Controlli Automatici - Parte A

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1 Cognome: Nome: N. Matr.: Controlli Automatici - Parte A Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 8 giugno Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere più risposte corrette. I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno metà delle risposte esatte (punti 5.5 su 11), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova. 1. Quali dei seguenti sistemi sono semplicemente stabili? s+2 G(s) = s 2 (s+3)(2s+1) s 2 G(s) = (3s+1)(s 2 +4) s+2 G(s) = s(s 2 +1)(s+3) s+2 G(s) = s(3s+1)(s 2 4) 2. Il valore iniziale della risposta all impulso g(t) del sistema definito dalla funzione di trasferimento G(s) = 2s 2 8 (s 5)(2s+2) vale: g() = g() =.8 g() = 1 g() = 3. La risposta libera del sistema descritto dall equazione differenziale ÿ(t) 2ẏ(t) + 1y(t) = ẋ(t) 3x(t), con condizioni iniziali ẏ() = 3 e y() =, risulta: g(t) = e t sin(3t) g(t) = e t sin(3t) g(t) = e t e 9t g(t) = e t e 9t 4. Siano date due funzioni di trasferimento del secondo ordine G i (s) = disposti come in figura. Nella risposta al gradino i sistemi G 1 (s) e G 2 (s) sono caratterizzati dallo stesso sorpasso percentuale i sistemi G 1 (s) e G 2 (s) sono caratterizzati dallo stesso periodo delle oscillazioni il sistema G 1 (s) presenta una minore sovraelongazione rispetto a G 2 (s) il sistema G 2 (s) presentaun tempo di assestamentominore rispetto a G 1 (s) 1 (s σ i ) 2 +ωi 2, i = 1,2 con i poli 5. L equazione differenziale ÿ(t) + 4 cos(y(t)) = 2 x(t), dove x(t) è l ingresso e y(t) l uscita, è lineare non lineare stazionaria non stazionaria σ 2 σ 1 jω 2 jω 1 jω 1 jω 2

2 25 6. Ponendo la funzione di trasferimento G(s) = s(s+1)(s+5) 2 inretroazione(epostochequestasiastabile) l errore a regime per l ingresso X(s) = 8 s + 4 s 2 sarà: nullo costante e pari a.4 costante e pari a 1.2 infinito 7. Dato il sistema meccanico di figura composto da masse, molle e smorzatori, quale sarà l ordine della funzione di trasferimento tra ingresso F(t) e uscita v 2 (t): 1 B 1 M 1 v 1 (t) K 2 M 2 v 2 (t) F(t) Nell applicazione del criterio di Routh, le radici dell equazione ausiliaria che si ottiene quando una riga intera della tabella di Routh si annulla sono radici anche dell equazione caratteristica di partenza sono tutte radici a parte reale nulla sono radici simmetriche rispetto all origine del piano complesso 9. La massima sovraelongazione percentuale S% di un sistema del secondo ordine è S% = 1e π 1 δ 2 δ S% = 1e π 1 δ 2 δ S% = 1e πδ 1 δ 2 S% = 1e πδ 1 δ 2 1. Dalla sola conoscenza del diagramma di Bode delle ampiezze è possibile ricavare quello delle fasi? sempre solo se il sistema è a fase minima mai

3 Cognome: Nome: N. Matr.: Controlli Automatici - Parte A Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 8 giugno Esercizi Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti. I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno metà dei punti totali (11 su 22), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova. a) Determinare la trasformata di Laplace X i (s) dei seguenti segnali temporali x i (t): x 1 (t) = [4cos(5t) 6t]e 3t, x 2 (t) = d dt [3e 2t sin(5t)] b) Calcolareanaliticamente la risposta al gradinounitario y i (t) delle seguenti funzioni di trasferimento G i (s): G 1 (s) = s2 +15s+8 s 2 +5s+4 e 2s, G 2 (s) = 5s2 18s+25 s 2 6s+25 c) Dato il seguente schema a blocchi: F X(s) A B Y(s) C D E utilizzando la formula di Mason calcolare la funzione di trasferimento G(s) che lega l ingresso X(s) all uscita Y(s). d) Data la funzione di trasferimento L(s) = R(s)G(s) del sistema che si ottiene ponendo in cascata R(s) =.2 1s+1.4s+1 (s 4) e G(s) = 2 (s+.1)(s+2)(s 2 +64s+8) disegnare l andamento qualitativo della risposta y(t) a un gradino di ampiezza 1, x(t) = 1. Calcolare il valore a regime y dell uscita y(t) del sistema, stimare qualitativamente il tempo di assestamento T a del sistema e il periodo T ω dell eventuale oscillazione smorzata.

