Funzioni, espressioni e schemi logici

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1 Funzioni, espressioni e schemi logici

2 Il modello strutturale delle reti logiche Configurazioni di n bit che codificano i simboli di un insieme I i i n F: I S U u u m Configurazioni di m bit che codificano i simboli di un insieme U Configurazioni di k bit che codificano i simboli di un insieme S y y k G: I S S memoria memoria Y Y k Configurazioni di k bit che codificano i simboli di un insieme S Rete logica combinatoria nessuna retroazione Rete logica sequenziale asincrona retroazioni dirette Rete logica sequenziale sincrona retroazioni con flip-flop

3 Reti combinatorie

4 Rete combinatoria: comportamento e struttura i i n G 3 F: I G U 2 G sistema di m funzioni di n variabili binarie G k u u i u m = F (i,, i n ) = F i (i,, i n ) = F m (i,, i n ) Rete logica combinatoria - I valori dei segnali d uscita dipendono solo dai valori contemporanei dei segnali d ingresso

5 comportamento-espressione-struttura Espressione Comportamento Struttura z= F(x,, x n ) sintesi x x 2 x 3 G 3 G 2 G z analisi G k x n

6 Funzioni booleane

7 Funzioni di variabili binarie i i n rete combinatoria u = F (i, i 2,, i n ) u m =F m (i, i 2,, i n ) Funzione completa di n variabili binarie z = F(x, x 2,, x n ) Insieme di 2 n coppie ordinate {x, z x B n, z B} formate da una configurazione di valori delle variabili indipendenti x i e dal corrispondente valore della variabile dipendente z Il numero di distinte funzioni di n variabili binarie è finito 2 n Φ (n) = 2 4 funzioni di variabile, 6 funzioni di 2 variabili, 256 funzioni di 3 variabili, funzioni di 4 variabili, ecc Funzione incompleta o non completamente specificata Il dominio è un sottoinsieme di B n Esempio: BCD 7 segmenti

8 Tabelle della verità Tabella della verità - Descrizione tabellare di una funzione di variabili binarie n+ colonne 2 n righe x x 2 x n F(x, x 2,, x n ) oppure oppure - oppure oppure oppure oppure oppure - oppure - oppure - oppure - Funzioni incomplete oppure oppure oppure - oppure -

9 Il Calcolo delle proposizioni Proposizioni: significato vero / falso Connettivi: e / o / non P, Q : proposizioni Assunzioni: non P è vero se e solo se P è falso P e Q è vero se e solo se P è vero e Q è vero P o Q è vero se e solo o P è vero, o Q è vero, o lo sono entrambe

10 Funzioni di una variabile x f f 3 f f 2 4 funzioni di una variabile f falso f vero 3 f x non x f 2

11 Funzioni di due variabili x x f f 5 f 3 f 5 f 2 f f f 4 f 7 f 8 f 9 f 6 f 3 f 2 f f 4 6 funzioni di due variabili f falso f 5 vero f 3 x f 5 x f 2 non x f non x f x e x f 4 non (x e x ) f 7 x o x f 8 non (x o x ) f 9 (x e x ) o (non x e non x ) f (non x 6 e x ) o (x e non x )

12 Porte logiche Strutture e comportamenti elementari (3) Strutture e comportamenti elementari (4) Il gate or Il gate and realizza f : x e x realizza f Contatti in parallelo 7 : x o x Contatti in serie I I2 AB Gate o porte logiche : aperto aperto aperto A I B aperto chiuso aperto funzione and funzione or chiuso aperto aperto I - componenti I2 primitivi del livello logico che realizzano chiuso chiuso chiuso I2 alcune delle funzioni di una o di due variabili; 2- strutture con uno o due interruttori disposti Il gate nor Il not elettronico in serie/parallelo ed azionati da comandi che possono x I L essere scambiati senza modificare il comportamento z A B + E realizza f 5 : non x x 2 I I2 AB aperto aperto aperto aperto chiuso chiuso chiuso aperto chiuso chiuso chiuso chiuso realizza + E f 8 : non (x o x ) volt oppure +E volt V i V u +E volt oppure volt funzione not V i V u + E + E V V2 V u NB Gli interruttori in parallelo possono essere più di due funzione nor V V 2 V u L L H L H L H L L H H L

13 Dualità tra and e or () Logica positiva I I2 AB I I2 AB Il gate and Il gate or Due differenti astrazioni! {aperto =, chiuso = } {aperto =, chiuso = } A Contatti in serie I I2 B I I2 AB aperto aperto aperto aperto chiuso aperto chiuso aperto aperto chiuso chiuso chiuso

