STATISTICA INFERENZIALE SCHEDA N. 2 INTERVALLI DI CONFIDENZA PER IL VALORE ATTESO E LA FREQUENZA

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1 Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte Resposabili scietifici M.P. Rogati e E. Sasso (Dipartimeto di Matematica Uiversità di Geova) STATISTICA INFERENZIALE SCHEDA N. 2 INTERVALLI DI CONFIDENZA PER IL VALORE ATTESO E LA FREQUENZA Nella scheda precedete abbiamo visto come si stima u parametro icogito di ua variabile aleatoria defiita su ua popolazioe; i particolare abbiamo cosiderato la cosiddetta stima putuale della media e della frequeza relativa, dove stima putuale sigifica forire u valore per il parametro, usado dati campioari. I questa scheda costruiremo u itervallo el quale ci aspettiamo stia il parametro da stimare co u elevato grado di fiducia. Questa fiducia è assegata i termii probabilistici e viee detta cofideza (co ua cattiva traduzioe dall iglese cofidece). U tale itervallo si dice itervallo di cofideza e la probabilità (che idicheremo co 1-α) assegata viee detta livello di sigificatività (o livello di cofideza). Usualmete si sceglie come livello di sigificatività il 95% o il 99%. 1. Itervalli di cofideza per il valore atteso Se si vuole stimare la media μ di ua variabile aleatoria X defiita su ua popolazioe tramite u campioe di umerosità fissata, allora si può scegliere come stimatore X. U esempio è la stima del prezzo medio di u litro di latte i Liguria. Qui la popolazioe è formata dai prezzi di tutti i litri di latte veduti i u determiato periodo i Liguria. Per determiare il prezzo medio l ISTAT (Istituto Nazioale di Statistica) effettua u campioameto su vari egozi della regioe, teedo coto della dislocazioe geografica, del tipo di distribuzioe (supermercato, egozio) e di altri fattori. Nella ostra idagie sui prezzi di alcui prodotti delle ostre zoe di resideza abbiamo effettuato u campioameto o molto rappresetativo: comuque utilizzeremo questi dati e poi li cofroteremo co quelli ufficiali. Ua stima putuale del valore atteso μ è data dal valore x assuto dalla variabile X el campioe. U itervallo di cofideza, a livello di sigificatività del 95%, è u itervallo aleatorio X δ, X + δ co δ scelto i modo tale che ( ) ( δ μ δ) P X < < X + = 0.95, ossia tale che la probabilità di sbagliare sia pari a α=0.05 e quidi bassa. La realizzazioe campioaria dell itervallo è: ( x δ, x + δ ) Come si calcola δ? Il calcolo dell itervallo di cofideza si basa sulla probabilità che la variabile aleatoria μ δ e μ δ P μ δ < X < μ + δ + : 0.95 = ( ) X sia compresa fra È quidi ecessario cooscere la distribuzioe di probabilità dello stimatore. Questo è possibile se si coosce la distribuzioe della variabile aleatoria X di parteza.

2 I particolare, se X ha distribuzioe ormale, ache X ha distribuzioe ormale co valore atteso μ e sappiamo calcolare δ i modo che: ( μ δ μ δ) P < X < + = 0.95 Questo valore di δ ci permette di trovare l itervallo di cofideza. Ifatti: P ( μ δ < X < μ + δ) = P ( X δ < μ < X + δ) e quidi: 0.95 = P ( X δ < μ < X + δ) che è proprio l itervallo di cofideza per μ a livello di sigificatività del 95%. 1.1 Caso X distribuzioe ormale co variaza ota Vediamo come calcolare effettivamete δ. Cosideriamo prima il caso i cui la distribuzioe di X sia ormale e la variaza sia ota. ESEMPIO: Si estrae u campioe di umerosità 100 da ua popolazioe co distribuzioe ormale co variaza σ 2 = 225 ota e valore atteso icogito μ. Vogliamo calcolare u itervallo di cofideza del valore atteso a livello di cofideza di 1-α=0.95 sapedo che la stima della media sul campioe è x = Abbiamo visto che lo stimatore X ha valore atteso μ σ = = Sappiamo, ioltre, che e variaza 100 Vogliamo determiare δ tale che ( μ δ μ δ) X ha acora distribuzioe ormale: X N( μ,2.25). P < X < + = 0.95 Per poter utilizzare le tavole della fuzioe di distribuzioe cumulata di ua variabile aleatoria Z ormale (0,1), stadardizziamo X : μ δ μ X μ μ + δ μ δ δ 0.95 = P ( μ δ < X < μ + δ) = P < < = P Z σ σ σ < < X X X Siccome il grafico della desità di probabilità di Z è simmetrico rispetto all asse verticale, la probabilità che Z sia compresa fra i due valori δ e δ è uguale a 1 meo la probabilità delle due parti estere (le cosiddette code ): P δ Z δ 1 P Z δ P Z δ 1 2P Z δ < < = < + > = <

