Dr. Andrea Malizia Prof. Maria Guerrisi. Corsi di Laurea in Tecnici di Laboratorio Biomedico, Dietistica e Tecnici della Prevenzione.

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1 Dr. Andrea Malizia Prof. Maria Guerrisi 1 Lezione 4 Viscosità, pressione, vasi comunicanti Barometro di Torricelli Legge di Stevino Principio di Archimede Portata, Flusso, Corrente Equazione di Continuità

2 2 FLUIDI Comprendono i liquidi e i gas I fluidi possono fluire o scorrere, e quindi, a differenza dei solidi, non riescono a sostenere staticamente uno sforzo di taglio I liquidi, a differenza dei gas, sono essenzialmente incomprimibili, quindi la loro densità si può considerare (approssimativamente) costante La meccanica dei fluidi si divide in Statica Dinamica Lo studio concerne non solo i fluidi, ma anche i corpi immersi in essi o le pareti che li contengono

3 3 Fluidi Riguarderemo i fluidi come sistemi continui, caratterizzati da densità r e composti di elementi di massa dm e volume dv: In realtà la materia di cui sono fatti i fluidi ha struttura discreta, cioè è costituita di atomi e molecole Considerarli sistemi continui è un utile approssimazione I fluidi possono trasmettere sforzi: Nei liquidi grazie alle forze intermolecolari a corto raggio d azione Nei gas grazie alle collisioni tra le molecole che li costituiscono

4 4 VISCOSITÀ In un fluido in moto lo sforzo può trasmettersi anche perpendicolarmente alla direzione lungo cui è applicata la sollecitazione Questo è possibile grazie ad una grandezza fisica propria dei fluidi detta viscosità (e indicata con ) Quando c è scorrimento relativo tra due elementi di fluido, compaiono sull area di contatto forze tangenziali d attrito interno I due elementi esercitano l uno sull altro due forze uguali e contarie (3 principio)

5 5 Viscosità In un fluido in equilibrio statico non ci sono forze viscose, quindi le condizioni di equilibrio sono le stesse per fluidi viscosi e non viscosi Non esiste il corrispondente dell attrito statico: in assenza di moto (v=0) non c è attrito viscoso Per semplicità si considera spesso il caso ideale in cui la viscosità sia nulla e la densità sia uniforme (fluido ideale)

6 6 PRESSIONE In un intorno di un punto P qualunque di una superficie a contatto con un fluido, consideriamo una superficie infinitesima di area da Su di essa il fluido agisce con una forza df Definiamo (in termini differenziali) la pressione come forza per unità di superficie: La forza df, e quindi la pressione, possono variare da punto a punto della superficie, perciò abbiamo usato la definizione differenziale

7 7 Pressione TH: la forza esercitata da un fluido in equilibrio statico su una superficie è perpendicolare alla stessa, punto per punto DIM: se esistesse una componente parallela, il fluido scorrerebbe e non sarebbe in condizioni statiche

8 8 PRESSIONE In un fluido in equilibrio statico la pressione non dipende dalla giacitura della superficie su cui agisce Consideriamo un volume di fluido a forma di prisma, le cui sezioni con i piani verticali xz siano un triangolo rettangolo z y x z x y

9 Pressione Consideriamo la sezione contenente il CM del prisma (per simmetria è quella mediana) 9 Le risultanti delle forze di pressione sulle facce, F 1, F 2, F 3, siano applicate ai punti P 1, P 2, P 3 Il fluido è in equilibrio, usiamo la 1 a eq. cardinale F 1 z P 1 W CM x F 3 P 3 P 2 F 2 F 1 F 3 sin F 2 F 3 cos W

10 Pressione In termini di pressione: p 1 A 1 p 3 A 3 sin p 2 A 2 p 3 A 3 cos rvg Esprimendo le aree in funzione dei lati p z y p l y sin p 1 2 x y p E semplificando 3 3 p 1 P 1 p 3 P 3 l y cos F 1 z P 1 1 r x y zg 2 W l CM x P 3 F 2 F 3 P 2 10 p 2 P 2 p 3 P zrg

11 11 Pressione Se facciamo tendere le dimensioni del prisma a zero, mantenendo fisso il CM: E quindi la pressione non dipende dalla giacitura della superficie su cui agisce p 1 r CM p 2 r CM p 3 r CM p 3 r CM p 1 p 2 p 3

12 12 Legge di Stevino TH: in un fluido in equilibrio statico nel campo di gravità la pressione aumenta linearmente con la profondità DIM: sia dato un elemento cilindrico di fluido di volume V, base A e altezza z 2 -z 1 L equilibrio statico impone che la forza risultante sia nulla Nel piano xy questo è dovuto alla simmetria p(z 1 ) W p(z 2 ) z

13 13 Legge di Stevino Lungo z le forze di pressione e la forza peso devono bilanciarsi Detta r la densità del fluido p z 2 p z 1 W A p z 1 r V A g p z 1 r z 2 z 1 p z 1 A W p z 2 A Se le quote differiscono per un infinitesimo p z p z p rg z 2 1 Abbiamo cioè la versione differenziale della legge p rg z g

14 14 Legge di Pascal Orientiamo z verso il basso e poniamo come origine (z=0) la superficie limite del liquido, sia p 0 la pressione esterna agente su tale superficie, abbiamo p z p 0 rgz Ogni variazione della pressione esterna comporta un uguale cambiamento della pressione in ciascun punto del fluido

