Testi d Esame sulla Geometria Euclidea

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1 Testi d Esame sulla Geometria Euclidea Nota: ove richiesta la sostituzione dei parametri a e b, utilizzeremo i valori a = e b = 0 (0 < b 9 nel caso in cui il valore 0 comprometta la risolubilità dell esercizio). 17/01/005 ) Sia π un piano nello spazio. Se r è una retta parallela a π ed s una retta incidente e perpendicolare ad r, allora: - s deve essere perpendicolare a π? - s deve essere parallela a π? Soluzione: - NO: le due rette posso essere perpendicolari ed entrambe contenute in π - NO: r può essere perpendicolare sia alla retta s che al piano π 07/06/007 1) Se un triangolo isoscele avesse i lati rispettivamente di 16cm, 7cm e 7cm, quale potrebbe essere la sua area? Soluzione: Un triangolo siffatto non esiste: sappiamo che la somma delle lunghezze di due lati deve essere maggiore della lunghezza del terzo lato e nel nostro caso 7cm + 7cm = 14cm < 16cm. /01/008 1) Sia ABC un triangolo isoscele, con AB = BC = (5A + 5)m ed il perimetro di (16a + 16)m. Determinare l area di ABC. 1

2 Soluzione: AB = BC = (5 + 5)m = 0m P = ( )m = 64m. Base AC = P AB = 64m 40m = 4m Altezza h = AB ( AC Area = AC h = 19m ) = 0 m 1 m = 56m = 16m ) Una torre cilindrica ha altezza h = 15m, raggio di base r = 5dm, ed è sormontata da un tetto conico con lo stesso raggio di base e altezza (+a)m. Qual è il volume totale della torre? Soluzione: r = 5dm =.5m h cono = ( + )m = 5m V cilindro = π r h cilindro = 9.75πm V cono = π r h cono = π 1.5m V tot = V cilindro + V cono 7.08m )Sia C una circonferenza di raggio r = (1 + a + b)cm. circonferenza di raggio triplo. Sia C una,a) È vero che C ha lunghezza tripla di C?,b) È vero che il cerchio C ha area tripla del cerchio C?,c) Se C e C sono concentriche, qual è l area della corona circolare fra loro compresa? Soluzione: Raggio C: r = ( )cm = 4cm Raggio C : r = r = 1cm,a) Sì: l C = rπ l C = r π = (r)π = (rπ) = l C,b) No: A C = r π A C = r π = (r) π = 9r π = 9A C,c) Area corona circolare: A C A C = 9A C A C = 8A C = 8r π = 8 16 π cm = 18π cm 401.9cm

3 16/09/008 4) Sia ABCd un trapezio rettangolo, con base minore AB = (a + )m, base maggiore CD = (7a+7)m, lato obliquo BD = (5a+5)m ed il perimetro di (18a + 18)m. Determinare l area di ABCD e la misura della diagonale CB. Soluzione: AB = ( + )m = 1m CD = (7 + 7)m = 8m BD = (5 + 5)m = 0m P = ( )m = 7m Altezza: AC = P AB BD CD = ( )m = 1m Area: A = (CD+AB)AC = 40m Diagonale BC: BC = AB + AC = 1 m = 1 m 16.9m ) Facciamo ruotare di 60 un triangolo rettangolo intorno al suo cateto maggiore. Se un cateto misura 1cm e l ipotenusa 1cm, quale sarà il volume del solido ottenuto? È più o meno di 1dm? Soluzione: Il solido di rotazione che otteniamo à un cono. Calcoliamo l altro cateto per vedere qual è il maggiore: Volume del cono: c = 1 1 cm = 5cm = 5cm V = π 5 1 cm = 100π cm 14cm Poiché 1dm = 1000cm V < 1dm 08/06/009 1) Sia ABCD un trapezio rettangolo con altezza AB = 16cm, SC = (10 + a)cm e BD = ( + a)cm. Determinare il volume e la superficie totale del solido ottenuto ruotando ABCD di 60 intorno alla base maggiore. A C B D

