Corso di Fisica tecnica e ambientale a.a. 2011/ Docente: Prof. Carlo Isetti

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1 ELEMENTI DI DINAMICA 3.1 GENERALITÀ Mentre la cinematica si occupa della descrizione del moto dei corpi senza occuparsi delle cause che lo determinano, la dinamica prende in considerazione anche le cause stesse del moto o "forze". Intuitivamente ciascuno di noi è portato ad associare al concetto di forza lo sforzo muscolare che si prova quando si solleva un peso, si allunga una molla o si spinge un oggetto. Tali azioni o forze possono essere paragonate quantitativamente tra loro misurando, ad esempio, l allungamento di una molla che la loro applicazione provoca. L'esperienza dimostra che le forze sono entità che si sommano e si sottraggono tra loro secondo le regole del calcolo vettoriale. Esse sono cioè entità caratterizzate non solo da un' intensità, ma anche da una direzione, da un verso e da un punto di applicazione. Ricordiamo brevemente le leggi fondamentali della dinamica formulate da Newton. 3.2 LEGGI DELLA DINAMICA I a Legge della dinamica "Un corpo persiste in uno stato di quiete o di moto rettilineo uniforme solo se su di esso non agisce una causa esterna o forza". Questo principio di natura sperimentale va inteso in senso lato e cioè nel senso che per "non agire di una forza" si intende pure il contemporaneo agire di più forze con risultante nulla (secondo le regole di composizione vettoriale). E' opportuno notare che quanto enunciato risulta corretto solo se lo stato di moto o quiete del corpo è valutato rispetto ad un sistema di riferimento non accelerato (o inerziale) come, con buona approssimazione, può essere considerato un laboratorio sulla superficie terrestre. Fris Fi 0 w cos t. i

2 3.2.2 II a Legge della dinamica L'accelerazione di un corpo libero è proporzionale alla forza applicata e si verifica nella stessa direzione e verso della forza applicata. Si può scrivere: F ma ove la costante "m" è detta massa del corpo e si identifica con la proprietà che ha il corpo stesso di "opporre resistenza" all'azione della forza applicata. Quando si osserva un corpo in moto accelerato (sempre rispetto ad un sistema di riferimento inerziale), bisogna dedurre la presenza di una forza (non equilibrata e quindi con risultante non nulla) e viceversa, all'applicazione di una forza (non equilibrata) fa sempre riscontro un'accelerazione. La forza che determina l'accelerazione unitaria di 1 [m/s], qualora applicata al corpo campione di massa 1 (kg), è considerata nel S.I. forza unitaria ed è detta "Newton" (simbolo N). La forza è quindi una grandezza derivata la cui unità di misura è data da: 1 N = 1 [kg m/s 2 ] Si può osservare che la prima legge della dinamica può essere considerata come una conseguenza della seconda: infatti, se la risultante delle forze applicate è nulla, l accelerazione è nulla e quindi il vettore velocità non varia (stato di quiete o di moto rettilineo uniforme). Esempio Un corpo di massa M = 2.3 [kg] soggetto a moto rettilineo uniformemente accelerato, aumenta la sua velocità in modulo da w o = 2.8 [m/s] a w = 18 [m/s] percorrendo lo spazio s = 28 [m]. Determinare il modulo della forza F (costante) applicata al corpo. Soluzione Trattandosi di moto rettilineo uniformemente accelerato si può fare riferimento alle relazioni di cinematica ricavate nel precedente capitolo: 1) w = w o + a => 1 ) a = (w - w o )/ 2) s = w o + a 2 /2

3 Se sostituiamo la relazione 1 ) nella relazione 2) si può valutare l intervallo di tempo necessario a percorre lo spazio s. Si ottiene subito: 2s w w E, quindi, con la 1) si può ottenere il valore di a: w w a la forza applicata è quindi : (m / s 2 ) 0 F M a (N) III a Legge della dinamica Se un corpo (1) esercita una forza F 12 su un corpo (2), il corpo (2) a sua volta esercita una forza F 21 uguale e contraria sul corpo (1). Le due forze hanno stessa retta d'azione e modulo, ma verso opposto: F F ALCUNE APPLICAZIONI DELLE LEGGI DELLA DINAMICA Corpo in moto circolare uniforme: forza centripeta e centrifuga. Come già visto, in questo caso, pur essendo sempre costante il modulo della velocità, si verifica sempre un'accelerazione rivolta verso il centro della circonferenza (accelerazione centripeta). A questa accelerazione deve corrispondere, sulla base della II a Legge della dinamica, una forza, anch'essa diretta verso il centro, o forza centripeta. Si prenda in esame ad esempio, una piccola palla che, trattenuta mediante un filo, si muove su di un tavolo orizzontale secondo un moto circolare uniforme (raggio R). Il modulo dell'accelerazione centripeta è: a = w 2 /R alla quale deve corrispondere una forza diretta verso il centro circonferenza (centripeta) il cui modulo vale: F 12 = m a = m w 2 /R Questa forza F r 12 diretta verso il centro della circonferenza è esercitata dal filo (1) sulla pallina (2). La pallina a sua volta, per il principio di azione e reazione (II Principio della dinamica) esercita sul filo una forza F 21 uguale e contraria (centrifuga), diretta radialmente verso l'esterno della circonferenza.

