2. Analisi di un sistema caotico

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1 . Analisi i un sistema caotico. Ricostruzione ello spazio elle fasi Il primo problema a risolvere nell analisi i un sistema caotico è la ricostruzione ello spazio elle fasi a partire a un segnale monoimensionale. La risposta a questo problema è fornita al seguente teorema i embeing (Mañé et al., 98; Takens, 98): Data la granezza scalare h funzione i una granezza vettoriale g a sua volta funzione elle variabili i stato x : h = h( g( x( n)), (.) lo spazio composto ai vettori y le cui componenti sono ate a h applicata a potenze i g( x( n)) (3) : T ( ) [ ( ( )), ( T T y n = h x n h g ( x( n)), h( g ( x( n)), K, h( g ( x( n ))] (.) 3 Si inica come potenza T i una funzione g la applicazione ripetuta T volte ella funzione stessa: T g ( x) = g( g( L( g( x)) L)), cosicché g 0 ( x ) = x, g ( x) = g( x), g ( x) = g( g( x)),

2 . Analisi i un sistema caotico è tale a riprourre senza ambiguità le proprietà el segnale multivariato incognito x (n). In particolare l evoluzione nel tempo ei punti y segue quella ella inamica incognita x nel senso che il comportamento eterministico ella inamica x assicura il comportamento eterministico ella inamica sostitutiva y (Abarbanel, 995). Se la funzione h rappresenta la serie ei valori osservati: h ( x ( n)) = n) e se la funzione g (x) trasla in avanti il vettore x i un tempo pari a quello i campionamento τ : g ( x( n)) = x( n + τ ), allora la (.) iviene: y n) [ n), n + τ T ), n + τ T ), K, n + τ T )] (.3) ( = posto inoltre τ T k = kt, si ha: y ( n) = [ n), n + T ), n + T ), K, n + ( ) T )]. (.4) Fissati il time elay T e la imensione i embeing, i vettori y (n) rappresentano un sostituto ei vettori i stato x (t) el sistema inamico originale. Tale rappresentazione è feele nel senso che conserva gli invarianti ella inamica originale senza perita i informazioni. È quini i fonamentale importanza poter isporre i un criterio o quanto meno, i una prassi che consenta i eterminare il time elay e la imensione i embeing.. Time elay Il teorema i embeing non pone restrizioni sul time elay che, in linea i principio, può assumere un valore qualsiasi. Tale granezza eve comunque, quanto meno, soisfare alcuni requisiti: ) poiché si suppone che il segnale sia campionato con perioo τ, il time elay T ovrà essere un multiplo i τ ; ) il time elay non eve essere troppo breve affinché le componenti el vettore y (n) siano sufficientemente inipenenti. Infatti, se T fosse molto piccolo 0

3 . Time elay rispetto alla scala temporale ella inamica osservata, le componenti s (n) e s ( n + T ) conterrebbero sostanzialmente la stessa informazione; 3) il time elay non eve essere troppo lungo affinché le componenti el vettore y (n) non siano el tutto inipenenti. A causa ella ivergenza esponenziale elle traiettorie i un sistema caotico, se T fosse molto grane rispetto alla scala temporale ella inamica osservata, le componenti s (n) e s ( n + T ) sarebbero ranom una rispetto all altra; Sulla base i questi requisiti, iversi criteri sono stati iniviuati per eterminare il valore ottimale el time elay e, sebbene non ne esista uno universalmente accettato (Rosenstein et al., 994), ue sono i metoi più iffusi in letteratura per un terzo criterio i eterminazione el time elay si vea a es. (Venkaesan et al., 996). Il primo criterio è basato sulla funzione i autocorrelazione lineare: [ n + T ) s][ n) s] N n CL ( T ) = (.5) [ n) s] N n ove s = N N n= n). In base a questo criterio, il time elay ottimale è quello in corrisponenza el quale la funzione i autocorrelazione lineare (.5) ha il primo zero (Abarbanel et al., 993), oppure si riuce i un fattore pari a / e (e-fol time) (Rosenstein et al., 993). Tale scelta è stata però oggetto i critica (Abarbanel, 995) proprio perché basata sull uso ell autocorrelazione lineare giuicato improprio nel caso i sistemi non lineari quali quelli caotici. Un altro criterio per la eterminazione i T (Fraser an Swinney, 986) è basato sul concetto i mutua informazione tra la misura a i appartenente all insieme A = { a i } e la misura b j appartenente all insieme B = { b j }:

