rappresenta il piano perpendicolare al vettore è il piano perpendicolare al vettore

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1 SUPERFICI NOTEVOLI PIANO Una qualunque equazione lineare nello spazio ax by cz d rappresenta il piano perpendicolare al vettore rappresenta un piano. In particolare l equazione abc,, che interseca gli assi d cartesiani nei punti,0,0 a, 0, d b,0 e 0,0, d c. Quando d 0 il piano passa per l origine. Esempio: 2x y z 1 2, 1,1, e interseca gli assi nei punti 1,0,0 2 è il piano perpendicolare al vettore, 0, 1,0 e 0,0,1. figura 1: piano z=x+y+1 QUADRICHE Una qualunque equazione di secondo grado nello spazio alcune quadriche notevoli. prende il nome di quadrica. Vediamo L equazione x x y y0 z z0 r x0, y0, z 0 e raggio r. 2 L equazione x y z 2x 2y 0 descrive la superficie sferica di centro 1,1,0 2. rappresenta la superficie della sfera di centro e raggio 1

2 2 L equazione x x 0 y y0 z z0 x y z e semiassi 0, 0, 0 In figura 2: x 4 1 rappresenta la superficie dell ellissoide di centro 2 a b c abc,,. 2 y 4z 1, ellissoide centrato nell origine con semiassi 1 2,1, 2. figura 2: ellissoide Gli iperboloidi derivano il loro nome dal fatto che si ottengono per rotazione di un iperbole. Possono essere a una o a due falde, a seconda che la rotazione avvenga attorno all asse principale, una falda, o all asse trasverso, due falde. 2 L equazione z 1 x y descrive un iperboloide a una falda (figura ), ottenuto dalla rotazione attorno all asse z dell iperbole x z 1 (o indifferentemente di y z 1 sempre attorno all asse z). Le intersezioni di questa superficie con piani ortogonali all asse z risultano tutte circonferenze. figura : iperboloide a una falda 2

3 L iperboloide a due falde di equazione x z 1 attorno all asse z (figura 4). 2 z 1 x y è invece ottenuto per rotazione dell iperbole figura 4: iperboloide a due falde L iperboloide degenere, il cono, è generato dalla rotazione di una coppia di rette incidenti: la superficie x x y y z z z e di vertice x y z. è il doppio cono (sopra e sotto, per intenderci) di asse 0, 0, 0 figura 5: cono

4 x y Equazioni del tipo 2cz 0 definiscono superfici dette paraboloidi: le sezioni lungo l asse a b z risultano tutte parabole. L equazione z x y (figura 6) definisce un paraboloide di asse z, detto circolare perché le sezioni perpendicolari all asse z sono circonferenze, e con vertice in 0,0,0, mentre descrive lo stesso paraboloide con il vertice in,, z x a y b c abc. figura 6: paraboloide a sezione circolare Anche la superficie definita dall equazione z x y (figura 7) è detta paraboloide, ma le sezioni perpendicolari all asse z sono iperboli. La superficie ha la classica forma a sella, e in questo caso il punto sella si trova nell origine. figura 7: paraboloide iperbolico 4

5 Quando le sezioni perpendicolari ad una direzione sono tutte costanti la superficie è detta cilindro. 2 Le equazioni x y r, x z r e y z r descrivono cilindri a sezione circolare di raggio r e di assi rispettivamente z, y e x. figura 8: cilindro a sezione circolare 2 Anche y x e x y 1 sono detti cilindri, anche se le sezioni perpendicolari all asse in questo caso non sono circonferenze ma, rispettivamente, parabole e iperboli, e quindi vengono indicati come cilindro parabolico e cilindro iperbolico. figura 9: cilindro parabolico 5

6 figura 10: cilindro iperbolico SOTTOINSIEMI DI 1. Disegnate l insieme E x y z x y z,, 1. Si tratta dell ottaedro regolare che interseca gli assi nei punti 1,0,0 0, 1,0 e 0,0, 1 Curiosità: con la definizione di norma x, y, z 1 x y z questo insieme è la palla unitaria 2 chiusa B 0,0,0;1, che risulta invece B0, 0, 0;1 x, y, z x y z 1 con la 2 definizione x, y, z x y z e il cubo B0,0,0;1 x, y, z x 1, y 1, z 1 2 la definizione x, y, z max x, y, z. 2. Disegnate l insieme. con A x, y, z 0 x 1,2 x y x 1,0 z x y. Qui abbiamo un solido a base triangolare nel piano z 0 e delimitato al di sopra dal piano x y z 0. I vertici nel piano 0 1,2,0 mentre i vertici su z sono i punti 0,0,0, 0,1,0, sono 0,1,1 e 1,2, e ovviamente ancora l origine. piano x y z 0 La forma nella quale è stato scritto questo insieme è particolarmente semplice. Infatti per calcolare un integrale in tre dimensioni si deve sempre riuscire a vedere l insieme di integrazione in modo che a x1 b e x1 x2 x1 e f x1, x2 x g x1, x2.. Disegnate l insieme T x y z x y z x y z,,,, 0, 1. È un triangolo situato nel primo ottante, che ha per vertici le intersezioni degli assi con il piano x y z 1 0,0,1. : 1,0,0, 0,1,0 e 6

7 COORDINATE CILINDRICHE E SFERICHE Le coordinate polari nel piano danno origine a due analoghi sistemi di coordinate nello spazio: le coordinate cilindriche, definite da x cos y sin z z x y e le coordinate sferiche x cos sin y sin sin z cos 2 x y z L angolo, soggetto alla limitazione 0 2 è, sia nelle coordinate cilindriche che nelle coordinate sferiche, l angolo che la proiezione di sul piano xy forma con il semiasse positivo delle x, mentre, soggetto alla limitazione 0 è l angolo che forma con il semiasse positivo z. Intuitivo il passaggio alle coordinate cilindriche lungo un altro asse. D x, y, z x y 2x 1 z 1 1,0 z Disegnare l insieme Si tratta di un solido ottenuto dalla rotazione attorno ad un asse parallelo all asse z e passante per il 1 punto 1,0 del piano xy, del grafico della funzione z 1 la cui sezione con il x1 y piano 0 y, cioè f z 1 x 1 2 1, è rappresentata in figura 11. Passando a coordinate cilindriche di asse z centrate nel punto 1,0 abbiamo x 1cos y sin z z 1 D,, z 0,0 2,0 z 1. 1 z 7

8 figura Disegnare l insieme D x y z x z x y z x y z,, 0,0 2, 1, 0. L insieme D è costituito dalla regione, nel semispazio con x positiva, delimitata inferiormente dalle superfici della semisfera z x y 1 e del cono z x y, la cui generatrice forma un angolo di con l asse, e delimitata superiormente dal piano z 2. La sezione di D con il piano y 0 appare come in figura 12. figura 12 8

9 In coordinate cilindriche D diventa D 6. Disegnare l insieme 2,, 1,0, cos E x y z x y z x y z x y 2,, 1 4,. Si tratta della porzione di guscio sferico di raggi 1 e 2 intercettata da i due coni di generatrici che formano angoli di /6 e /4 con l asse z. In figura 1 la sezione del solido con il piano y 0. In coordinate polari sferiche E figura 1,, 1 2,, Disegnare l insieme,, D x y z x y z x y figura 14 9

10 Si tratta di un solido di rotazione con parallelo all asse z mostrato in figura 14, con la superficie del cono in viola e quella del paraboloide in verde. Passando a coordinate cilindriche lungo z centrate nel punto 1,0,0 abbiamo x 1cos y sin z z 2 D,, z 1 2, 0 2, z 2. 10