STIME STATISTICHE. Consideriamo il caso della misura di una grandezza fisica che sia affetta da errori casuali. p. 2/2

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1 p. 1/1 INFORMAZIONI Prossime lezioni Giorno Ora Dove 10/02 14:30 P50 11/02 14:30 Laboratorio (via Loredan) 17/02 14:30 P50 23/02 14:30 P50 25/02 14:30 Aula informatica (6-7 gruppi) 02/03 14:30 P50 04/03 14:30 Aula informatica (6-7 gruppi) 09/03 14:30 P50

2 p. 1/1 INFORMAZIONI Prossime lezioni Giorno Ora Dove 10/02 14:30 P50 11/02 14:30 Laboratorio (via Loredan) 17/02 14:30 P50 23/02 14:30 P50 25/02 14:30 Aula informatica (6-7 gruppi) 02/03 14:30 P50 04/03 14:30 Aula informatica (6-7 gruppi) 09/03 14:30 P50 Mercoledí10/02 raccolta moduli compilati

3 STIME STATISTICHE Consideriamo il caso della misura di una grandezza fisica che sia affetta da errori casuali. p. 2/2

4 STIME STATISTICHE Consideriamo il caso della misura di una grandezza fisica che sia affetta da errori casuali. Per ottenere maggior informazione sul valore vero della grandezza ripeto più volte la misura. Avendo raccolto N valori (non tutti coincidenti), mi domando quale funzione, tra tutte le possibili funzioni dei dati fornisca con maggior probabilità il valore vero della grandezza in esame. p. 2/2

5 STIME STATISTICHE Consideriamo il caso della misura di una grandezza fisica che sia affetta da errori casuali. Per ottenere maggior informazione sul valore vero della grandezza ripeto più volte la misura. Avendo raccolto N valori (non tutti coincidenti), mi domando quale funzione, tra tutte le possibili funzioni dei dati fornisca con maggior probabilità il valore vero della grandezza in esame. Supponiamo di aver eliminato tutti gli errori sistematici. Poiché gli errori casuali hanno ugual probabilità di spostare il risultato in difetto o in eccesso rispetto il valore vero, il valore vero deve trovarsi in una posizione centrale nella distribuzione dei valori osservati. Pertanto quello che cerco è una funzione che mi permetta di stimare il valore centrale dell insieme dei dati raccolti. p. 2/2

6 STIME DI TENDENZA CENTRALE MODA : x p. 3/2

7 STIME DI TENDENZA CENTRALE MODA : x MEDIANA: x p. 3/2

8 STIME DI TENDENZA CENTRALE MODA : x MEDIANA: x MEDIA ARITMETICA: x p. 3/2

9 LA MODA MODA : x valore corrispondente al massimo della frequenza, ossia al dato che compare più frequentemente. p. 4/2

10 LA MODA MODA : x valore corrispondente al massimo della frequenza, ossia al dato che compare più frequentemente. Una distribuzione è detta unimodale se possiede un solo massimo (assoluto), bimodale se possiede due massimi (relativi), trimodale se... p. 4/2

11 LA MODA MODA : x valore corrispondente al massimo della frequenza, ossia al dato che compare più frequentemente. Una distribuzione è detta unimodale se possiede un solo massimo (assoluto), bimodale se possiede due massimi (relativi), trimodale se... Se tutti i valori hanno la stessa frequenza o il massimo cade agli estremi, la moda non c è. Distrib. amodale. p. 4/2

12 LA MODA MODA : x valore corrispondente al massimo della frequenza, ossia al dato che compare più frequentemente. Una distribuzione è detta unimodale se possiede un solo massimo (assoluto), bimodale se possiede due massimi (relativi), trimodale se... Se tutti i valori hanno la stessa frequenza o il massimo cade agli estremi, la moda non c è. Distrib. amodale. Non influenzata dai valori estremi. p. 4/2

13 LA MODA MODA : x valore corrispondente al massimo della frequenza, ossia al dato che compare più frequentemente. Una distribuzione è detta unimodale se possiede un solo massimo (assoluto), bimodale se possiede due massimi (relativi), trimodale se... Se tutti i valori hanno la stessa frequenza o il massimo cade agli estremi, la moda non c è. Distrib. amodale. Non influenzata dai valori estremi. Dipende dalla scelta delle classi dell istogramma. Vediamolo subito! p. 4/2