4 e) Sia dato il seguente sistema retroazionato: d(t) r(t) e(t) K G(s) (s 3) 4 s(s+3)(s+2) y(t) e.1) Determinare per quali valori del parametro K il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. e.2) Posto K = 1, calcolare l errore a regime e quando sul sistema retroazionato agiscono contemporaneamente il segnale di riferimento r(t) = 2+2t e il disturbo d(t) = 3sin(5t). e.3) Tracciare (nello schema fornito in allegato) i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s). e.4) Tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato per valori negativi del parametro K. Determinare esattamente gli asintoti, il centro degli asintoti, le intersezioni con l asse immaginario e i corrispondenti valori del guadagno K. f) Si faccia riferimento al diagramma di Bode delle ampiezze della funzione G(s) mostrato in figura. 8 6 Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s] f.1) Ricavare l espressione analitica della funzione G(s). f.2) Valutare in maniera approssimata la risposta a regime y (t) del sistema G(s) quando in ingresso è presente il segnale: x(t) = 2 sin(4t+π/2).

5 Cognome: Nome: N. Matr.: 8 Diagrammi di Bode Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s]

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7 Cognome: Nome: N. Matr.: Controlli Automatici - Parte A Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 8 giugno Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere più risposte corrette. I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno metà delle risposte esatte (punti 5.5 su 11), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova. 1. Quali dei seguenti sistemi sono semplicemente stabili? s+2 G(s) = s 2 (s+3)(2s+1) s 2 G(s) = (3s+1)(s 2 +4) s+2 G(s) = s(s 2 +1)(s+3) s+2 G(s) = s(3s+1)(s 2 4) 2. Il valore iniziale della risposta all impulso g(t) del sistema definito dalla funzione di trasferimento G(s) = 2s 2 8 (s 5)(2s+2) vale: g() = g() =.8 g() = 1 g() = 3. La risposta libera del sistema descritto dall equazione differenziale ÿ(t) 2ẏ(t) + 1y(t) = ẋ(t) 3x(t), con condizioni iniziali ẏ() = 3 e y() =, risulta: g(t) = e t sin(3t) g(t) = e t sin(3t) g(t) = e t e 9t g(t) = e t e 9t 4. Siano date due funzioni di trasferimento del secondo ordine G i (s) = disposti come in figura. Nella risposta al gradino i sistemi G1 (s) e G 2 (s) sono caratterizzati dallo stesso sorpasso 1 (s σ i ) 2 +ωi 2, i = 1,2 con i poli percentuale jω 2 i sistemi G 1 (s) e G 2 (s) sono caratterizzati dallo stesso periodo delle oscillazioni jω 1 il sistema G 1 (s) presenta una minore sovraelongazione rispetto a G 2 (s) il sistema G2 (s) presentaun tempo di assestamentominore rispetto σ 2 σ 1 jω 1 a G 1 (s) jω 2 5. L equazione differenziale ÿ(t) + 4 cos(y(t)) = 2 x(t), dove x(t) è l ingresso e y(t) l uscita, è lineare non lineare stazionaria non stazionaria

8 25 6. Ponendo la funzione di trasferimento G(s) = s(s+1)(s+5) 2 inretroazione(epostochequestasiastabile) l errore a regime per l ingresso X(s) = 8 s + 4 s 2 sarà: nullo costante e pari a.4 costante e pari a 1.2 infinito 7. Dato il sistema meccanico di figura composto da masse, molle e smorzatori, quale sarà l ordine della funzione di trasferimento tra ingresso F(t) e uscita v 2 (t): 1 B 1 M 1 v 1 (t) K 2 M 2 v 2 (t) F(t) Nell applicazione del criterio di Routh, le radici dell equazione ausiliaria che si ottiene quando una riga intera della tabella di Routh si annulla sono radici anche dell equazione caratteristica di partenza sono tutte radici a parte reale nulla sono radici simmetriche rispetto all origine del piano complesso 9. La massima sovraelongazione percentuale S% di un sistema del secondo ordine è S% = 1e π 1 δ 2 δ S% = 1e π 1 δ 2 δ S% = 1e πδ 1 δ 2 S% = 1e πδ 1 δ 2 1. Dalla sola conoscenza del diagramma di Bode delle ampiezze è possibile ricavare quello delle fasi? sempre solo se il sistema è a fase minima mai

