Programma dettagliato a.a , Meccanica:

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1 Programma dettagliato a.a , Meccanica: 1) Insiemi numerici e possibilità di eseguire sempre le operazioni (N, Z Q e R, con cenno a C e rappresentazione vettoriale dei numeri complessi). Operazioni commutative. Significato di funzione y=f(x). Funzioni di uso comune (polinomi, esponenziale, logaritmo, sen,cos, tan). Concetto di limite. Pendenza di una curva, rapporto incrementale e significato di derivata, calcolo delle derivate di X e X 2 direttamente dalla definizione. Concetto di integrale come somma di infinitesimi e area sottesa da f(x). Calcolo integrale e differenziale applicato a funzioni X n, trigonometriche (sen, cos, tan) e esponenziale, funzione di funzione. Cenno alle funzioni di più variabili e alla derivate parziali, gradiente e operatore nabla. 2) Sistemi di equazioni 2x2 e regola di Kramer, estensione a 3x3, matrici e determinanti, trasposta. Vettori in 2 e 3 dimensioni, modulo direzione e verso, operazioni tra vettori: prodotto scalare calcolato in modo sintetico ( a b cos) e analitico (Σa i b i ), prodotto vettoriale calcolato in modo sintetico ( a b sen) che analitico (det(ijk a i b i )), regola mano destra, non commutatività, cenno al doppio prodotto vettoriale e al prodotto tensoriale. Cenno al prodotto righe per colonne e differenza tra il prodotto di un vettore con una scalare ed una matrice (la direzione può cambiare). 3) Coordinate e sistemi di riferimento (destrorsi), componenti di un vettore calcolate tramite prodotto scalare, area di un parallelogramma calcolato tramite prodotto vettoriale,orientazione di una superficie e concetto vettoriale di superficie, vettore normale, versore di un vettore. Integrali per f(x) negativa e significato come orientazione dell area,orientazione del bordo dell area oraria e antioraria. 4) Grandezze fisiche e definizione operativa, sistema internazionale e grandezze fondamentali, multipli e sottomultipli di una grandezza. Analisi dimensionale di alcune grandezze partendo dalla loro espressione (velocità, forza, energia). Adimensionalità dei versori. 5) Vettori posizione e spostamento. Velocita' media e istantanea, proprieta' geometrica della velocita' (tangente traiettoria), accelerazione media e istantanea, direzione del vettore accelerazione per una triaettoria curva. Tipi di moto: moto rettilineo uniforme, moto uniformemente accelerato (1D), moto circolare uniforme. 6) Moto unidimensionale ad accelerazione costante, integrazione dall'accelerazione per arrivare alla posizione, costanti di integrazione (velocità e posizione iniziale). Formule cinematiche per il moto ad accelerazione costante. 7) Moto circolare: posizione su una circonferenza centrata nell origine, velocità ed accelerazione, versore radiale e tangenziale, componenti dell'accelerazione (tangenziale e radiale (o centripeta)). 8) Definizione di radiante, vettore velocita angolare omega, grandezze moto circolare:angolo,velocita angolare, accelerazione angolare, legame tra accelerazione angolare e accelerazione tangenziale. Vettore velocita angolare e suo legame con vettore posizione e vettore velocita. Direzione dell accelerazione per un moto curvilineo generico, cerchio osculatore. 9) Sistemi di riferimento in moto, relativita' galileana, velocita di trascinamento. Sistemi di riferimento in moto accelerato (non uguaglianza delle accelerazioni), le 3 leggi di Newton della dinamica per il punto materiale, significato della prima legge e sistemi inerziali e non inerziali (presenza di forze fittizie e modifica della seconda legge).