14 LA MODA p. 5/2

15 LA MEDIANA In una lista ordinata, la mediana è il valore centrale (50% sopra, 50% sotto). p. 6/2

16 LA MEDIANA In una lista ordinata, la mediana è il valore centrale (50% sopra, 50% sotto). Non influenzata dai valori estremi. p. 6/2

17 LA MEDIANA In una lista ordinata, la mediana è il valore centrale (50% sopra, 50% sotto). Non influenzata dai valori estremi. Nel calcolare la mediana possono presentarsi piccoli problemi di calcolo dato che: p. 6/2

18 LA MEDIANA In una lista ordinata, la mediana è il valore centrale (50% sopra, 50% sotto). Non influenzata dai valori estremi. Nel calcolare la mediana possono presentarsi piccoli problemi di calcolo dato che: Non è detto che esista un valore maggiore di un 50% esatto dei dati e minore dei restanti. p. 6/2

19 LA MEDIANA In una lista ordinata, la mediana è il valore centrale (50% sopra, 50% sotto). Non influenzata dai valori estremi. Nel calcolare la mediana possono presentarsi piccoli problemi di calcolo dato che: Non è detto che esista un valore maggiore di un 50% esatto dei dati e minore dei restanti. Questo valore può esistere, ma non essere unico. p. 6/2

20 Come si trova la mediana di una successione? Ordinare i valori dal più piccolo al più grande p. 7/2

21 Come si trova la mediana di una successione? Ordinare i valori dal più piccolo al più grande Nella sequenza ordinata trovare la posizione di: valore centrale se il numero di valori è dispari due valori centrali se il numero di valori è pari p. 7/2

22 ome si trova la mediana di una succession La mediana di una successione di n numeri ordinati in senso non decrescente {x 1,x 2,x 3, x n } è: x = x (n+1)/2 se n è dispari x = x n/2 + x n/2+1 2 se n è pari p. 8/2

23 ome si trova la mediana di una succession La mediana di una successione di n numeri ordinati in senso non decrescente {x 1,x 2,x 3, x n } è: x = x (n+1)/2 se n è dispari x = x n/2 + x n/2+1 2 se n è pari Attenzione: n+1 2 non è il valore della mediana, ma la posizione della mediana nella sequenza ordinata. p. 8/2

24 Calcolo della mediana: esempio I Dati: 1, 4, 2, 9, 5. p. 9/2

25 Calcolo della mediana: esempio I Dati: 1, 4, 2, 9, 5. Dati ordinati: 1, 2, 4, 5, 9. p. 9/2

26 Calcolo della mediana: esempio I Dati: 1, 4, 2, 9, 5. Dati ordinati: 1, 2, 4, 5, 9. Ci sono n = 5 dati. La terza osservazione lascia a sinistra e a destra lo stesso numero di dati posizione mediana: = 3 2 p. 9/2

27 Calcolo della mediana: esempio I Dati: 1, 4, 2, 9, 5. Dati ordinati: 1, 2, 4, 5, 9. Ci sono n = 5 dati. La terza osservazione lascia a sinistra e a destra lo stesso numero di dati posizione mediana: = 3 2 La mediana è x = x 3 = 4 p. 9/2

28 Calcolo della mediana: esempio II Dati: 5, 7, 5, 9. p. 10/2

29 Calcolo della mediana: esempio II Dati: 5, 7, 5, 9. Dati ordinati: 5, 5, 7, 9. p. 10/2

30 Calcolo della mediana: esempio II Dati: 5, 7, 5, 9. Dati ordinati: 5, 5, 7, 9. Ci sono n = 4 dati. Qualsiasi numero tra 5 e 7 lascia a sinistra e a destra esattamente un 50% delle osservazioni la posizione mediana è data dai due valori centrali (4/2) = 2 e (4/2) + 1 = 3. p. 10/2

31 Calcolo della mediana: esempio II Dati: 5, 7, 5, 9. Dati ordinati: 5, 5, 7, 9. Ci sono n = 4 dati. Qualsiasi numero tra 5 e 7 lascia a sinistra e a destra esattamente un 50% delle osservazioni la posizione mediana è data dai due valori centrali (4/2) = 2 e (4/2) + 1 = 3. Mediana = punto centrale dell intervallo individuato dai sue valori centrali; in questo caso la mediana è x = x 2 + x 3 2 = = 6 p. 10/2