4 . Analisi i un sistema caotico PAB ( ai, b j ) MI ( aib j ) = log (.6) PA ( ai ) PB ( b j ) ove P AB ( a, b) è la ensità i probabilità congiunta che le misure i A e B iano per risultato a e b rispettivamente; P A (a) e P B (b) sono le ensità i probabilità che la misura i A ia a e quella i B ia b. Se il risultato a i, ottenuto misurano A, è el tutto inipenente al fatto che si sia ottenuto b j misurano B, allora P a, b ) = P ( a ) P ( b ) e la mutua informazione è zero. La mutua informazione AB ( i j A i B j meia tra le misure i A e quelle i B è ata a: I AB = P a, b ) MI( a b ). (.7) aib j AB ( i j i j Se si pone: a i = n) e b j = n + T ), la (.7) iviene: P( n), n + T )) I( T ) = P( n), n + T ))log n), n+ T ) P( n)) P( n + T )) (.8) La (.8) à la misura ella mutua informazione meia tra le misure i s (n) e quelle i s ( n + T ). Quano T iviene molto grane la caoticità el sistema fa sì che le misure i s (n) e s ( n + T ) ivengano praticamente inipenenti e I (T ) tene a zero. I (T ) assume così il ruolo i una funzione i autocorrelazione non lineare e il criterio per la scelta el time elay, suggerito a (Fraser an Swinney, 986), è i scegliere T in corrisponenza el primo minimo ella mutua informazione meia (.8). In assenza i minimo per I (T ) o quano è noto che i ati provengono a una mappa iscreta, Abarbanel, Brown, Siorowich e Tsimring suggeriscono i porre T = o (Abarbanel et al., 993). Nella Figura.. è rappresentata la funzione i autocorrelazione lineare per la serie ei valori x el sistema i Lorenz (in alto) e el sistema i Hénon (in basso). Nel caso el sistema i Lorenz l autocorrelazione si riuce i un fattore pari a quano T = 38 e il primo zero si ha quano T 37 / e. Nel caso el sistema i Hénon si vee come l autocorrelazione iventi negativa già con lag uguale a.

5 . Time elay FIGURA. Autocorrelazione lineare per la serie ei valori x el sistema i Lorenz (in alto) e el sistema i Hénon (in basso). Nella Figura. è rappresentata la mutua informazione meia calcolata per le stesse serie ella Figura.. Per il sistema i Lorenz il primo minimo si ha quano T = 7, mentre per il sistema i Hénon la curva non presenta minimo e quini, in questo caso, la scelta el time elay coincie con quella che eriva all analisi ell autocorrelazione: T =. 3

6 . Analisi i un sistema caotico FIGURA. Mutua informazione meia per la serie ei valori x el sistema i Lorenz (in alto) e el sistema i Hénon (in basso)..3 Dimensione i Embeing L operazione i misurazione corrispone a una proiezione sull asse s (n) i un orbita el sistema inamico reale. Ciò avrà come effetto sovrapposizioni ell orbita che, per il teorema ell unicità elle soluzioni elle equazioni ifferenziali, non esistono nello spazio elle variabili inamiche; nella Figura.3, a 4

7 .3 Dimensione i Embeing FIGURA.3 Proiezione sul piano xy i un orbita el sistema i Lorenz. esempio, è rappresentata la proiezione sul piano xy i un orbita el sistema i Lorenz: come si vee, a causa ella proiezione la curva si interseca in un punto. La ricostruzione ello spazio elle fasi fatta correttamente elimina proprio tali sovrapposizioni fittizie. Se le orbite sono contenute in uno spazio i imensione A, si può imostrare che la conizione sufficiente, affinché la ricostruzione (.3) elimini tutte le sovrapposizioni, è che sia > A. D altro canto la imensione necessaria a ricostruire efficacemente lo spazio elle fasi è spesso minore i quella sufficiente. Inoltre, in generale, la imensione A non è conosciuta a priori. Le sovrapposizioni fittizie causate alla proiezione ei vettori i stato in uno spazio a imensione, inferiore a quella necessaria per una corretta ricostruzione, fanno sì che un ato punto avrà ei punti vicini che sono tali solo in virtù i tale proiezione ma che potrebbero risultare lontani in uno spazio correttamente ricostruito (falsi vicini). Per stabilire quano la imensione i embeing scelta è quella necessaria alla corretta ricostruzione si consierano tutti i punti ello spazio ricostruito: 5