2 10) Forze di attrito radente (attrito statico e dinamico), modello microscopico dell attrito, forza di reazione del piano.forza di gravità e cenno alle forze fondamentali: forza nucleare forte, nucleare debole, elettromagnetica, e gravitazionale. Forze centrali, concetto di campo, campo gravitazionale, accelerazione di gravità e peso, attrito viscoso. 11) Forza elastica, molla ideale, equazione del moto armonico e sue soluzioni, legame tra moto armonico e moto circolare (velocita angolare e pulsazione, periodo, frequenza). Vincoli cinematici: fune ideale (massa nulla e e inestendibile), tensione, tensione agli estremi, carrucola ideale (massa nulla). 12) Lavoro di una forza, dimostrazione del teorema dell'energia cinetica (o delle forze vive). Casi particolari del lavoro di una forza (forza costante, traiettoria rettilinea). Definizione di potenza. 13) Definizione di circuitazione. Forze conservative, energia potenziale, calcolo dell energia potenziale per il caso gravitazionale generale e particolare (U=mgh) e per la molla, calcolo della forza a partire dall energia potenziale anche nel caso 3D, energia meccanica totale. Conservazione dell'energia. 14) Urti tra 2 corpi, definizione della quantita di moto, conservazione della quantita di moto totale in sistemi isolati, approssimazione impulsiva, impulso di una forza, teorema dell impulso. Urti elastici ed anelastici, urti completamente anelastici. Sistemi di punti materiali. Centro di massa. 15) Corpi continui e centro di massa, densità. Simmetria dei corpi e posizione del centro di massa. Calcolo del centro di massa per corpi semplici. Forze interne, I a equazione cardinale dei sistemi. 16) Momento di una forza. Momento angolare. Polo per il calcolo dei momenti angolari. Legame tra momento di una forza e derivata del momento angolare. Polo in movimento. Momento per una coppia di forze e indipendenza dal polo. 17) Momento delle forze interne, II a equazione cardinale dei sistemi. Corpo rigido e calcolo del momento di inerzia (tensore o matrice di inerzia) a partire dal momento angolare. Cenni alle proprieta della matrice di inerzia, cenno agli autovalori di una matrice simmetrica e assi principali di inerzia. Esempio di due masse sbilanciate in rotazione collegate da una sbarra di massa trascurabile e significato dei termini fuori diagonale. Rotazione attorno ad un asse e riduzione della matrice di inerzia ad un solo valore. Teorema degli assi paralleli (di Steiner). Calcolo dei momenti di inerzia per la sbarra (1D) e per il disco (2D). Il giroscopio e analisi elementare della precessione. 18) Rotazione dei corpi rigidi attorno ad un asse fisso e scelta del polo. Lavoro per far ruotare un corpo (espresso in termini del momento di un forza). Teoremi di Konig: momento angolare intrinseco, energia traslazionale e rotazionale. Centro di massa, forza peso e suo momento. Moto di puro rotolamento. Statica di un corpo rigido. Urti con corpi rigidi vincolati e conservazione del momento angolare. 19) Moto di un corpo nella gravità terrestre. Traiettoria parabolica, altezza massima e gittata, accelerazione tangenziale e centripeta, cerchio osculatore. Traiettoria nel caso di grande distanza e curvatura della Terra. Leggi di Keplero e moto dei pianeti, spiegazione tramite la conservazione del momento angolare e le leggi di Newton. Cenno alle sezioni coniche. 20) Oscillazioni: equazione del moto per il pendolo semplice, soluzione per piccole oscillazioni, energia potenziale del pendolo semplice e approssimazione parabolica del potenziale (potenziale elastico), pulsazione e periodo di oscillazione; equazione per il pendolo fisico e soluzione per piccole oscillazioni, pulsazione e periodo di oscillazione. Cenno alle oscillazioni smorzate da attrito viscoso. Oscillazioni forzate e fenomeno della risonanza, importanza del fenomeno di risonanza per le

3 strutture. Due oscillatori armonici accoppiati, equazione di moto e scrittura tramite matrice dinamica simmetrica, frequenze proprie del sistema accoppiato come autovalori della matrice, cenno agli elementi finiti per il calcolo delle frequenze di strutture meccaniche. Programma dettagliato a.a , Elettromagnetismo: 1) Nozione di carica puntiforme. Cariche prodotte per sfregamento. Carica elettrica elementare, cariche positive e negative, cenno alla struttura atomica, materiali isolanti e conduttori. Conservazione della carica. Definizione di campo elettrico E a partire dalla forza di Coulomb tra cariche puntiformi. Carica di prova. Costante dielettrica del vuoto. Linee di forza di E. Principio di sovrapposizione. 2) Circuitazione come estensione del concetto di lavoro di una forza. Campi conservativi. Dimostrazione che il campo elettrostatico e' conservativo. Definizione di potenziale elettrico tra 2 punti. Potenziale di riferimento per cariche puntiformi. Calcolo di E per distribuzioni continue e densita' di carica di volume, superficie e lineare. 