32 Calcolo della mediana: esempio III Dati: 4, 3, 2, 2, 5, 2, 6, 5, 1, 3. p. 11/2

33 Calcolo della mediana: esempio III Dati: 4, 3, 2, 2, 5, 2, 6, 5, 1, 3. Dati ordinati: 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6. p. 11/2

34 Calcolo della mediana: esempio III Dati: 4, 3, 2, 2, 5, 2, 6, 5, 1, 3. Dati ordinati: 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6. Ci sono n = 10 dati (numero pari).le due posizioni centrali, la 5 o e la 6 o, sono occupate dallo stesso valore 3 La mediana è x = 3. p. 11/2

35 Calcolo della mediana: esempio III Dati: 4, 3, 2, 2, 5, 2, 6, 5, 1, 3. Dati ordinati: 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6. Ci sono n = 10 dati (numero pari).le due posizioni centrali, la 5 o e la 6 o, sono occupate dallo stesso valore 3 La mediana è x = 3. La presenza di misure ripetute rende la situazione simile a quella dell esempio I. p. 11/2

36 LA MEDIANA DI UN ISTOGRAMMA Nel caso di distribuzioni di frequenze con valori raggruppati in classi, la classe mediana si determina utilizzando il metodo delle frequenze cumulate p. 12/2

37 LA MEDIANA DI UN ISTOGRAMMA Nel caso di distribuzioni di frequenze con valori raggruppati in classi, la classe mediana si determina utilizzando il metodo delle frequenze cumulate La mediana e il valore dell ascissa del punto di ordinata pari a 1/2. p. 12/2

38 LA MEDIA ARITMETICA MEDIA ARITMETICA: x = 1 N N x i, ovvero somma i=1 algebrica dei dati divisa per il numero di dati. p. 13/2

39 LA MEDIA ARITMETICA MEDIA ARITMETICA: x = 1 N N x i, ovvero somma i=1 algebrica dei dati divisa per il numero di dati. Influenzata da valori estremi (outliers). p. 13/2

40 LA MEDIA ARITMETICA MEDIA ARITMETICA: x = 1 N N x i, ovvero somma i=1 algebrica dei dati divisa per il numero di dati. Influenzata da valori estremi (outliers). Nel caso di misure dirette affette da soli errori casuali la media aritmetica fornisce la miglior stima del valore vero delle grandezza fisica. p. 13/2

41 Relazioni tra media, moda e mediana p. 14/2

42 Proprietà della media aritmetica Def. SCARTO di una misura dalla media s i = x i x p. 15/2

43 Proprietà della media aritmetica Def. SCARTO di una misura dalla media s i = x i x Per costruzione vale la relazione: N i=1 (x i x) 0 La somma degli scarti (positivi e negativi) è identicamente nulla. p. 15/2

44 Proprietà della media aritmetica Baricentro o punto di equilibrio della distribuzione dei dati: p. 16/2

45 Proprietà della media aritmetica Baricentro o punto di equilibrio della distribuzione dei dati: Supponendo che i rettangoli dell istogramma abbiano un peso proporzionale alla loro area, la media aritmetica individua il punto in cui mettere un dito sotto l ascissa per tenere in equilibrio la distribuzione. p. 16/2

46 Proprietà della media aritmetica La somma dei quadrati degli scarti dei valori di una distribuzione dalla media è minore della somma dei quadrati { degli scarti da un qualsiasi altro valore. N min i=1 (x i x) 2} = N i=1 (x i x) 2 p. 17/2

47 Proprietà della media aritmetica La somma dei quadrati degli scarti dei valori di una distribuzione dalla media è minore della somma dei quadrati { degli scarti da un qualsiasi altro valore. N min i=1 (x i x) 2} = N i=1 (x i x) 2 Vedremo in seguito che tale quantità è collegata all errore statistico di una serie di misure. p. 17/2

