Variabile divisa in classi: varianza

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1 Variabile divisa in classi: varianza Distribuzione semplice di frequenze assolute del carattere X raggruppato in classi Car. X n i Valori centrali (c i - M) 2 (c i - M) 2 n i (x 0, x 1 ] n 1 (x 1, x 2 ] n 2 (x i -1, x i ] n i (x K -1, x K ] n K Totale n c 1 c 2 c i c K (c 1 - M) 2 (c 1 - M) 2 n 1 (c 2 - M) 2 (c 2 - M) 2 n 2 (c i - M) 2 (c i - M) 2 n i (c K - M) 2 (c K - M) 2 n K = = = σ = = Scarto quadrativo medio = = Pagina 115 Esempio Distribuzione degli studenti di SDC frequentanti la facoltà nell a.a. 2001/2002 per Voto di Maturità n 283 K 5 M 79,84 Voto Maturità n i [60-70] 72 (70-80] 78 (80-90] 65 (90-95] 18 (95-100] 50 Totale 283 (c i - M) 2 220,25 23,44 26,62 160,25 311,84 (c i - M) 2 n i 15858, , , , , ,84 =, +, +, +, +, =, = = σ 5 = =, =, = =, =11,57 Pagina 116

2 Quartili Primo quartile Q 1 : modalità che nella graduatoria (crescente o decrescente) bipartisce il 50% delle osservazioni con modalità più piccole o al più uguali alla Mediana Terzo quartile Q 3 : modalità che nella graduatoria (crescente o decrescente) bipartisce il 50% delle osservazioni con modalità più grandi o al più uguali alla Mediana U.S. A G I F B D L H E M C x j Me Q 1 Q 3 Pagina 117 Esempio Distribuzione unitaria degli affitti settimanali in euro pagati da 19 studenti Senza ordine U.S. Affitto U1 40 U2 43 U3 35 U4 33 U5 45 U6 40 U7 36 U8 36 U9 42 U10 38 U11 48 U12 51 U13 39 U14 42 U15 46 U16 59 U17 53 U18 55 U19 42 Ordine crescente Posto U.S. Affitto 1 U U U U U U U U U U U U U U U U U U U16 59 Affitto Primo Quartile è 38 La mediana è 42 Terzo Quartile è 48 Pagina 118

3 Esempio: quartili per una distribuzione di frequenza Distribuzione dei laureati del 2011 secondo il voto assegnato al prestigio dell ateneo nel quale si sono laureati VOTO n i p i N i P i , , , , , , , , , , , , , , , ,00 TOT ,00 Primo Quartile è 1 Mediana è 6 Terzo Quartile è 8 La frequenza percentuale cumulata corrispondente alla modalità 1 è la prima frequenza percentuale cumulata maggiore o uguale a 25% La frequenza percentuale cumulata corrispondente alla modalità 6 è la prima frequenza percentuale cumulata maggiore o uguale a 50% La frequenza percentuale cumulata corrispondente alla modalità 8 è la prima frequenza percentuale cumulata maggiore o uguale a 75% Pagina 119 Indici di variabilità relativa Consentono di effettuare confronti sulla variabilità di fenomeni che presentano unità di misura differenti pur avendo la stessa unità di misura hanno valori medi differenti e quindi distribuzioni differenti In alcune situazioni è fuorviante utilizzare la deviazione standard per il confronto: della variabilità di una variabile osservata su due collettivi differenti di u.s. della variabilità di due o più variabili osservate sul medesimo collettivo di u.s. Pagina 120

4 Indici di variabilità relativa Ci permettono di misurare la variabilità indipendentemente dalla grandezza e dalla scala di misura del carattere Indici percentuali di variabilità o dispersione Indici di variabilità o dispersione relativa Sono numeri puri non hanno unità di misura Pagina 121 Indici di variabilità relativa Indici percentuali di variabilità o dispersione ottenuti dividendo l indice di variabilità (dispersione) assoluto per la media rispetto alla quale è stato calcolato Coefficiente di variazione CV 100 M Indici di variabilità o dispersione relativa ottenuti dividendo l indice di variabilità (dispersione) assoluto per il valore massimo che esso può assumere in una situazione ipotetica Deviazione standard relativa max( ) Numero compreso tra 0 e 1 Pagina 122