3) Calcolo di E per una linea di carica, per un anello e per un disco. Campo a grande distanza per una distrbuzione limitata nello spazio (campo simile a quello di una carica puntiforme). Distribuzione neutre e concetto di dipolo elettrico, calcolo del campo di un dipolo elettrico e approssimazione per grande distanza. Lavoro per ruotare un dipolo elettrico in un campo E uniforme ed energia di un dipolo elettrico. 4) Nozioni di flusso attraverso esempi sul moto di liquidi. Area come concetto vettoriale, orientazione della linea di bordo e definizione della normale ad una superficie. Definizione di flusso di un campo vettoriale. Flusso di E per una carica puntiforme. Concetto di flusso come numero di linee di forza che attraversano una superficie. Definizione di angolo solido. Dimostrazione del teorema di Gauss per una carica puntiforme ed estensione ad una distribuzione continua tramite il principio di sovrapposizione. Applicazione del teo. di Gauss per il calcolo di E per una distribuzione di carica piana infinita, sferica e cilindrica infinita, calcolo del potenziale elettrico per tali distribuzioni. 5) Materiali conduttori. Induzione elettrostatica. Equipotenzialita' di un conduttore in equilibrio elettrostatico e carica superficiale. Applicazione del teo. di Gauss per mostrare l'effetto di schermo di un corpo conduttore cavo. Campo di un conduttore piano infinito carico. Campo elettrico nelle immediate vicinanze della superficie di un conduttore. Effetto delle punte (calcolo per sfere conduttrici di diverso diametro connesse con filo conduttore). 6) relazione tra linee di forza e superfici equipotenziali, andamento del campo attorno ad una lastra piana finita, assemblaggio di un condensatore con due lastre piane (chiusura delle linee tra le armature ed effetti di bordo), condensatore ideale senza effetti di bordo, calcolo della capacita' di un condensatore ideale a facce piane e parallele, condensatore cilindrico e sferico, cenno alle modifiche in presenza di un dielettrico (polarizzazione per deformazione degli atomi e per orientamento delle molecole polari (ad es. acqua), costante dielettrica del mezzo, perdite nei dielettrici) e cenno alla scarica nei dielettrici (rigidita' dielettrica).

4 7) Carica di un condensatore come trasporto di cariche fra le armature, lavoro per trasportare le cariche, energia immagazzinata in un condensatore per generare il campo E, densita' di energia legata al campo elettrico. Forza per modificare la geometria di un condensatore o per introdurre un dielettrico (F=dU/dx). Circuiti, simbologia per condensatori. Collegamento a massa e cenno sulla capacita' della Terra e potenziale di riferimento. Equipotenzialita' dei fili di collegamento. Collegamenti in serie e parallelo di dispositivi. Condensatore equivalente per il parallelo e per la serie di condensatori. 8) Conduttore fuori dall'equilibrio elettrostatico, pile e generatori di tensione ideali. Definizione di corrente elettrica come flusso di cariche che passano attraverso una sezione di un filo per unita' di tempo, richiamo dell'introduzione sui fluidi per la portata in volume e in massa e per analogia introduzione della densita' di corrente J, flusso di J e definizione della corrente, conservazione della carica per il caso stazionario. Modello di un conduttore con libero cammino e collisioni con imperfezioni del reticolo, legge di Ohm microscopica, leggi di Ohm macroscopiche, resistenza e resistivita' di un materiale. 9) Resistore e simbologia del resistore. Resistori in serie e parallelo. Leggi di Kirchhoff alle maglie e ai nodi e loro derivazione dalle leggi di conservazione della carica e dalla circuitazione del campo E. Applicazioni delle leggi di Kirchhoff per la soluzione di circuiti complessi (verso di percorrenza delle correnti nei rami, differenze di potenziale delle resistenze, verso di percorrenza delle maglie). Potenza elettrica, legge di Joule. Circuiti RC: carica e scarica di un condensatore, soluzione dell'equazione per la carica e la scarica del condensatore, costante tempo RC, condizione di regime. 10) Fenomenologia dei magneti permanenti, poli magnetici Nord e Sud, forze tra magneti. Cenno all'ago magnetico e campo terrestre, definizione del campo magnetico B tramite ago magnetico e visualizzazione con limatura di ferro. Andamento simile del campo B attorno ad un magnete col campo di un dipolo elettrico. Indivisibilita' dei poli magnetici e non esistenza di cariche magnetiche: per mancanza sorgenti di B, il teo. di Gauss applicato a B (flusso di B attraverso superficie chiusa) fornisce zero. Principio di sovrapposizione come per il caso elettrico. 