Principio di Huygens principio di Huygens

Transcript

1 Principio di Huygens La propagazione dei fronti d onda (superfici a fase costante) può essere ottenuta supponendo ad ogni istante un fronte d onda come la sorgente dei fronti d onda a istanti successivi (principio di Huygens). Questa asserzione ha la sua giustificazione nel fatto che l onda soddisfa ad una ben precisa eq. diff. Per trovare le soluzioni di tale equazione sono necessarie due informazioni alternative: (i) le sorgenti dell onda (cond. iniziali); (ii) lo stato di un fronte d onda ad un dato istante (cond. al contorno).

2 Fenomeno di Diffrazione La diffrazione è il fenomeno che accade alle onde (di qualunque genere) quando incontrano un ostacolo. Il fenomeno diventa particolarmente intenso e visibile quando l ostacolo ha dimensioni confrontabili con la lunghezza d onda. Noi studieremo solo il caso in cui le onde sono piane e il fenomeno diffrattivo è osservato a grande distanza dall ostacolo (DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER)

3 Diffrazione di Fraunhofer di una onda attraverso un ostacolo e sua giustificazione dal principio di Huygens. Se fronti d onda piani e.m. incidono su un piano in cui è praticato un foro, sullo schermo C posto a grande distanza osserveremo l effetto perturbativo prodotto da tutti i punti infinitesimi del fronte d onda che attraversa il foro (principio di Huygens). Tale effetto è di fatto una interferenza a infinite sorgenti infinitesime, coerenti e sincrone. (l onda interferisce con se stessa perché perturbata!)

4 Diffrazione di Fraunhofer da fenditura rettangolare b Φ = kb sinθ d.d.f. tra i due raggi estremali della fenditura Il fronte d onda sulla fenditura può essere scomposto in tratti infinitesimi x sorgenti dei fronti d onda successivi. Il metodo dei fasori applicato ai campi infinitesimi degli infiniti raggi creati dai tratti x dà per il principio di Huygens: Φ Eθ = R sin E = R Φ Campo elettr. risult. max E m θ = E m Φ sin Φ

5 Ricordando che l intensità media è proporzionale al modulo del fasore totale al quadrato: ( ) ( ) 0 Φ Φ = θ π θ π θ bsin bsin sin I I sin E E I media m media

6 Schema dei fasori in alcuni punti dello schermo: massimo centrale punto generico primo punto di intensità nulla.

7 Punti di intensità nulla nella figura di diffrazione di una fenditura rettangolare di larghezza b. π sin bsinθ I media I 0 π bsinθ I punti di annullamento si trovano imponendo π I media = 0 bsinθ = mπ m = ± 1, ±,... sinθ = m b I punti di intensità nulla più prossimi al massimo centrale si osservano ad angoli: sinθ = ± se << b θ ± b b

8 Potere risolutore di una fenditura rettangolare Il potere risolutore è definito come il minimo angolo di separazione tra due onde piane le cui figure di diffrazione sono ancora visivamente separabili su uno schermo. Il criterio ideato da Rayleigh dice che: due figure di diffrazione sono risolvibili se come situazione limite il massimo centrale di una delle due cade sul primo zero dell altra. Cioè se l angolo di incidenza delle due onde piane differisce al minimo di: θ = se << b b

9 Diffrazione di Fraunhofer da fenditura circolare La trattazione matematica della diffrazione di Fraunhofer da fenditura circolare presenta difficoltà di calcolo eccessive. Si ricordi solo che la figura di diffrazione è costituita da anelli concentrici di luce e buio e che la posizione angolare del primo punto ad intensità nulla vale: sinθ = 1. D

10 Potere risolutore di una fenditura circolare Usando lo stesso criterio (quello di Rayleigh) utilizzato per la fenditura rettangolare otteniamo che l angolo minimo tra le direzioni di due onde piane le cui figure di diffrazione sono ancora separabili su uno schermo posto ad una grande distanza dalla fenditura vale: θ = 1. se << D D (Questo risultato è importantissimo per gli strumenti ottici!)

11 Potere risolutore dei sistemi ottici. Massimo ingrandimento di un microscopio. L immagine di un microscopio che si forma alla distanza minima della visione distinta δ deve essere al minimo ab=10 - cm. Le dimensioni AB dell oggetto sono limitate dalla diffrazione dell obiettivo. Infatti, i punti A e B hanno una immagine che è la figura di diffrazione dei fronti d onda che passano attraverso il foro costituito dall obiettivo.

12 Lente obiettivo D β Nel caso del microscopio AO = p f quindi AB = f tgα min fα min con α min = 1. vetro D AB AB = 1. D n vuoto vetro vetro vetro f = 1. f f tgβ 1 sinβ 3 vuoto L ingrandimento massimo diventa: M = ab AB 10 cm = 600 (per = 500nm vuoto 3 )

13 CASO DI DUE FENDITURE RETTANGOLARI

14 Se le fenditure sono identiche, la figura di interferenza è quella di sorgenti sincrone, con massimi di intensità dati dalla relazione sinθ = m m = 0, ± 1, ±,... a La distribuzione dell intensità della figura di interferenza è modulata dall intensità per la figura di di diffrazione di una fenditura singola, con punti di intensità nulla dati dalla relazione sinθ = m m = ±1, ±,... b a sinθ/ b sinθ/

15 Diffrazione prodotta da una schiera di fenditure rettangolari di larghezza b e distanza a. m sinθ = a m = 0, ± 1, ±,... b sinθ/ I(max) N

16 Reticolo di diffrazione Se su di uno schermo tracciamo un numero enorme N di fenditure larghe b e distanti a, tale struttura costituisce un reticolo di diffrazione. Esso serve a separare le diverse componenti monocromatiche di una radiazione luminosa. I massimi delle intensità sullo schermo si osservano ad angoli pari a sinθ = m a π a sinθ = mπ con m = 0, ± 1,.. la posizione dei massimi dipende da

17 Esercizio Un reticolo costituito da 5000 fenditure per centimetro è illuminato da una sorgente coerente di luce monocromatica (=6000 Å=0.6 µm). Determinare: 1) Il passo del reticolo a. ) Gli angoli corrispondenti ai massimi di interferenza, del primo e del secondo ordine. Soluzione a=10 8 /( ) Å= 10 4 Å= µm a sinθ=±m sinθ=± m/a m=1 θ 1 =17 gradi 7 primi m= θ =36 gradi 5 primi sinθ 1 m max a/ 3.3 m max =3 4 massimi per m=0,1,,3

18 Potere risolutore di un reticolo La capacità di un reticolo di produrre spettri utili a misurare con precisione le lunghezze d onda, è determinato da: a) la separazione θ tra righe spettrali che differiscono in lunghezza d onda di una piccola quantità, b) la larghezza o nitidezza delle righe θ dispersione D = = asin θ = m ( a sinθ ) d( m ) dθ d d = a cosθ dθ = md dθ D = = d m a cosθ Si dimostra che l ampiezza angolare di un picco di interferenza, cioè l intervallo compreso tra il max del picco e il primo minimo adiacente è dato da criterio di Rayleigh δθ = N a cosθ + Intensità Potere risolutore R = θ m R = = = D = Na cosθ = θ δθ a cosθ Nm θ

19 Pellicole sottili su vetro Sfasamento in riflessione Sfasamento in riflessione L onda incidente ha fase: L onda rifratta ha fase: La diff. di fase vale, per incidenza normale: Interferenza costr. Interferenza distr. a k a r k d. d. f. = ± π r + k a ± π a m π km a = na π na = mπ na = π na = (m + 1) π na a m a a a = (m + 1)