8 . Analisi i un sistema caotico y ( k) = [ k), k + T ), K, k + ( ) T )] e i relativi primi vicini: y ( k) = [ s ( k), s ( k + T ), K, s ( k + ( ) T )], il quarato ella loro istanza eucliea sarà: R ( k) = [ k + ( m ) T ) s ( k + ( m ) T )]. (.9) m= Nello spazio a imensione + tale istanza iviene: R + ( k) = + [ k + ( m ) T ) s m= = R ( k) + k + T ) s ( k + ( m ) T ] ( k + T ). (.0) Il rapporto tra la istanza ei punti a imensione + e a quella ei punti a imensione è ato a: R ( k) R ( k) k + T ) s ( k + T ) + = R ( k) R ( k). (.) Quano tale rapporto supera una soglia prefissata: k + T ) s ( k + T ) > R R ( k) T. (.) il punto y (k) viene consierato un falso vicino. Per valori i R T compresi nell intervallo 0 R 50, il numero i falsi vicini iniviuati alla (.) è costante (Abarbanel et al., 993). T La percentuale i falsi vicini iniviuati alla (.) iminuirà a un valore iniziale (i solito prossimo al 00%) in corrisponenza i =, fino a zero quano la corretta imensione i embeing E è stata raggiunta; per > E il numero i falsi vicini resterà zero poiché ormai tutte le false sovrapposizioni saranno state eliminate e l aumentare le imensioni non ne genera i nuove. Un ifetto intrinseco al metoo è che, se applicato a ati generati a un sistema stocastico, e quini con un numero i imensioni molto elevato, esso inica, 6

9 .3 Dimensione i Embeing per tali ati, una imensione i embeing bassa. Ciò è ovuto al fatto che i ati generati a un sistema stocastico tenono a popolare uniformemente lo spazio a isposizione. Poiché il volume aumenta in ragione ella istanza elevata alla imensione ello spazio, all aumentare ella imensione i embeing i ati (che sono una quantità finita) si allontaneranno sempre i più l uno all altro e quini ue punti primi vicini in realtà possono essere lontani e quini il enominatore ella (.) aumenta esponenzialmente fino a che, in corrisponenza a un ato valore, il criterio non è più soisfatto e il numero ei falsi vicini scene a zero. Nella Figura.4 è rappresentata la percentuale i falsi vicini per una serie i numeri casuali: è eviente come l utilizzo el solo criterio (.) inuce a ritenere, erroneamente, che = 5 sia la corretta imensione i embeing. Per ovviare a questo problema, al criterio (.) per eterminare un falso vicino occorre aggiungerne un altro: che la istanza aggiunta aumentano la imensione ello spazio non sia troppo maggiore el iametro ell attrattore. In altri termini se: FIGURA.4 Percentuale i falsi vicini per una serie i numeri casuali: l uso el solo criterio (.) non è sufficiente a iscriminare le serie stocastiche. 7

10 . Analisi i un sistema caotico k + T ) s R A ( k + T ) > (.3) ove il iametro ell attrattore viene stimato come lo scarto quaratico meio ei ati attorno alla meia: R A = N N k= [ k) s] (.4) allora il punto y (k) viene consierato un falso vicino. Nella Figura.5, relativa alla stessa serie ella Figura.4, si vee come l utilizzo i entrambi i criteri consenta i riconoscere la natura stocastica ei ati. Nella Figura.6 è rappresentata la percentuale i falsi vicini, ottenuta utilizzano entrambi i criteri, per la variabile x el sistema i Lorenz (in alto)e per la variabile x el sistema i Hénon (in basso). Il metoo consente i eterminare la corretta imensione i embeing in entrambi i casi: = 3 per il sistema i Lorenz e = per quello i Hénon. FIGURA.5 Percentuale i falsi vicini per la stessa serie i numeri casuali i Figura.4: l uso i entrambi i criteri consente i iscriminare la serie stocastica. 8

11 .3 Dimensione i Embeing FIGURA.6 Percentuale i falsi vicini per il sistema i Lorenz (in alto) e per quello i Hénon (in basso). Con il time elay, che utilizzano il metoo ella mutua informazione meia è risultato essere pari a 0.7 per il sistema i Lorenz e pari a per il sistema i Hénon; e la imensione i embeing, che utilizzano il metoo ei falsi vicini è risultata essere pari a 3 e pari a rispettivamente, è possibile ricostruire gli attrattori 9

12 . Analisi i un sistema caotico FIGURA.7 Attrattore ricostruito el sistema i Lorenz. (in alto) e el sistema i Hénon (in basso) ei ue sistemi sulla base ei soli ati ella variabile x. Ovviamente la forma ell attrattore ricostruito è iversa a quella ell attrattore el sistema originario ma, in virtù el teorema i embeing, i ue attrattori hanno le stesse proprietà inamiche. Nella Figura.7 sono rappresentati gli attrattori ricostruiti el sistema i Lorenz (in alto) e i quello i Hénon (in basso). 30

13 .3 Dimensione i Embeing Gli attrattori sono formati alle orbite ei vettori si stato y ati a: y ( n ) = [ x( n), x( n + T ), x( n + T )] n =,, K ove x (n) è la prima variabile el sistema. 3