4 Caduta libera di un corpo: forza gravitazionale. Come già accennato, in prossimità della superficie terrestre tutti i corpi materiali liberi sono soggetti all'accelerazione di gravità e cioè, come usualmente si dice, cadono. Tale constatazione ha portato alla formulazione della legge di gravitazione di Newton. Tra due particelle di massa m 1 ed m 2 separate dalla distanza r si manifesta una forza attrattiva agente lungo la congiungente le due masse, il cui modulo vale: m m F G r La costante G, determinata sperimentalmente, risulta numericamente pari a: G = [Nm 2 /kg 2 ] Si consideri, ora, un corpo di massa m posto in prossimità della superficie terrestre (massa della terra M); è possibile dimostrare che nel caso di corpi estesi la relazione prima ricordata risulta sempre valida purchè per r si intenda la distanza tra i centri delle due masse m ed M e cioè in questo caso il raggio della terra R. Si può esprimere il modulo della forza F cui la massa m è soggetta in prossimità della superficie terrestre nella forma: ponendo: G M m R F 2 G M g = 9,81 [m/s 2 ] 2 R si usa anche scrivere: F = m g La forza F è detta peso del corpo. Si può osservare che il peso di un corpo, che può facilmente determinarsi mediante una molla tarata (dinamometro), dipende dal valore locale dell'accelerazione di gravità g. Nel caso di corpi rigidi estesi la forza peso può pensarsi applicata al baricentro del corpo.

5 L'accelerazione di gravità, come è noto, non risulta perfettamente costante in tutti i punti della superficie terrestre, ciò in quanto il suo valore locale è influenzato dalla rotazione della terra, dalla sua non perfetta sfericità e, inoltre, in generale, dal valore della distanza R dal centro della terra. In generale, quindi, è più corretto misurare quantità di materia prendendo in considerazione le loro masse, piuttosto che i loro pesi. Ciò può essere fatto, ad esempio, usando una bilancia del tipo schematizzato in figura. L'equilibrio dei due bracci della bilancia si ha quando: F 1 = F 2 Il che comporta anche: m 1 = m 2 In questo caso la misura si basa su un confronto tra due masse per cui il risultato che si ottiene è indipendente dal valore locale di g.

6 Forza d'attrito Per forza d'attrito si intende la forza F a che si manifesta tra le superfici di due corpi a contatto che si muovono l'uno rispetto all'altro. Essa è sempre diretta in modo da opporsi al movimento; essa dipende dalla natura delle superfici a contatto ed è proporzionale alla forza normale alle superfici F n o forza premente. Si consideri ad esempio un corpo cubico che scivola su di un piano inclinato: in questo caso la forza premente F n è la componente della forza peso F p normale alla superficie inclinata. Si ha quindi: F a = µ a F n ove il fattore µ a (numero puro) è detto fattore di attrito dinamico. Come si vedrà in seguito fenomeni di attrito si verificano anche quando un corpo solido si muove relativamente ad un fluido, come ad esempio acqua ed aria o viceversa. Nota: Si noti che la forza peso F = mg che agisce su tutte le particelle costituenti il corpo può essere considerata applicata al baricentro del cubo, mentre la forza di attrito F a = µ a F a si manifesta solo tra le superfici a contatto: in conseguenza di ciò viene a determinarsi una coppia di forze che può essere sufficiente a ribaltare il cubo. Forza elastica Si consideri un oggetto, di massa m, appoggiato su un piano liscio (senza attrito), fissato a una molla. Quando la molla non è deformata, le forze agenti sull'oggetto, costituite dalla sua forza peso e dalla reazione uguale e contraria esercitata dal piano, si fanno equilibrio e l'oggetto si trova in posizione O, che viene assunto come origine della coordinata x. Spostando l'oggetto fino ad una distanza x o dalla posizione di equilibrio O, la molla si deforma ed esercita sull'oggetto una forza proporzionale alla distanza dall origine (x o ) detta forza elastica, espressa da: F el = - k x o ove k aventi le dimensioni di [N/m] è detta costante elastica della molla (il segno è negativo perchè la forza di reazione della molla è diretta nel verso opposto alla forza F applicata positiva per x crescenti).

7 Esempio Un corpo di massa m = 2 [kg] è sospeso verticalmente da una molla ideale di costante elastica k = 1 [N/cm]. In condizioni di equilibrio, qual'è l'allungamento della molla rispetto alla sua lunghezza a riposo? Soluzione Assumendo come verso positivo delle ascisse x lo stesso verso della forza peso si può osservare che la forza che la molla esercita sull'oggetto è pari a F el = - k x o ove x o è l allungamento della molla. La forza F el equilibra la della forza peso. Per la prima legge della dinamica la somma delle forze agenti su un corpo in equilibrio è nulla, si ha quindi: F + F el = 0 da cui: mg - k x o = 0 l'allungamento della molla è pari a: x o = mg / k La costante k = 1 [N/cm] = 100 [N/cm] per cui si ha : x 0 m g k (m) (con segno positivo perchè l'allungamento avviene nel verso positivo dell'asse x) 3.4 DENSITÀ E PESO SPECIFICO

8 Ricordiamo ora la definizione di alcune importanti grandezze fisiche e, cioè, la densità e il peso specifico. La densità di un corpo omogeneo è definita dal rapporto tra la sua massa e il suo volume: = m / V [kg/m 3 ] il suo inverso v = 1/ è definito come volume specifico: v = V / m [m 3 /kg] Il peso specifico di un corpo omogeneo è definito come il rapporto tra il peso di un corpo ed il suo volume: = F / V [N/m 3 ] Si noti che il peso specifico, come il peso, dipende dall'accelerazione di gravità, quindi varia con la latitudine e l'altezza; la densità, invece, come la massa è invariante.