48 Proprietà della media aritmetica La somma dei quadrati degli scarti dei valori di una distribuzione dalla media è minore della somma dei quadrati { degli scarti da un qualsiasi altro valore. N min i=1 (x i x) 2} = N i=1 (x i x) 2 Vedremo in seguito che tale quantità è collegata all errore statistico di una serie di misure. Pertanto, la proprietà dei minimi quadrati implica che la media aritmetica è la stima del valore vero affetta dal minimo errore statistico. p. 17/2

49 Media aritmetica espressa mediante le frequenze Entro una serie di N misure, siano stati osservati M valori distinti della grandezza X: x 1, x 2,, x M, con frequenze assolute n 1, n 2,, n M. p. 18/2

50 Media aritmetica espressa mediante le frequenze Entro una serie di N misure, siano stati osservati M valori distinti della grandezza X: x 1, x 2,, x M, con frequenze assolute n 1, n 2,, n M. Vale la relazione M j=1 n j = N p. 18/2

51 Media aritmetica espressa mediante le frequenze Entro una serie di N misure, siano stati osservati M valori distinti della grandezza X: x 1, x 2,, x M, con frequenze assolute n 1, n 2,, n M. Vale la relazione M n j = N j=1 La media aritmetica in funzione delle frequenze x = 1 N x i = 1 M n j x j (frequenze assolute) N N x = M j=1 i=1 n j N x j = j=1 M f j x j (frequenze relative) j=1 p. 18/2

52 Approssimazione della media aritmetica per dati in classi Si siano organizzate le misure in un istogramma. Entro una data classe non cadono misure identiche, ma quei valori compresi entro la larghezza della classe. Classe Freq. Freq. rel. x 0 x 1 n 1 f 1 x 1 x 2 n 2 f 2 x j 1 x j n j f j x M 1 x M n M f M Ipotesi: equidistribuzione delle frequenze all interno di ogni classe. p. 19/2

53 Approssimazione della media aritmetica per dati in classi Si siano organizzate le misure in un istogramma. Entro una data classe non cadono misure identiche, ma quei valori compresi entro la larghezza della classe. Classe Freq. Freq. rel. x 0 x 1 n 1 f 1 x 1 x 2 n 2 f 2 x j 1 x j n j f j x M 1 x M n M f M Ipotesi: equidistribuzione delle frequenze all interno di ogni classe. Valore centrale della classe j-esima: c j = x i + x j+1 2 p. 19/2

54 Approssimazione della media aritmetica per dati in classi Si siano organizzate le misure in un istogramma. Entro una data classe non cadono misure identiche, ma quei valori compresi entro la larghezza della classe. Classe Freq. Freq. rel. x 0 x 1 n 1 f 1 x 1 x 2 n 2 f 2 x j 1 x j n j f j x M 1 x M n M f M Ipotesi: equidistribuzione delle frequenze all interno di ogni classe. Valore centrale della classe j-esima: c j = x i + x j+1 2 Quindi: x = 1 M M c j n j = c j f j N j=1 j=1 p. 19/2

55 STIME DI DISPERSIONE Cerchiamo una stima dell mpiezza dell intervallo in cui sono distribuite le misure, che serva a valutare l incertezza della misura m, per definire l espressione m ± m. p. 20/2

56 STIME DI DISPERSIONE Cerchiamo una stima dell mpiezza dell intervallo in cui sono distribuite le misure, che serva a valutare l incertezza della misura m, per definire l espressione m ± m. 1. semidispersione massima p. 20/2

57 STIME DI DISPERSIONE Cerchiamo una stima dell mpiezza dell intervallo in cui sono distribuite le misure, che serva a valutare l incertezza della misura m, per definire l espressione m ± m. 1. semidispersione massima 2. Scarto medio dalla media p. 20/2

58 STIME DI DISPERSIONE Cerchiamo una stima dell mpiezza dell intervallo in cui sono distribuite le misure, che serva a valutare l incertezza della misura m, per definire l espressione m ± m. 1. semidispersione massima 2. Scarto medio dalla media 3. Varianza e scarto quadratico medio p. 20/2

59 SEMIDISPERSIONE MASSIMA semidispersione massima è la semi-ampiezza del campo di variazione, cioè dell intervallo tra il valore x max x min minimo e il valore massimo osservati:. 2 m = = 6.5 p. 21/2