5 Esempio: due variabili diverse In un collettivo di 91 ragazze la media del peso è pari a 55,1 Kg e la deviazione standard è pari a 5,7 Kg La media della statura è pari a 166,1 cm e la deviazione standard è pari a 6,1 cm E maggiore la variabilità del peso o la variabilità della statura? Le variabili misurate sono diverse perché espresse in diverse unità di misura Pagina 123 Esempio: due gruppi con valori molto distanti Tre neonati pesano rispettivamente 3, 4 e 5 Kg (media=4 Kg e =1 Kg) Tre bambini di 1 anno pesano 10, 11 e 12 Kg (media=11 Kg e =1 Kg) La variabile misurata è la stessa ma i valori medi delle osservazioni nei due gruppi sono molto distanti (le osservazioni nei due gruppi sono su diversi ordini di grandezza) La deviazione standard è uguale nei due gruppi ma il buon senso suggerisce che la variabilità del peso sia maggiore nei neonati!! Pagina 124

6 Soluzione Media Dev. Standard CV Peso 55,1 Kg 5,7 Kg 10,3% Statura 166,1 cm 6,1 cm 3,7% La variabilità del Peso è maggiore della variabilità della Satura Media Dev. Standard CV Neonati 4 Kg 1 Kg 25% Bambini di 1 anno 11 Kg 1 Kg 9% La variabilità del Peso è maggiore nel collettivo dei neonati Pagina 125 Altri indici di variabilità Campo di Variazione = oppure = R 0 R=0 non c è variabilità Differenza Interquartilica W Q 3 Q 1 W rappresenta il campo di variazione per il 50% delle unità centrali Pagina 126

7 Mutabilità Sinonimo di eterogeneità Le misure di mutabilità si basano sull analisi delle frequenze Mutabilità nulla = tutte le u.s. presentano la stessa modalità Massima omogeneità Tutte le n i sono uguali a zero tranne una che è pari a n Mutabilità massima = le frequenze delle varie modalità sono tutte uguali Minima omogeneità n 1 = n 2 = = n i = = n K = n/k Pagina 127 Indici di mutabilità o eterogeneità Devono esser nulli tutte le u.s. presentano la stessa modalità Crescere all aumentare della mutabilità o eterogeneità Indice di Gini Pagina 128

8 Indici di mutabilità o eterogeneità Indice di Gini Indice di Gini Relativo G 1 K j1 n j n 2 G G max( G) 1 1 K Assume valori tra 0 e 1-(1/K) Assume valori tra 0 e 1 Pagina 129 BoxPlot Tasso di variazione annua della produttività del lavoro Pagina 130

9 Box Plot Rappresentazione grafica della distribuzione di un carattere quantitativo che mette in evidenza la sua variabilità Elementi caratteristici 1) 1 punto che individua la posizione della media (aritmetica o mediana) della distribuzione 2) 1 rettangolo (box) la cui altezza rappresenta la variabilità dei valori prossimi alla media scelta 3) 2 segmenti che partono dai lati maggiori del rettangolo e i cui estremi sono rappresentati dai valori minimo e massimo della distribuzione Pagina 131 BoxPlot Tasso di variazione annua della produttività del lavoro Mediana Terzo quartile Primo quartile Pagina 132

10 Quale Box Plot? Box plot con mediana 1) Media = mediana 2) Altezza box = differenza interquartile W Estremo sup.= Q 3 Estremo inf.=q 1 3) Estremi dei segmenti Superiore=valore max Inferiore=valore min Box plot con media aritmetica 1) Media = media aritmetica 2) Altezza box = 2 Estremo sup.= M+ Estremo inf.=m- 3) Estremi dei segmenti Superiore=M+1,96 Inferiore=M-1,96 Pagina 133 Esempio Distribuzione delle nascite in 11 ospedali A B C D E F G H I L M Distribuzione ordinata delle nascite in 11 ospedali C B D I E H A G L F M Me 2 Q 1 Q Pagina 134

11 Box Plot Terzo quartile Mediana Primo quartile Pagina 135 Box Plot con valori anomali Valori anomali: LSR + (LSR - LIR) = 5 + 1,5 (5-1) = 11 LIR - (LSR - LIR) = 1-1,5 (5-1) = -5 E anomalo il solo valore 12 dell unità F! Outlier Unità F Terzo quartile Mediana Primo quartile Pagina 136

12 Box Plot: variabilità a confronto Tasso di variazione annua della produttività del lavoro per tre diversi settori produttivi Pagina 137 La costruzione di misure relative I rapporti statistici (capitolo 10) Pagina 138