9 Cognome: Nome: N. Matr.: Controlli Automatici - Parte A Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 8 giugno Esercizi Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti. I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno metà dei punti totali (11 su 22), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova. a) Determinare la trasformata di Laplace X i (s) dei seguenti segnali temporali x i (t): x 1 (t) = [4cos(5t) 6t]e 3t, x 2 (t) = d dt [3e 2t sin(5t)] X 1 (s) = 4(s+3) (s+3) (s+3) 2, X 15s 2(s) = (s+2) b) Calcolareanaliticamente la risposta al gradinounitario y i (t) delle seguenti funzioni di trasferimento G i (s): G 1 (s) = s2 +15s+8 s 2 +5s+4 e 2s, G 2 (s) = 5s2 18s+25 s 2 6s+25 Trascurando inizialmente il termine e 2s che equivale a un ritardo temporale, la risposta Y 1 (s) vale Y 1 (s) = G 1 (s) 1 s = s2 +15s+8 s 3 +5s 2 +4s = 2 s + 2 s+1 3 s+4 di conseguenza l andamento temporale (ovvero l anti-trasformata di Laplace), tenendo in conto il ritardo temporale di 2 s rappresentato da e 2s, risulta { t < 2 y 1 (t) = 2 3e 4(t 2) +2e (t 2) t 2. La risposta Y 2 (s) = G 2 (s) 1 s pertanto può essere decomposta in fratti semplici come Y 2 (s) = 1 s + 2 s 3 4j + 2 s 3+4j y 2 (t) = 1+4e 3t cos(4t) c) Dato il seguente schema a blocchi: F X(s) A B Y(s) C D E

10 utilizzando la formula di Mason calcolare la funzione di trasferimento G(s) che lega l ingresso X(s) all uscita Y(s). G(s) = Y(s) X(s) = AB +FB(1+AC) 1+AC +BD +ABE +ABCD d) Data la funzione di trasferimento L(s) = R(s)G(s) del sistema che si ottiene ponendo in cascata R(s) =.2 1s+1.4s+1 (s 4) e G(s) = 2 (s+.1)(s+2)(s 2 +64s+8) disegnare l andamento qualitativo della risposta y(t) a un gradino di ampiezza 1, x(t) = 1. Calcolare il valore a regime y dell uscita y(t) del sistema, stimare qualitativamente il tempo di assestamento T a del sistema e il periodo T ω dell eventuale oscillazione smorzata. Sostituendo in L(s) le espressioni di G(s) e R(s) e riscrivendo la funzione nella forma poli-zeri si ottiene (s 4)(s+.1) G(s) = 1 (s+46.97)(s+25)(s+17.3)(s+2)(s+.1) da cui si evidenzia come, effettuata la cancellazione tra il polo e lo zero stabile in.1, il polo dominante (reale) sia p = 2 ma sia presente anche uno zero a fase nonminima (cioè positivo) in 4 che determina una sottoeleongazione iniziale. Di conseguenza la risposta al gradino avrà un andamento qualitativo di tipo aperiodico come mostrato in figura y.8.6 y(t).4.2 T a t [s] Il valore a regime dell uscita per un gradino in ingresso di ampiezza A = 1 risulta y = AG() = 1, il tempo di assestamento T a è T a = 3 Re{p} = 3 = 1.5 s. 2 mentre il periodo delle oscillazioni non può essere calcolato: T ω =.