3 Quidi: δ 0.95 = = 1 2P Z < δ = P Z < δ = P Z < δ Dalle tavole si ottiee che = 1.96, ossia δ=2.94, soddisfa le codizioi richieste. Ifie, sostituedo il valore umerico otteuto sul campioe, si ha che ( , ) = ( , ) è la realizzazioe dell itervallo di cofideza del valore atteso a livello Noi o sappiamo se il valore atteso di X ella popolazioe apparega o o effettivamete a questo itervallo. Se avessimo avuto u altra stima putuale per la media, proveiete da u altro campioe, avremmo avuto ache u diverso itervallo di cofideza. Fra tutti i possibili itervalli di cofideza costruiti i questo modo sulla base di tutti i possibili campioi, il 95% cotiee la media di X ella popolazioe e il 5% o la cotiee. Riassumiamo i coti fatti per determiare u itervallo di cofideza a livello 1-α per la media di ua variabile aleatoria co distribuzioe ormale di media μ icogita e variaza σ 2 ota: 1. Si utilizza come stimatore la media empirica X di u campioe di umerosità e si ricava la stima x. 2. Si cerca sulle tavole della ormale stadardizzata, il valore z α, tale che α P(Z < -z α )=1-. 2 σ σ 3. Si costruisce l itervallo aleatorio X zα, X + zα ; questo itervallo, che ha come estremi due variabili aleatorie, ha probabilità 1-α di coteere μ. 4. Si sostituisce il valore campioario x e si ottiee la realizzazioe umerica dell itervallo per il campioe otteuto. I formule: σ σ I= x zα, x + zα Riportiamo ella seguete tabella i valori di z α per alcui α: livello di cof. 90% 95% 99% α z α

4 1.2 Caso X distribuzioe ormale co variaza scoosciuta 2 Quado la variaza della variabile aleatoria X è scoosciuta, si stima usado lo stimatore o distorto S. La formula per calcolare l itervallo di cofideza per il valore atteso è leggermete differete: o si usa z α ma u altro valore che però è molto vicio a z α se la umerosità campioaria è molto grade (maggiore di 100); i queste schede oi useremo l approssimazioe: s s I = x zα, x + zα 1 dove s è la realizzazioe campioaria della stadard deviatio: s = ( x x ) 2 1 i = Caso X co distribuzioe qualsiasi e umerosità del campioe grade Cosa si può fare el caso i cui la variabile X o abbia desità ormale? I alcui casi è possibile calcolare i modo esplicito la distribuzioe degli stimatori. Nella maggior parte dei casi, però, si utilizza l approssimazioe ormale garatita dal Teorema del Limite Cetrale. Abbiamo, ifatti, visto che per sufficietemete grade la media campioaria X ha quasi ua distribuzioe ormale di media μ (pari a quella di X) e variaza σ 2 /. Quidi u itervallo di cofideza a livello 1-α per la media di ua variabile aleatoria co distribuzioe NON ormale di media μ icogita e variaza σ 2 ota sarà acora σ σ I = x zα, x + zα co, umerosità del campioe, grade. Resta da stabilire il sigificato di questa parola grade. Nella maggior parte dei casi ua umerosità campioaria superiore a 30 è cosiderata accettabile per poter applicare il Teorema del Limite Cetrale. Ricordiamo che i risultati soo approssimati e soo tato più precisi quato più alta è la umerosità campioaria. Ache i questo caso, se la variaza o è ota si stima utilizzado lo stimatore o distorto S 2 e l itervallo di cofideza è circa: s s I = x zα, x + zα ESEMPIO: Nel caso dei dati raccolti sul prezzo del latte, abbiamo: il prezzo medio campioario è x =1.34 euro la stadar deviatio campioaria è: s = 0.25 euro la umerosità campioaria è: 57 quidi s = i Tutti questi valori soo foriti direttamete da Miitab; il valore di s (cioè stadard error della variabile aleatoria Media campioaria). è idicato ella coloa SE MEAN Variable BENE N N* Mea SE Mea StDev Miimum Q1 Media Q3 Maximum PREZZO Latte