13 Costruire nuove variabili A partire da una matrice di dati, mediante opportune operazioni compiute sui valori delle variabili originarie, si possono ottenere nuove variabili, più adeguate alla rappresentazione di un fenomeno X1 X2 Xj Xk I1 I2 Iq u 1 x 11 x 12 x 1j x 1k I 11 I 12 I 1q u 2 x 21 X 22 x 2j x 2k I 21 I 22 I 2q u i x i1 X i2 x ij x ik I i1 I i2 I iq u n x n1 x n2 x nj x nk I n1 I n2 I nq Pagina 139 Nuove variabili Le nuove variabili possono derivare da: semplici trasformazioni di una sola variabile originaria Esempi: I j = X j / max(x j ) I j = X j / Media(X j ) I j = Ammontare di X j / Numero u.s. operazioni che tengono conto di più variabili Esempi: I j = X 1 /X 2 *100 I j = (X 1 +X 2 )/2 Pagina 140

14 Variabili costruite a partire da altre: esempi di uso nella misurazione dei fenomeni Invecchiamento della popolazione Densità abitativa di un certo luogo Reddito pro-capite Indice dei prezzi al consumo Tasso di occupazione Share In tutti i casi suddetti i fenomeni sono espressi mediante variabili ottenute rapportando diversi valori di una singola variabile oppure valori di variabili differenti Per questa loro caratteristica, vengono denominati RAPPORTI STATISTICI Essi offrono una immediata ed efficace rappresentazione sintetica dei fenomeni Pagina 141 Rapporti Statistici: che cosa sono? Sono rapporti tra due quantità a) tra esse esiste un nesso logico b) almeno una delle due si riferisce ad un collettivo NON TUTTI I RAPPORTI SONO RAPPORTI STATISTICI almeno una delle due quantità poste a confronto deve riferirsi ad un collettivo circonferenza diametro n. nati popolazione Pagina 142

15 Esempi di rapporti statistici Denominazione Reddito pro capite Tasso di divorzialità Come si calcolano Reddito /popolazione residente Divorzi /tot. popolazione*1000 Tasso di occupazione Occupati/Pop. > 15 anni *100 Tasso di scolarità Tasso di mortalità infantile Popolazione iscritta e frequentate un livello scolastico/ Pop. residente di età corrispondente *100 Morti nel I anno di vita/nati vivi nello stesso periodo *1000 Indice invecchiamento Pop. 65 anni +/pop. *100 Indice di vecchiaia Pop. 65 anni +/pop. da 0 a 14 * 100 Densità automobilistica Autovetture immatricolate/pop.residente*1000 Pagina 143 Rapporti statistici: a cosa servono? 1. Confrontare un fenomeno su collettivi di numerosità differente poiché sono misure relative : mettono a confronto variabili che esprimono intensità (es: reddito) o frequenze (es: numero di laureati) tra diverse unità di analisi o delle stesse unità in tempi diversi Esempi: comparare il livello di istruzione (o il reddito) degli abitanti in due regioni diverse nello stesso anno oppure confrontare il livello di istruzione (o il reddito) degli abitanti della stessa regione nel 2001 e nel Costruire nuove variabili che hanno un significato differente da quelle originarie Pagina 144

16 Costruire misure relative: i rapporti statistici nella comparazione Esempio Analizziamo il numero di occupati nelle seguenti regioni Numero occupati(*) Valle d Aosta 55 Lombardia 4064 Sicilia 1405 Italia In quale regione la situazione occupazionale è migliore? Osserviamo che il numero di occupati è influenzato innanzitutto dall ammontare della popolazione nelle regioni considerate Fonte: Istat, Forze di Lavoro, Media 2003 *dati assoluti in migliaia Popolazione 15 anni e più Valle d Aosta 104 Lombardia 7877 Sicilia 4139 Italia Pagina 145 Costruire misure relative: i rapporti statistici nella comparazione Esempio (segue) Eliminare l effetto della diversa numerosità della popolazione, significa relativizzare il dato assoluto: calcoliamo un rapporto statistico rapportando il numero di occupati alla popolazione in età attiva Numero occupati (O) Popolazione 15 anni e più (P) Tasso di Occupazione (O/P*100) Valle d Aosta ,88 Lombardia ,59 Sicilia ,95 Italia ,82 Il rapporto, moltiplicato per 100 per facilitarne la lettura, è il tasso di occupazione: ci indica quale valore assume O (la popolazione occupata) per ogni 100 unità di P (Popolazione in età attiva) Si è così eliminata l influenza del diverso ammontare delle popolazioni delle unità territoriali confrontate Pagina 146