11 e) Sia dato il seguente sistema retroazionato: d(t) r(t) e(t) K G(s) (s 3) 4 s(s+3)(s+2) y(t) e.1) Determinare per quali valori del parametro K il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. L equazione caratteristica del sistema retroazionato è (s 3) 1+K4 s(s+3)(s+2) = s3 +23s 2 +(4K +6)s 12K = La corrispondente tabella di Routh è la seguente 3 1 4K K 1 14K +138 K > = K K < Il sistema retroazionato è asintoticamente stabile per: K = = < K < La pulsazione ω corrispondente al valore limite K è: ω = 12K 23 = rad/s e.2) Posto K = 1, calcolare l errore a regime e quando sul sistema retroazionato agiscono contemporaneamente il segnale di riferimento r(t) = 2+2t e il disturbo d(t) = 3sin(5t). Dato che il sistema è lineare e soggetto quindi alla sovrapposizione degli effetti, l errore E(s), espresso mediante la trasformata di Laplace, risulterà: E(s) = E r (s)+e d (s) dove E r (s) è l errore dovuto al riferimento mentre E d (s) è l errore dovuto al disturbo. L errore e r ( ) dovuto al riferimento costante sarà nullo, essendo il sistema considerato di tipo 1, mentre è necessario calcolare il contributo dovuto all ingresso a rampa e r, = 2 K v = 1 essendo K v = lim s skg(s) = 2 dove si è assunto, come specificato nel testo, K = 1. L errore dovuto al disturbo d(t) è dato da: E d (s) = F d (s)d(s) dove D(s) è la trasformata di Laplace di d(t) e F d (s) è la funzione di trasferimento tra D(s) e E d (s) che vale F d (s) = G(s) 1+KG(s) = 4s+12 s 3 +23s 2 +2s+12. Essendo d(t) sinusoidale è possibile sfruttare il concetto di risposta armonica ottenendo e d (t) = 3 F d (j5) sin(t+arg{f d (j5)}) con F d (j5) =.5118 e arg{f d (j5)} = o = rad. In conclusione e = e r +e d = sin(5t+2.563).

12 e.3) Tracciare (nello schema fornito in allegato) i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s). Vedi figura in fondo. e.4) Tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato per valori negativi del parametro K. Determinare esattamente gli asintoti, il centro degli asintoti, le intersezioni con l asse immaginario e i corrispondenti valori del guadagno K. Dal momento che la costante di guadagno del sistema è positiva, per tracciare il luogo delle radici richiesto (K < ) è necessario prendere in considerazione le regole per valori negativi del guadagno. Essendo 2 il grado relativo del sistema, ci saranno due asintoti che sono disposti orizzontalmente lungo l asse reale (σ a = 13). Dall analisi svolta mediante il criterio di Routh, risulta che il luogo delle radici attraversa l asse immaginario in corrispondenza di ±j Il luogo delle radici per K < è riportato nella seguente figura. Root Locus Imaginary Axis Real Axis f) Si faccia riferimento al diagramma di Bode delle ampiezze della funzione G(s) mostrato in figura.

13 8 6 Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s] f.1) Ricavare l espressione analitica della funzione G(s). G(s) = 3( 5s+1)(.1s+1) s(.25s 2 +.2s+1) = 6(s.2)(s+1) s(s 2 +.8s+4) dove il valore µ = 3 si determina, per esempio, calcolando il modulo β dell approssimante G (s) = µ s in corrispondenza della pulsazione ω =.2 rad/s (il segno dipende dal fatto che alla fase iniziale ϕ = 27 o contribuiscono il polo nell origine e il guadagno statico negativo): G (s) s=.2j = µ = µ = β 43.5 db 149 µ 3. s s=.2j.2 In corrispondenza di ω =.2 rad/s è presente uno zero reale a parte reale positiva. In ω = 2 rad/s è presente una coppia di poli complessi coniugati (quindi con ω n = 2) stabili il cui coefficiente di smorzamento vale: δ = 1 1 2M ωn =.2. La distanza M ωn 8 db 2.5 si legge dal diagramma di Bode dei moduli. Infine, in corrispondenza di ω = 1 rad/s è presente un zero stabile. f.2) Valutare in maniera approssimata la risposta a regime y (t) del sistema G(s) quando in ingresso è presente il segnale: x(t) = 2 sin(4t+π/2). Leggendo il gudagno statico di G(s) e il modulo e argomento di G(jω) in ω = 4 rad/s direttamente dai diagrammi di Bode si trova y (t) = 2 G(j4) sin(4t+arg{g(j4)}+π/2)+k 14sin(4t.8797)+K dove la costante K è dovuta alla presenza del polo nell origine.

14 Cognome: Nome: N. Matr.: 8 Diagrammi di Bode Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s]