60 SEMIDISPERSIONE MASSIMA semidispersione massima è la semi-ampiezza del campo di variazione, cioè dell intervallo tra il valore x max x min minimo e il valore massimo osservati:. 2 m = 14 1 = L intervallo x max x min contiene il 100% delle misure, ma p. 21/2

61 SEMIDISPERSIONE MASSIMA semidispersione massima è la semi-ampiezza del campo di variazione, cioè dell intervallo tra il valore x max x min minimo e il valore massimo osservati:. 2 m = 14 1 = L intervallo x max x min contiene il 100% delle misure, ma Ignora la distribuizione dei dati p. 21/2

62 SEMIDISPERSIONE MASSIMA semidispersione massima è la semi-ampiezza del campo di variazione, cioè dell intervallo tra il valore x max x min minimo e il valore massimo osservati:. 2 m = 14 1 = L intervallo x max x min contiene il 100% delle misure, ma Ignora la distribuizione dei dati È sensibile ai valori outliers p. 21/2

63 SCARTO MEDIO ASSOLUTO Posso definire lo scarto medio s = x x = 1 N (x i x) N i=1 p. 22/2

64 SCARTO MEDIO ASSOLUTO Posso definire lo scarto medio s = x x = 1 N (x i x) N i=1 Non ha senso perchè è identicamente nullo per costruzione! p. 22/2

65 SCARTO MEDIO ASSOLUTO Posso definire lo scarto medio s = x x = 1 N (x i x) N i=1 Non ha senso perchè è identicamente nullo per costruzione! Scarto medio assoluto è la media aritmetica dei moduli degli scarti: s = x x = 1 N x i x N i=1 p. 22/2

66 SCARTO MEDIO ASSOLUTO Posso definire lo scarto medio s = x x = 1 N (x i x) N i=1 Non ha senso perchè è identicamente nullo per costruzione! Scarto medio assoluto è la media aritmetica dei moduli degli scarti: s = x x = 1 N x i x N Tiene conto di tutti i dati, a differenza della semi-dispersione massima... ma esiste un indice molto più significativo dal punto di vista statistico... i=1 p. 22/2

67 VARIANZA E SCARTO QUADRATICO MEDIO La varianza è definita come σ 2 = 1 N N (x i x) 2 i=1 p. 23/2

68 VARIANZA E SCARTO QUADRATICO MEDIO La varianza è definita come σ 2 = 1 N N (x i x) 2 i=1 Lo scarto quadratico medio σ (deviazione standard) è definito come la radice quadrata della varianza. p. 23/2

69 VARIANZA E SCARTO QUADRATICO MEDIO La varianza è definita come σ 2 = 1 N N (x i x) 2 i=1 Lo scarto quadratico medio σ (deviazione standard) è definito come la radice quadrata della varianza. Si dimostra che la varianza può essere ottenuta utilizzando direttamente le misure e la loro media, senza dover calcolare gli scarti: σ 2 = 1 N N x 2 i x 2 i=1 p. 23/2

70 VARIANZA E SCARTO QUADRATICO MEDIO La varianza è definita come σ 2 = 1 N N (x i x) 2 i=1 Lo scarto quadratico medio σ (deviazione standard) è definito come la radice quadrata della varianza. Si dimostra che la varianza può essere ottenuta utilizzando direttamente le misure e la loro media, senza dover calcolare gli scarti: σ 2 = 1 N N x 2 i x 2 i=1 Dimostreremo che per un campione finito di N misure è opportuno utilizzare la formula corretta (N N 1): N i=1 σ = (x i x) 2 N 1 p. 23/2

71 VARIANZA E SCARTO QUADRATICO MEDIO Dimostreremo che σ dà un indicazione della dispersione delle misure. L intervallo (m σ, m + σ) contiene circa i 2/3 delle misure effettuate. p. 24/2

72 VARIANZA E SCARTO QUADRATICO MEDIO Dimostreremo che σ dà un indicazione della dispersione delle misure. L intervallo (m σ, m + σ) contiene circa i 2/3 delle misure effettuate. Lo scarto quadratico medio dà l ampiezza dell intervallo in cui sono distribuite buona parte delle misure. Indica quindi la precisione: la precisione della singola misura dovuta all insieme di apparato di misura, procedura seguita, sperimentatore, ecc. p. 24/2