Trasformazioni - II. Classificazione delle trasformazioni in R 3. Rotazioni in R 3. Lezione 6 Maggio Lezione 6 maggio 2003
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- Dario Bartolini
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1 Corso di Laurea in Disegno Industriale Corso di Metodi Numerici per il Design Lezione 6 maggio Trasformazioni - II F. Caliò Classificazione delle trasformazioni in R (TITOLO) Rotazioni in R (TITOLO) Rotazione (definizione geometrica) (/) in geometria rotazione attorno ad un asse r (r asse di rotazione) è la corrispondenza biunivoca tra punti del piano tale che : a P appartenente ad r fa corrispondere se stesso a P non appartenente ad r fa corrispondere P appartenente ad un piano π perpendicolare ad r in un punto Q e contenente P. La distanza di P da Q coincide con la distanza di P da Q. L angolo formato dalle due semirette s ed s passanti rispettivamente da Q, P e da Q, P è α, angolo di rotazione, (si assume rotazione positiva se s segue s nel verso antiorario). La rotazione è dunque una trasformazione geometrica isometrica con una retta di punti uniti: asse di rotazione r. 4 Rotazione attorno agli assi coordinati (definizione algebrica) (/) in algebra una rotazione di angolo α attorno agli assi coordinati è la trasformazione lineare isometrica: dove α è l angolo di rotazione e A è (rispettivamente per l asse x, y, z) Rotazione attorno agli assi coordinati (definizione algebrica) (/) Si può dimostrare la corrispondenza fra le due definizioni geometrica e algebrica cos α sen α cos α sen α α cos sen α sen αcos α sen α cos α sen α cos α 5 6 Lezione 6 Maggio
2 Rotazione attorno ad un asse passante per O in algebra rotazione con asse passante per O è una isometria ottenuta attraverso: rotazione in modo da riportare l asse su uno degli assi coordinati rotazione rispetto all asse coordinato rotazione opposta a quella del primo passo Si può dimostrare che la rotazione algebrica così ottenuta è una rotazione geometrica. 7 Esempio ) (dalla definizione geometrica alla definizione algebrica) (/) ) Esempio di costruzione di una rotazione attorno = all asse y = t t R e angolo di rotazione α = π/ Rotazione intorno ad x di -π/4 (orientata positivamente per t crescente) Rotazione intorno ad z di π/ v v Rotazione intorno ad x di π/4 8 Immagine illustrativa dell esercizio z r y O x 9 Esempio ) (dalla definizione geometrica alla definizione algebrica) (/) Applicata al vettore 4 4 = Esempio ) (dalla definizione algebrica alla definizione geometrica) (/) ) Esempio di riconoscimento di una rotazione con A = È una affinità isometria diretta rotazione di angolo di rotazione α=π/ attorno alla retta di equazione = y = t t R Esempio ) (dalla definizione algebrica alla definizione geometrica) (/) Infatti: det(a)=-/+/+/+/=, è un affinità A è matrice ortogonale, la trasformazione è isometrica det(a)=, è una isometria diretta Lezione 6 Maggio
3 Esempio ) (dalla definizione algebrica alla definizione geometrica) (/) il sistema A x= x per la determinazione dei punti uniti ammette infinite soluzioni y + z = x x + y + z = y x + y + z = z = y = z y = z = y = t t R Rotazione attorno ad un asse non passante per O in algebra rotazione con asse non passante per O è una isometria Av+b=x ottenuta attraverso: traslazione che porta un punto P e dunque l intero asse in O rotazione rispetto all asse per O traslazione opposta a quella del primo passo Si può dimostrare che la rotazione algebrica così ottenuta è una rotazione geometrica. Se è una rotazione di asse passante per O, non sempre Av + b=x è una rotazione geometrica. 4 Esempio ) (dalla definizione geometrica alla definizione algebrica) (/4) Esempio ) (dalla definizione geometrica alla definizione algebrica) (/4) ) Esempio = di costruzione di una rotazione attorno y = t t R all asse (orientata positivamente per t crescente) e angolo di rotazione α = π/ Traslazione che porta il punto P(,,) asse in O e con esso l intero asse v v + 5 Il nuovo asse diviene t + = t t t Rotazione attorno al nuovo asse: A = y = t = t R 6 Esempio ) (dalla definizione geometrica alla definizione algebrica) (/4) Traslazione inversa a quella del primo passo v v + La trasformazione completa è v v Esempio ) (dalla definizione geometrica alla definizione algebrica) (4/4) dunque v v + x = y z 8 Lezione 6 Maggio