14 Dualità tra and e or (2) Logica positiva I I2 AB I I2 AB Il gate or Il gate and Due differenti astrazioni! {aperto =, chiuso = } {aperto =, chiuso = } Contatti in parallelo A I I2 B I I2 AB aperto aperto aperto aperto chiuso chiuso chiuso aperto chiuso chiuso chiuso chiuso

15 Dualità tra ex-or e ex-nor (3) Logica positiva I I2 AB I I2 AB {alto =, basso = } {alto =, basso = } {aperto =, chiuso = } {aperto =, chiuso = } deviatore D deviatore D2 D D2 AB alto alto aperto basso alto chiuso alto basso chiuso basso basso aperto

16 Operazioni logiche

17 Funzioni e operazioni Un operazione è detta logica se è la descrizione matematica di una funzione booleana di una o di due variabili f(x) = *(x) f(x) = (x)* NOTAZIONI SIMBOLI f(x,y) = *(x,y) f(x,y) = x * y = f è descritta da * operatore

18 Identità : z = x Regole: Funzione: x z Realizzazione: = = x z Complementazione : x, x, x Regole: Funzione: x z Realizzazione: = = x z = : il complemento di vale

19 Somma logica: x + y, x y Regole: Funzione: x y z Realizzazione: + = + = x + = z + = y Prodotto logico: x y, xy, x y Regole: Funzione: x y z Realizzazione: = = x = z = y

20 Somma modulo due: x y Regole: Funzione: x y z Realizzazione: = = x = z = y Equivalenza: x y Regole: Funzione: x y z Realizzazione: = = x = z = y

21 Nand (operazione di Shaffer): z = x y Regole: Funzione: x y z Realizzazione: = = x = z = y Nor (operazione di Pierce): z = x y Regole: Funzione: x y z Realizzazione: = = x = z = z

22 Operazioni e Espressioni f (x) = x f 7 (x,y) = x + y f (x,y) = x y f 6 (x,y) = x y f 2 (x) = x f 8 (x,y) = x y f 4 (x,y) = x y f 9 (x,y) = x y Espressione logica - Stringa formata da costanti, bit, operatori logici e parentesi, in accordo con le seguenti regole: le costanti e sono espressioni le variabili binarie sono espressioni se x è un espressione, allora anche (x) è un espressione se x e y sono espressioni, allora lo sono anche (x+y), (xy), (x y), (x y), (x y), (x y) Esempi: (x y) (z w) a + (bc) (x y)

23 Valutazione di una espressione Valutazione di una espressione di n variabili per una n-pla di valori - Si sostituisce ad ogni variabile il valore che le compete 2 - Partendo dalle parentesi più interne si sostituisce ogni operazione con il suo risultato fino ad ottenere o la costante o la costante Esempio: E(a,b,c) = a+(bc) per a=, b=, c= = +() = + = N di valutazioni - Una espressione di n variabili può essere valutata in 2 n modi diversi

24 Espressioni e Funzioni Le 2 n valutazioni di una espressione E(x, x 2,, x n ) creano 2 n coppie x, z {x, z x B n, z B} Esempio: E(a,b,c) = a+(bc) a b c E E(,,) = +() = E(,,) = +() = E(,,) = +() = E(,,) = +() = E(,,) = +() = E(,,) = +() = E(,,) = +() = E(,,) = +() = T) Ogni espressione descrive una e una sola funzione completa

25 Equivalenza tra espressioni Metodi per dimostrare l equivalenza: induzione perfetta manipolazione algebrica Espressioni equivalenti - Due espressioni E, E 2 sono equivalenti, e si scrive E = E 2, se e solo se descrivono la stessa funzione Funzioni di n variabili F Espressioni di F Espressioni di n variabili

26 Proprietà T2) proprietà commutativa (+,,,,, ) a * b = b * a T3) proprietà associativa (+,, ) (a * b) * c = a * (b * c) = a * b * c T4) complementi: (x + y) = x y (x y) = x y NB il pallino! (x y) = x y

27 Espressioni e Schemi logici T5) Ogni espressione descrive una struttura formata da gate connessi in serie e/o in parallelo Per individuare lo schema descritto da una espressione: - si parte dalle parentesi più interne e si traccia il simbolo del gate corrispondente all operazione, collegandone gli ingressi ai segnali esterni; 2 - si procede in modo analogo con le altre coppie di parentesi, considerando via via come ingressi dei nuovi gate anche le uscite di quelli già tracciati

28 Esempi a+(bc) b c a (((a) + b) c) c b a NB - Lo schema logico di una espressione non può avere segnali in retroazione (l uscita di ogni gate dipende da segnali d ingresso e/o da uscite di gate disposti a monte )

29 Schemi logici e Espressioni a c = a e = c + d b d = b f = c + b g = a + d z = e f g = (c+d)(c+b)(a+d) = (a +b )(a +b)(a+b )