5 No sappiamo se la variabile aleatoria che modella il prezzo di u litro di latte abbia distribuzioe ormale, ma essedo la umerosità campioaria maggiore di 30 possiamo usare il Teorema del limite cetrale e trovare u itervallo di cofideza approssimato. Se scegliamo α = 0.05, la realizzazioe campioaria dell itervallo di cofideza per il prezzo medio di u litro di latte è: s s x zα, x + zα = ( x , x ) = (1.28, 1.41) Se scegliamo α = 0.01, la realizzazioe campioaria dell itervallo di cofideza per il prezzo medio di u litro di latte è: s s x zα, x + zα = ( x , x ) = (1.25, 1.43) È meglio u itervallo di cofideza a livello di sigificatività del 95% o del 99%? Sicuramete co u itervallo di cofideza a livello di sigificatività del 99% la probabilità di errore è più piccola rispetto a quella co u itervallo al 95%. Ma el primo caso l ampiezza dell itervallo è più grade: quello che si guadaga i precisioe si perde i ampiezza. Nell esempio precedete: al 95% si ha δ = 6 cetesimi di euro al 95% si ha δ = 9 cetesimi di euro ESERCIZIO Calcolare la realizzazioe campioaria di u itervallo di cofideza del prezzo medio degli altri bei raccolti Variable BENE N N* Mea SE Mea StDev Miimum Q1 Media Q3 Maximum PREZZO Bezia CD DVD Gasolio Olio Itervalli di cofideza per la frequeza p Nella scheda precedete abbiamo visto che uo stimatore per la frequeza di ua variabile aleatoria dicotomica è dato da ˆ X1 + + X P = dove ciascua delle variabili aleatorie X 1,, X vale 1 (co probabilità p) oppure 0 (co probabilità 1-p) a secoda che si ottega u successo o u isuccesso. Abbiamo già visto che E( ˆP )=p e Var( ˆP )= p(1 - p). Se abbiamo u campioe di umerosità elevato possiamo approssimare la distribuzioe di ˆP co quella ormale: (1 - ) P N p, p p. Ache la variaza è icogita perché dipedete acora dal parametro p, ma si può stimare a partire dalla stima ˆp del parametro p. Uo stimatore o distorto per Var( ˆP ) è ˆ 2 P(1 ˆ P) S ˆ = P 1 U itervallo di cofideza per p a livello di sigificatività 1-α è quidi

6 ˆ(1 ˆ) ˆ(1 ˆ) I= ˆ p p, ˆ p p z p z p α + α. 1 1 ESEMPIO: Ua popolazioe di aimali è composta da ua razza co il pelo uiforme e da ua co il pelo striato. Si osservao 100 aimali e si ota che 70 di questi hao il pelo striato. Vogliamo calcolare u itervallo di cofideza a livello del 99% per la popolazioe di aimali dal pelo striato. Utilizziamo le formule precedeti scegliedo =100, pˆ = 0. 70, α=0.01, z α =2.58. Sostituedo otteiamo che la realizzazioe dell itervallo di cofideza per p è: 0.7x x0.3 I = , = (0.58,0.82)

7 ESERCIZIO SU: Campioameto Teorema del limite cetrale Itervalli di cofideza Si vuole stimare la media di ua gradezza i ua popolazioe di 500 uità. Si modella il feomeo co ua variabile aleatoria X Si vuole stimare la media μ X della variabile X ella popolazioe, sapedo che la stadard deviatio di X è: std( X ) =

8 1) Ciascuo studete estragga dalla popolazioe 5 campioi casuali semplici di umerosità 20 utilizzado i umeri casuali riportati ella pagia seguete. (Campioe casuale semplice: estratto co ripetizioe da distribuzioe uiforme) La variabile X ella popolazioe ha ua distribuzioe a campaa ; quidi per campioi di 20 uità sperimetali la distribuzioe della variabile aleatoria X 20 può essere approssimata co quella di ua variabile aleatoria ormale. (Nota: i geere si effettua tale approssimazioe per umerosità maggiori di 30). Frequecy Histogram of X Normal Uità sperim. Campioe 1 Campioe 2 Campioe 3 Campioe 4 Campioe ) Scrivere la formula per l itervallo di cofideza per X μ a livello di sigificatività del 95%, quado la variaza è ota.

9 3) Per ciascu campioe estratto calcolare la media campioaria e l itervallo di cofideza al 95% per μ. Usare 5 cifre dopo la virgola X x 20 semiampiezza itervallo limite siistro limite destro 4) Quado tutti gli studeti hao termiato verrà forito il valore vero di μ X e si verificherà quati itervalli calcolati co la formula usuale cotegoo effettivamete μ X. Quati itervalli si prevede cotegao μ X?

