energia potenziale V (= U) del sistema e determinare, usando tale grafico, le posizioni di equilibrio e la loro stabilità; 4) Scrivere l equazione del moto di Lagrange; 5) Riottenere, usando le equazioni cardinali della dinamica, l equazione differenziale del moto. i 0 G mg D α = π/3

5 PRV SRITT DI MENI RZINLE (9 settembre 2011) Il sistema rappresentato in figura, mobile in un piano verticale, è costituito di un disco circolare pesante omogeneo D (massa M, raggio R) che rotola senza strisciare sulla guida verticale e di un punto materiale pesante P (massa m) vincolato a muoversi lungo l asse. Il punto P e il centro G del disco sono collegati da una molla ideale di costante elastica k(> 0) e di lunghezza a riposo supposta trascurabile. Il punto P è anche soggetto alla forza elastica F = kp (k > 0) essendo un punto fisso dell asse tale che = 4R. Si assumano come parametri lagrangiani P e G rappresentati in figura. 1) Supponiamo, dapprima, che sul punto P agisca, oltre alle forze già descritte nel testo, una forza di attrito coulombiano (con coefficiente di attrito statico f s ). In tale situazione, si chiede di determinare le configurazioni di equilibrio del sistema e le reazioni vincolari che si esercitano in P e in. D ora innanzi, trascuriamo la forza di attrito e supponiamo ideali tutti i vincoli agenti sul sistema. In tali condizioni si chiede: 2) Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema e calcolare le reazioni vincolari in P e confrontando i risultati con quelli ottenuti nella domanda precedente. Discutere la stabilità delle posizioni di equilibrio trovate; 3) Ricavare le equazioni differenziali del moto sia usando le equazioni cardinali della dinamica che il metodo lagrangiano. Integrare, poi, le equazioni differenziali ottenute; 4) Individuare eventuali integrali primi del moto del sistema. k i =4R P P(m) G G Mg D(M)

6 PRV SRITT DI MENI RZINLE (11 gennaio 2012) Il sistema in figura, mobile nel piano verticale, è costituito di un asta rigida di massa trascurabile e lunghezza 2l, il cui centro è vincolato a muoversi, senza attrito, lungo l asse e alla cui estremità è saldato un punto materiale di massa m. ltre alla forza peso agisce sul sistema la forza elastica F e = kh (k > 0) dovuta all azione di una molla ideale che si mantiene sempre orizzontale (vedi figura). Introdotti i parametri lagrangiani (ascissa del punto ) e rappresentati in figura, si chiede: 1) Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema studiandone, poi, la stabilità; 2) Ritrovare, usando le equazioni cardinali della statica, le posizioni di equilibrio e calcolare la reazione vincolare che si esercita in sia in condizioni statiche che dinamiche; 3) Ricavare le equazioni differenziali di Lagrange del moto; 4) Supposto, ora, che sul sistema non agisca la forza elastica si chiede di determinare eventuali integrali primi del moto e di interpretarli fisicamente. H l i l (m)

7 PRV SRITT DI MENI RZINLE (8 febbraio 2012) Il sistema in figura, posto in un piano verticale, è costituito di una struttura rigida a forma di T priva di massa e libera di ruotare intorno all origine del sistema di riferimento ( = a). Un punto materiale pesante P (massa m) è vincolato a muoversi, senza attrito, lungo il lato (lunghezza 2a) della struttura. Fra P ed il punto (punto medio di ) agisce una forza elastica derivante da una molla ideale di costante k (> 0). I vincoli sono supposti ideali. Utilizzando le variabili lagrangiane ρ e rappresentate in figura (vedi figura), si chiede: 1) Determinare, discutendole in funzione della costante elastica k, le configurazioni di equilibrio del sistema e studiarne la stabilità; 2) Ritrovare, usando le equazioni cardinali della statica, le configurazioni di equilibrio del sistema e calcolare la reazione vincolare che si esercita sul punto P in condizioni statiche. 3) Rappresentare la velocità relativa e di trascinamento del punto P e la sua energia cinetica. Ricavare, poi, le equazioni di Lagrange del moto. 4) Nel caso in cui sia k = 2mg/a, linearizzare le equazioni del moto intorno alla configurazione di equilibrio stabile. i n t a P a ρ a