4 Soluzione: AC = (10 + )cm = 1cm BD = ( + )cm = 5cm Il solido di rotazione che otteniamo è l unione di un cilindro con un cono. h cono = BD AC = 1cm V cono = π AB h cono = 104π cm V cilindro = π AB AC = 8π cm V tot = V cono + V cilindro = 45π cm cm CD = (BD AC) + AB = 400cm = 0cm ATTENZIONE: la superficie totale del solido si ottiene sommando la superficie laterale del cono, la superficie laterale del cilindro E L AREA DI BASE! S laterale cono = π AB CD = 0πcm S laterale cilindro = π AB AC = 416πcm A base = π AB = 56πcm S tot = S laterale cono + S laterale cilindro + A base = 99πcm cm ) Posso mettere più gelato in un bicchiere da 0. l (= 0.dm ) oppure riempiendo un cono che ha altezza h = 1cm e raggio di base r = 4cm? Soluzione: Calcoliamo il volume del cono: V = π r h = 64πcm = π dm dm più gelato nel cono! 17/06/009 1) Sia ABC un triangolo rettangolo con cateti AB = (1a)cm e BC = (16a)cm. Determinare il volume e la superficie totale del solido ottenuto ruotando ABC di 60 intorno al cateto maggiore. Soluzione: AB = 1 cm = 6cm BC = 16 cm = 48cm Calcoliamo l ipotenusa: AC = AB + BC = cm = 600cm = 60cm V = π 6 48cm = 076πcm cm S tot = S laterale + A base = π AB AC + π AB = 160πcm + 196πcm = 456πcm cm ) Posso mettere più acqua in un bidone cilindrico che ha altezza h = 1.m e raggio di base r = 0cm o in un cassone cubico di lato 70cm? 4

5 Soluzione: h = 1.m = 10cm V cilindro = πr h = πcm = 910cm V cubo = l = 4000cm posso mettere più acqua nel cassone cubico! 4) Un triangolo isoscele ha la base di 10b cm e i due lati uguali di 10b cm. Determinarne l area. Soluzione: (prendo b = 7) AB = 70cm, BC = 910cm Calcolo l altezza del triangolo: ( ) AB h = BC = cm 909. A = AB h = cm 5)Se due rette nello spazio tridimensionale non si incontrano, posso dire che sono parallele? Soluzione: NO: ad esempio, potrebbero essere due rette sghembe. 01/06/010 7) Sia ABC un triangolo rettangolo isoscele, retto in C, con AC = CB ed AB = (a + 1)cm. Determinare l area di ABC. Soluzione: AB = ( + 1)cm = 8cm AC = CB = x x = AB x x = AB x x = AB x = AB x = AB = cm AC = cm A = AC = cm = 16cm 8)Un prisma a base quadrata ha altezza h = m e lato di base l = (a+4)cm. Contiene più o meno acqua di una cisterna cilindrica della stessa altezza e raggio di base (a + )cm? Soluzione: h = m = 00cm l = ( + 4)cm = 10cm r = ( + )cm = 5cm V prisma = l h = 0000cm V cilindro = π r h = π 5 00cm = 5000πcm 15700cm contiene più acqua il prisma! 5

6 10) Sia ABCD un rettangolo, la cui base AB è pari a 4(a + 1)cm e l altezza BC è 1/4 di AB. È vero che la sua area è pari a quella di un quadrato il cui lato è volte BC? Soluzione: AB = 4( + 1)cm = 96cm BC = 1 AB = 4cm 4 A rettangolo = AB BC = 04cm l = BC = 48cm A quadrato = l = 04cm le due aree sono uguali! 11) Dire, giustificando la risposta, se sono vere o false le frasi seguenti: 11.a) In un poligono regolare tutti gli angoli interni sono ottusi. 11.b) Ogni rettangolo è un poligono regolare. 11.c) Nessun rettangolo può essere un poligono regolare. 11.d) Esistono poligoni regolari i cui angoli interni sono acuti. 11.e) Esistono dei rombi che sono poligoni regolari. Soluzione: 11.a) Falso: il triangolo equilatero è un poligono regolare e i suoi angoli interni misurano b) Falso: solo il quadrato è sia un rettangolo che un poligono regolare. 11.c) Falso: il quadrato è sia un rettangolo che un poligono regolare. 11.d) Vero: il triangolo equilatero è un poligono regolare con gli ancoli interni acuti 11.e) Vero: il quadrato è un caso particolare di rombo ed è un poligono regolare. 6

7 /06/010 6) Sia ABC un triangolo isoscele, con AB = BC = 10(a + 1)cm ed il perimetro di.(a + 1)dm. Determinare l area di ABC. Soluzione: AB = BC = 10( + 1)cm = 40cm P =.( + 1)dm = 1.8dm = 18cm Calcolo la base: AC = P AB = 18cm 80cm = 48cm Calcolo l altezza: ( ) AC h = BC = 40 4 cm = 104cm = cm A = AC h = 768cm 7) Una cisterna cilindrica ha altezza h = 105(b + )m e raggio di base r = 0(b + )cm. Se è piena d acqua, quanti contenitori cilindrici di altezza h = 0(b + )cm e raggio di base r = (b + )dm si possono da esso riempire? Soluzione: h = 1.5(0 + )m = m = 00cm r = 0(0 + )cm = 60cm h = 0(0 + )cm = 60cm r = (0 + )dm = dm = 0cm Calcoliamo i rispettivi volumi: V V V = π r h = π cm = πcm V = π r h = π 0 60 cm = 4000πcm = 45 posso riempire 45 cisterne! 8) Considerare un poligono regolare di (a + b + ) lati. I suoi angoli sono ottusi? Misurano più o meno di 10? Soluzione: Numero di lati: n=( ) = 6 α = ( 1 n) 180 = ( 1 6) 180 = 180 = 10 in questo caso, gli angoli interni di un poligono regolare con 6 lati (esagono) misurano esattamente 10. 9) Sia ABC un triangolo rettangolo in A di cateti AC = 5(a + 1)cm e AB = 1(a + 1)cm. Determinare la superficie del solido ottenuto ruotando ABC di 60 intorno al cateto minore. 7