10 Per campioare. Qui sotto, per ciascuo studete, soo forite 5 coloe co 20 umeri casuali fra 1 e 500 (umerosità della popolazioe) estratti co ripetizioe. Come utilizzare questi umeri. Il primo umero casuale del primo studete 396. Quidi deve cosiderare il valore di X per la 396-esima uità sperimetale. Quale valore assume la variabile X per 396-esima uità campioaria? È scritto ella tabella dei dati della popolazioe ella riga 39-esima e ella coloa 6: è 73.7 Se il umero è di ua sola cifra, ad esempio 4, si cerca il valore presete alla riga 0 e alla coloa 4, cioè Se il umero è di due cifre, del tipo 40, si cerca il valore alla riga 30 e alla coloa

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13 ESERCIZI 1) Da 400 laci di ua moeta soo risultati 175 esiti testa e 225 esiti croce. a) Trovare u itervallo di cofideza al 90% per la probabilità di esito testa. b) Trovare u itervallo di cofideza al 99% per la probabilità di esito testa. c) Questa moeta sembra truccata? Giustificare la risposta. 2) Spiegare, evetualmete co u esempio, perché l itervallo di cofideza di u parametro può o coteere il parametro che si vuole stimare. 3) Si voglioo effettuare stime per la quatità di sostaza attiva i ua uità di u certo farmaco (espressa i mg). Si può ipotizzare che la variabile casuale X che rappreseta la quatità di sostaza attiva abbia distribuzioe ormale. A tal fie si effettua u campioameto casuale di 100 uità del farmaco. Per questo campioe si ottiee: 2 x i = e x i = i = 1 Calcolare ua stima putuale e u itervallo di cofideza a livello di sigificatività del 99% per la media di sostaza attiva del farmaco. 4) Dai dati del cesimeto del 1991 risulta che il umero di abitazioi di ua città è e che la media dell epoca di costruzioe delle abitazioi è 1815 e lo scarto quadratico medio è 50 ai. Uo statistico calcola l itervallo di cofideza per la media dell epoca di costruzioe al 95%. Commetare. 5) Si determia l ampiezza 2δ di u itervallo di cofideza a livello fissato 1-α per la media di ua variabile aleatoria ormale di variaza ota, sulla base di u campioe di umerosità. Quato umeroso deve essere il campioe se si vuole che l itervallo risultate, co lo allo stesso livello, abbia ampiezza pari ad u terzo di quello che si ottiee co u campioe di umerosità? 6) Sia X ua variabili aleatorie di Beroulli di parametro p, siao X 1,, X le variabili aleatorie campioarie e sia P lo stimatore di p. a) Scrivere (i fuzioe di, p ) la semiampiezza δ dell itervallo di cofideza per p a livello di sigificatività del 95%. b) Per quale valore di p la semiampiezza δ è massima? c) Come deve essere scelto affiché la semiampiezza δ sia miore o uguale a 0.05? 7) Sia X ua variabile aleatoria co distribuzioe ormale di media μ e variaza σ 2 etrambe scoosciute. Per stimare il parametro μ si effettua u campioameto di umerosità 16. Si idichi co I α 16 la realizzazioe campioaria dell itervallo di cofideza per μ a livello di sigificatività fissato 1 α. Si amplia il campioe percedete di altre 9 uità (otteedo u campioe totale di 25 elemeti); si idichi co I α 25 la realizzazioe campioaria dell itervallo di cofideza per μ el campioe totale allo stesso livello di sigificatività. Dire se le segueti relazioi soo vere, false o se o si può affermare é ua cosa é l altra: α α α α α α α α a) I 16 I 25 b) I 16 I 25 c) I 16 I 25 = d) I 16 I 25 8) Sia X ua variabile aleatoria co distribuzioe ormale di media scoosciuta e variaza ota. Idichiamo co (A, B) l itervallo di cofideza per la media calcolato su u campioe di elemeti. È vero che A e B soo variabili aleatorie? 9) Sia X ua variabile aleatoria co distribuzioe ormale di media μ e variaza 2 σ etrambe scoosciute. Sulla base di u campioe di umerosità si calcola u itervallo di cofideza per μ al i = 1

14 livello del 95%. Esite u itervallo di cofideza per μ, allo stesso livello, su u campioe di uguale umerosità co ampiezza miore del precedete? 10) Uo scieziato sostiee che il 9% delle stelle ammette u sistema plaetario. a) Determiare la probabilità che su 1000 stelle almeo 100 abbiao u sistema plaetario, secodo le ipotesi dello scieziato. b) Sulle 80 stelle più vicie alla terra se e soo trovate 3 co u sistema plaetario. Si calcoli u itervallo di cofideza a livello del 5% per la frequeza relativa delle stelle vicie alla terra co sistema plaetario. 11) A parità di altre codizioi (umerosità campioaria,...) è vero che l ampiezza dell itervallo di cofideza per il valore atteso è tato maggiore quato è miore il livello 1-α? Giustificare la risposta. 12) Sia X ua variabile aleatoria di legge ormale. Si effettua u campioameto di umerosità 10 e si ottegoo i segueti valori campioari: a) Calcolare u itervallo di cofideza per la media a livello di sigificatività 0.90 b) Suppoedo che la variaza sia ota e pari a 2, idicare la miima umerosità campioaria affiché l ampiezza dell itervallo di cofideza sia miore o uguale a 1, mateedo lo stesso livello di sigificatività.