8 PRV SRITT DI MENI RZINLE (16 giugno 2012) Il sistema in figura, mobile nel piano orizzontale, è formato da una circonferenza omogenea, pesante, di raggio r e massa m il cui punto del bordo è fissato in mediante una cerniera il cui asse è sovrapposto all asse z. ltre alla forza peso peso, agisce sul sistema una coppia di momento costante M = M k ( con M > 0 e k = vers z) e la forza elastica F e = kq (k > 0 e Q (0, r, 0)). Supposti i vincoli ideali e introdotto il parametro lagrangiano rappresentato in figura, si chiede: 1) Determinare, in funzione della costante elastica k, le configurazioni di equilibrio discutendone, poi, la stabilità. Ritrovare le posizioni di equilibrio usando le equazioni cardinali della statica; 2) Ricavare l equazione di Lagrange del moto; 3) Ricavare ed integrare l equazione linearizzata del moto intorno alla posizione di equilibrio stabile che si ha nel caso M = kr 2. Domanda facoltativa. Supponiamo che la circonferenza abbia uno spessore finito d e che il vincolo in sia realizzato tramite due punti fissi P 1 e P 2 assimilabili, rispettivamente, ad una cerniera fissa e ad un anellino liscio come in fig.b (si realizza in tal modo un corpo rigido con asse fisso...). Si chiede, in tale situazione, di determinare le reazioni vincolari Φ 1 e Φ 2 che si esercitano in condizioni statiche. z z P 2 Φ 2 fig. b Φ 1 d k P 1 Q (0, -r, 0) = M

9 PRV SRITT DI MENI RZINLE (5 luglio 2012) Nel piano verticale è mobile, intorno all asse orizzontale passante per, un corpo rigido a forma di T costituito di due aste uguali, pesanti, omogenee, ciascuna di massa m e lunghezza 2l saldate ortogonalmente nel punto. Nei punti e sono applicate due forze elastiche, sempre verticali, derivanti da molle di costante elastica εk (F = εk = -F ; ε 0, k > 0). Supposti i vincoli ideali, introdotto il parametro lagrangiano rappresentato in figura e il parametro adimensionale λ = mg kl R + si chiede: 1) Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema, discutendole in funzione del parametro λ, sia nel caso ε = 0 che nel caso ε > 0. Discutere poi, limitatamente al caso ε = 0, la stabilità delle configurazioni di equilibrio; 2) Determinare la reazione vincolare che si esercita in sia in condizioni statiche che dinamiche. Ritrovare, usando le equazioni cardinali della statica, le configurazioni di equilibrio; 3) Scrivere l equazione di Lagrange del moto sia nel caso ε > 0 che nel caso ε = 0. In quest ultima situazione studiare le piccole oscillazioni del sistema intorno alla posizione di equilibrio stabile. εk εk

10 PRV SRITT DI MENI RZINLE (10/11/2012) Il sistema rappresentato in figura, posto in un piano verticale, è costituito di un asta pesante omogenea (massa m, lunghezza 2l) il cui estremo è vincolato a scorrere senza attrito sull asse. gli estremi dell asta sono applicate forze elastiche, di eguale costante k, che si mantengono sempre orizzontali (vedi figura). Scelti come parametri lagrangiani l angolo tra l asta e la verticale e l ascissa = G del baricentro dell asta (vedi figura), si chiede: 1) Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema e studiarne la stabilità in funzione della costante elastica k; 2) Utilizzando le equazioni cardinali della statica ritrovare le configurazioni di equilibrio del sistema e determinare la reazione vincolare che si esercita nel punto ; 3) Ricavare le equazioni di Lagrange del moto; 4) Studiare le piccole oscillazioni intorno ad una delle configurazioni di equilibrio stabile che si hanno quando k > mg/2l. 0 G G