4 Esempio ) (dalla definizione algebrica alla definizione geometrica) (/) ) Esempio di riconoscimento di una rotazione È una affinità isometria diretta v v x + = y z rotazione di asse parallelo all asse z x = y = z = t 9 Esempio ) (dalla definizione algebrica alla definizione geometrica) (/) Infatti: det(a)=, è un affinità A è matrice ortogonale, la trasformazione è isometrica det(a)=, è una isometria diretta è rotazione di asse z e α=π/ Esempio ) (dalla definizione algebrica alla definizione geometrica) (/) il sistema A x+ b = x per la determinazione dei punti uniti ammette infinite soluzioni (asse di rotazione) y + = x x + = y z = z x = y = z = t Esempio ) (dalla definizione algebrica alla definizione geometrica) (/) ) Esempio di riconoscimento di una rotazione È una affinità isometria diretta glissorotazione v v x + = y z Esempio ) (dalla definizione algebrica alla definizione geometrica) (/) Infatti: det(a)=, è un affinità Esempio ) (dalla definizione algebrica alla definizione geometrica) (/) il sistema A x+ b = x per la determinazione dei punti uniti non ammette soluzioni A è matrice ortogonale, la trasformazione è isometrica det(a)=, è una isometria diretta è rotazione di asse z e α=π/ y = x x = y + z = z impossibile 4 Lezione 6 Maggio 4
5 Osservazioni conclusive sulla rotazione (/) nell esempio ) il vettore di traslazione è perpendicolare alla direzione dell asse di rotazione (rotazione) nell esempio ) il vettore è parallelo alla direzione dell asse di rotazione della (glissorotazione) se il vettore fosse obliquo rispetto alla direzione dell asse di rotazione della, avrebbe comunque una componente parallela alla direzione dell asse di rotazione della (glissorotazione) Osservazioni conclusive sulla rotazione (/) infatti : nell esempio ) il vettore di traslazione è e la direzione dell asse di rotazione i due vettori sono perpendicolari nell esempio ) il vettore di traslazione è e la direzione dell asse di rotazione i due vettori sono paralleli 5 6 Riflessioni in R (TITOLO) 7 Riflessione rispetto ad un piano (/4) in geometria una riflessione rispetto ad un piano (piano di riflessione) è la corrispondenza biunivoca tra punti dello spazio tale che: ad ogni punto P del piano di riflessione π corrisponde se stesso (piano di punti uniti) ad ogni punto P di uno dei due semispazi generati dal piano π corrisponde un punto P del semispazio opposto, collocato sulla perpendicolare r condotta da P a π in modo tale che il punto medio del segmento PP stia su π. Una riflessione rispetto ad un piano è dunque una trasformazione geometrica isometrica con un piano di 8 punti uniti Riflessione rispetto a un piano (/4) P π P y P M b b P x z 9 Riflessione rispetto ad un piano (/4) in algebra riflessione rispetto ad un piano passante per O, è la trasformazione isometrica : con ax+by+cz= piano di riflessione e ab A = ac ab a b + c bc ac bc a + b c Lezione 6 Maggio 5
6 Riflessione rispetto ad un piano (4/4) det(a)=- la matrice di riflessione è ortogonale la matrice di riflessione è simmetrica Si può dimostrare la corrispondenza fra le due definizioni geometrica e algebrica Casi particolari di riflessione (/) la matrice di riflessione rispetto al piano xy è A = la matrice di riflessione rispetto al piano yz è A = Casi particolari di riflessione (/) la matrice di riflessione rispetto al piano xz è A = Applicazione riflessione rispetto al piano xy 4 Esempio ) (dalla definizione geometrica alla definizione algebrica) (/) Esempio ) (dalla definizione geometrica alla definizione algebrica) (/) ) Esempio di costruzione di una riflessione rispetto al piano di equazione cartesiana -x+y= + + ( ) ( ) v v + x + = y z v v x + = y z 5 6 Lezione 6 Maggio 6
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