8 Soluzione: AC = 5( + 1)cm = 0cm AB = 1( + 1)cm = 48cm Ruoto attorno ad AC e ottengo un cono. Calcolo l ipotenusa del triangolo: BC = AC + AB = cm = 704cm = 5cm S tot = S laterale + A base = π AB BC + π AB = 496πcm + 04πcm = 4800πcm 1507cm 17/1/010 ) Mettere del gelato in un cono di altezza h = 1cm e raggio di base r = 5cm, riempiendolo. Ne avrò più o meno di un terzo di litro (1 litro = 1dm )? Soluzione: Calcolo il volume del cono: V = π r h = ne ho meno di un litro! π 5 1 cm = 100πcm 14cm 0.14cm 4) Determinare l ampiezza di un angolo interno di un poligono regolare di 1 lati. Soluzione: n = 1 α = ( 1 n) 180 = ( 1 1) 180 = ( 1 6) = = 150 5) Se due triangoli hanno i tre angoli congruenti, si può affermare che siano congruenti? Soluzione: NO: per essere congruenti i triangoli devono avere anche i lati congruenti! Infatti, ad esempio, potrei avere due triangoli equilateri con lati diversi e non sono congruenti! /06/011 9) Sia ABC un triangolo equilatero, di lato AB = 10cm. Determinare il volume Del solido ottenuto ruotando di 60 il triangolo ABC attorno ad un suo lato. Soluzione: Il solido di rotazione che otteniamo è un doppio cono unito per le basi. 8

9 Calcolo l altezza di ABC: ( ) AB h = CH = AB = 75cm = 5 cm Osserviamo che posso calcolare metà del volume del solido considerando il cono ottenuto ruotando il triangolo AHC attorno ad AH. V solido = V cono = π CH ( AB ) = 50πcm 785cm 10) Sia ABCD un quadrilatero. Dire, motivando la risposta, se siano vere o false le frasi seguenti: - Se AB, CD sono paralleli, allora AB = CD. - Il quadrilatero può avere due angoli di Il quadrilatero può avere tre angoli di Se il quadrilatero ha due angoli retti, allora è un rettangolo. Soluzione: - Falso: ad esempio un trapezio isoscele ha due lati opposti paralleli, ma non sono uguali. - Vero: sappiamo che la somma degli angoli interni di un quadrilatero è 60. La somma degli altri due angoli è quindi = Falso: avrei 10 + α(> 0 ) > Falso: ad esempio il trapezio rettangolo ha due angoli retti, ma non è un rettangolo. 04/07/011 7) Sia ABCD il trapezio rettangolo in figura, ove: CD = 5(a + 1)cm, AC = 6(a + 1)cm e BD = (9a + 9)cm. Determinare area e perimetro di 9

10 ABCD. A C B D Soluzione: CD = 5( + 1)cm = 0cm AC = 6( + 1)cm = 4cm BD = (9 + 9)cm = 6cm Calcoliamo l altezza del trapezio: AB = h = CD (BD AC) = 0 1 cm = 16cm P = AB + BD + CD + AC = 16cm + 6cm + 0cm + 4cm = 96cm A = (BD+AC) AB = (6+4) 16 cm = 480cm 8)Posso mettere più gelato in un bicchiere da 0.l (= 0.dm ) oppure riempiendo un cono che ha altezza h = 0.1m e raggio di base r = 0.4dm? Soluzione: h = 0.1m = 1.dm Calcolo il volume del cono: contiene più gelato il cono! V = π (0.4) 1. dm dm 10) Esiste un poligono regolare con gli angoli di 150? E di 10? Soluzione: - Poligono regolare con gli angoli di 150 : ( 150 = 1 ) 180, n 150 = n 180, n 150 n = 180 n 60, 0 n = 60, n = 1 esiste un poligono regolare con 1 lati e gli angoli interni di 150 ed è il dodecagono. 10

11 - Poligono regolare con gli angoli di 10 : ( 10 = 1 ) 180, n 10 = n 180, n 10 n = 180 n 60, 50 n = 60, n = 7.5 NON esiste un poligono regolare con gli angoli interni di ) Un triangolo rettangolo isoscele ha un cateto di 10cm. Qual è il volume del solido formato dalla rotazione del triangolo attorno al suo cateto? Soluzione: c = 10cm Il solido di rotazione che otteniamo è un cono; calcoliamone il volume: V = π c c = π 1000cm cm 11