11) Azioni meccaniche del campo B su fili percorsi da corrente, forza sul singolo portatore di carica in moto, forza di Lorentz e definizione di B tramite la forza di Lorentz. Formula di Biot Savart per il campo generato da un elemento infinitesimo di corrente, campo B di un circuito filiforme, somiglianze e differenze con il campo E. Cenno alla formula generale del campo generato da una distribuzione di correnti definita da J. Cenno all effetto Hall e alla misura di B. 12) Calcolo del campo B lungo l'asse di una spira circolare e di un filo infinito. Azioni meccaniche tra 2 fili paralleli percorsi da correnti e definizione dell'ampere nel SI. Spira circolare e definizione di dipolo magnetico. Azioni meccaniche su una spira rettangolare e lavoro necessario a ruotare la spira (dipolo magnetico) in un campo B uniforme. Somiglianze e differenze qualitative fra il campo di un dipolo elettrico e di un dipolo magnetico (spira circolare) a piccola e a grande distanza. Cenno ai motori elettrici in corrente continua. 13) Calcolo della circuitazione di B attorno ad un filo infinito. Dimostrazione della legge di Ampere. Correnti concatenate e legame tra orientazione della linea della circuitazione (e quindi direzione della

5 normale all'area A che ha per bordo la linea) e direzione positiva della corrente (ricordarsi calcolo della corrente come flusso di J attraverso l'area A). Applicazione della legge di Ampere per il calcolo del campo B di un filo con spessore finito. Solenoide: andamento qualitativo del campo di un solenoide, campo del solenoide con spire ravvicinate e di lunghezza che tende all'infinito, solenoide ideale senza flusso disperso. Calcolo del campo di un solenoide ideale tramite la legge di Ampere. Campo di un toroide. 14) Induzione elettromagnetica con la fenomenologia per mostrare i vari modi in cui un flusso del campo magnetico puo' variare (movimento di un magnete nei pressi di una spira, due avvolgimenti accoppiati, rotazione di una spira in un campo uniforme, modifica della geometria di una spira, moto di un filo e flusso tagliato). F.e.m e legge di Faraday-Neumann e corrente nel circuito che si oppone alle variazioni (Legge di Lenz). Calcolo della f.e.m per una spira circolare in un campo B uniforme e variabile, campo elettrico tangenziale alla spira e sua circuitazione, differenza fra E generato da cariche e E indotto, campo E indotto non conservativo (legge di Maxwell della circuitazione di E in forma integrale completa, cioe' valida anche in condizioni non stazionarie). Campo E indotto nello spazio libero (senza presenza di circuiti). Cenno agli alternatori e alla produzione di energia elettrica in corrente alternata e ai trasformatori (linee alta tensione per ridurre effetto Joule, trasformazione a bassa tensione per le utenze casalinghe). 15) Contraddizioni nell'uso della legge di Ampere nella carica di un condensatore: calcolo della circuitazione di B su una linea piana che circonda il filo e flusso della corrente sulla superficie piana che ha per bordo tale linea (J diverso da zero su tale superficie), flusso della corrente su una superficie (aperta) che passa tra le armature del condensatore (J=0). Calcolo del legame tra carica e campo elettrico per un condensatore a facce piane a parallele (E=sigma/eps0, sigma=q/area), calcolo della corrente dalla carica e legame col flusso di E tra le armature, correzione di Maxwell alla legge di Ampere con la definizione della corrente di spostamento e validita' anche in condizioni non stazionarie. 16) Somiglianze tra il campo E e B (equazioni di Maxwell e densita' di energia), cariche elettriche e assenza dei monopoli magnetici, cenno alla generazione di campi B (variabili) dovuti a campi E variabili nel tempo e di campi E (variabili) dovuti a campi B variabili nel tempo da cui generazione di onde elettromagnetiche. 17) Corrente variabile in un solenoide e fenomeni di autoinduzione. Legame lineare tra flusso di B e corrente, coefficiente di autoinduzione per il solenoide, induttori ideali ed induttanza, simbolo circuitale. Lavoro per far circolare la corrente in un solenoide ed energia immagazzinata. Energia in un solenoide ideale,densita' di energia del campo B. Cenno alle modifiche di un solenoide quando viene riempito con un materiale: diamagnetico, paramagnetico e ferromagnetico, permeabilita' magnetica del materiale e difficoltà legate al valore che dipende da storia del materiale (isteresi)). 18) Circuiti RL: equazione alla maglia, soluzione dell'equazione e andamento della corrente partendo da i=0, costante tempo L/R, interruzione della corrente e soluzione dell'equazione. Cenno ai fenomeni di extracorrente di apertura e scarica sui contatti degli interruttori con carichi induttivi. Cenno agli induttori reali che presentano resistenza. Circuito LC: equazione alla maglia, analogia con l'oscillatore

6 armonico (energia elastica-> energia del condensatore, energia cinetica->energia dell'induttore) e equazione armonica, soluzione dell'equazione, oscillatore elettrico. Cenno al circuito RLC, al funzionamento in corrente alternata (effetti di risonanza), uso di valori complessi per risoluzione dei circuiti e introduzione delle reattanze capacitive e induttive.