15 15 PRESSA IDRAULICA E` un applicazione della legge di Pascal E` formata da due contenitori idraulici a tenuta C 1 e C 2, collegati da un condotto e dotati di due pistoni scorrevoli di area A 1 e A 2 Applicando una forza F 1 sul pistone 1, la pressione in ogni punto del fluido aumenta di p F 1 A 1 Sul pistone 2 questo aumento di pressione si traduce in una forza F pa F A A1 F 2 F 1 A 2 C 2 C 1

16 Vasi comunicanti L altezza raggiunta da un liquido in vasi comunicanti e` uguale in tutti i vasi: h 1 =h 2 Il principio si dimostra con la legge di Stevino: la pressione sulla superficie libera è uguale per i diversi vasi, così come quella alla base Ne segue che la differenza di pressione è uguale per i diversi vasi, il che si traduce in un uguale altezza delle colonne di fluido p 1 rgh 1 p 2 rgh 2 16 h 1 h 2

17 17 PARADOSSO IDROSTATICO La pressione dipende solo dall altezza del fluido sovrastante e non dalla sua massa Quindi nei tre contenitori in figura, la pressione sul fondo e` la stessa, nonostante la massa del fluido sia diversa nei tre casi Ciò è dovuto al fatto che le pareti contribuiscono con una forza che si compone col peso del fluido Pressione all interno del contenitore

18 18 BAROMETRO DI TORRICELLI E` costituito da un tubo di vetro aperto ad un estremita` e riempito di mercurio e da una vaschetta contenente mercurio in cui capovolgere il tubo Esso servì a dimostrare per la prima volta che l atmosfera ha un peso ed è usato ancor oggi per misurare la pressione atmosferica (barometro di Fortin) La pressione esercitata dalla colonna di mercurio di altezza h e` bilanciata dalla pressione atmosferica agente sulla h superficie libera del mercurio nella p vaschetta rgh p

19 19 MANOMETRO A LIQUIDO E` costituito da un tubo a U riempito da un liquido di densita` nota r Serve per misurare una differenza di pressione (o pressione differenziale) p p 0 rgh

20 20 SUPERFICI ISOBARICHE Dalla legge di Stevino Vediamo che per z=costante la pressione è costante Ma z=costante rappresenta un piano orizzontale Superfici di questo tipo per cui la pressione è costante si dicono isobare

21 21 FORZA DI ARCHIMEDE Sia dato un corpo di peso M e densità r immerso in un fluido di densità r f Esiste una forza, detta di Archimede, che agisce sul corpo, uguale al peso del volume di fluido occupato dal corpo e diretta in direzione opposta al suo peso Il corpo sia delimitato da una superficie S Immaginiamo un secondo corpo, fluido, delimitato dalla stessa superficie S e costituito dello stesso fluido in cui è immerso S

22 22 FORZA DI ARCHIMEDE Poiché il fluido è in equilibrio, il corpo fluido è pure in equilibrio, questo significa che la sua forza peso W f è bilanciata dalla forza risultante A dovuta all azione della pressione del fluido esterno sulla superficie S, quindi A W f M f g Vr f g Ove V è il volume comune dei due corpi e M f è la massa del corpo fluido Ma la forza A dipende solo dalla superficie S e non da quello che essa contiene Ne segue che A agisce anche sul primo corpo A W 2 A W 1

23 23 Forza di Archimede La forza risultante è infine W A Mg M f g V r r f E ha verso uguale al peso (il corpo tenderà a scendere nel fluido) o opposto (tenderà a salire) a seconda del segno della differenza delle densità g

24 Forza di Archimede 24 Abbiamo visto che la forza di Archimede, bilanciando il peso del corpo fluido, è applicata nel suo CM Se soltanto una parte del corpo è immersa, la forza di Archimede è relativa a questa parte soltanto Poiché il primo corpo può avere il CM in un punto diverso dal corpo fluido (corpo non omogeneo, ad esempio una barca), avremo in generale anche un momento risultante A W A Situazione di non equilibrio W

25 25 GALLEGGIAMENTO DI UNA BARCA G: centro di gravita` della barca B: centro di spinta di Archimede M: metacentro : rappresenta il punto per il quale ruota la retta d'azione della spinta idrostatica per tutte le piccole inclinazioni. f: angolo di inclinazione f

26 26 GALLEGGIAMENTO Iceberg in equilibrio statico W A G W A B Ovvero r V i i g r V g Da cui troviamo il volume immerso V V a i a ri r a a

27 MISURA DI DENSITA` DI UN LIQUIDO: DENSIMETRO Sia m la massa del densimetro, A sia la sezione dello stelo su cui e` incisa una scala che permette di leggere la lunghezza immersa h dello stelo Sia V 0 il volume del bulbo All equilibrio W A mg rv g r V Ah g im 0 Da cui la densita` del liquido r V 0 m Ah 27

28 28 MISURA DI DENSITA` DI UN CORPO SOMMERSO Mediante un dinamometro (misurazione forza a molla) si eseguono due misure, la prima con il corpo in aria e la seconda con il corpo immerso in un liquido di densita` nota r L T ' T W W V r T Vg rvg A T r Vg ' T T r L g T T T ' r L L W T W T A

29 29 1) 2) 3) 4) 5) RIFERIMENTI

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