GEOMETRIA ANALITICA ESERCIZI CON SOLUZIONI
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- Gianluca Milano
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1 utore: Enrico Manfucci - 0/0/0 GEOMETRI NLITIC ESERCIZI CON SOLUZIONI. Posizionare nel piano cartesiano e calcolare la distanza delle seguenti coppie di punti: a. (, ) e (, ) I due punti hanno la stessa ordinata, quindi possiamo usare la formula: ( ) b. C(, ) e D(, ) I due punti hanno la stessa ascissa, quindi possiamo usare la formula: CD ( ) D C c. E(6, ) e F(, ) I due punti non hanno né stessa ascissa né stessa ordinata, quindi dobbiamo usare la formula generale: EF ( ) ( ) ( 6) ( ) ( 8) F E F E - -
2 utore: Enrico Manfucci - 0/0/0 d. 0, G e, nche in questo caso dobbiamo usare la formula generale: ( ) ( ) G G 0 G Calcolare le coordinate del punto medio del segmento di estremi le coppie dei punti dell esercizio precedente. a. ), ( e ) (, M M, M b. ) (, C e ) D(, D C M D C M ( ) M, c. ) (6, E e ), ( F 6 F E M F E M ( ) M, d. 0, G e, 0 G M G M, M. Disegnare nel piano cartesiano le rette di equazione: a. b. 6 c. d. e. - -
3 utore: Enrico Manfucci - 0/0/0 f.. Dato il grafico in figura, trovare le equazioni delle rette: Vedi risoluzione in figura - -
4 utore: Enrico Manfucci - 0/0/0. Disegnare le rette di equazione: a. b. Per disegnare una retta nel piano cartesiano possiamo seguire due strade: la prima consiste nell attribuire minimo due valori arbitrari alla (variabile indipendente) e calcolare, tramite l equazione, il corrispondente valore della (variabile dipendente). La seconda strada fa uso della conoscenza del coefficiente angolare e dell ordinata all origine che si ricavano dall equazione. Useremo la prima strada per la retta a. e la seconda strada per la retta b. a. Per disegnare la retta di equazione costruiamo la tabella: - - I valori di (- e ) sono stati scelti a caso, considerando però il fatto che è conveniente prendere numeri piccoli ed interi per semplificare i calcoli. I corrispondenti valori della sono stati trovati sostituendo prima il - ( ( ) ) e poi il ( ). I valori della tabella non sono altro che le coordinate di due punti che appartengono alla retta cercata: (, ) e (, ) b. Per disegnare la retta di equazione consideriamo il fatto che l ordinata all origine vale -, dunque, per definizione di ordinata all origine, sappiamo che la retta passa per il punto Q(0, ). Inoltre il coefficiente angolare vale, questo vuol dire, per definizione di coefficiente angolare, che il rapporto tra la differenza delle ordinate e delle ascisse di due punti qualsiasi è sempre uguale a. In pratica possiamo dire che se mi muovo di una unità sulla destra nell asse delle ascisse, mi devo muovere di unità verso l alto sull asse delle ordinate. Nella figura è evidenziato il procedimento. - -
5 utore: Enrico Manfucci - 0/0/0 6. Scrivere in forma implicita le seguenti equazioni di rette: a. 0 b. 0. Scrivere in forma esplicita le seguenti equazioni di rette: a. 0 b
6 utore: Enrico Manfucci - 0/0/0 8. Calcolare il coefficiente angolare della retta passante per i punti: a. (, ) e (, ) Per definizione di coefficiente angolare sappiamo che m da cui si ha: m ( ) 9. Per ciascuna retta scrivere una retta parallela ed una perpendicolare: a. Retta parallela 0, retta perpendicolare b. Retta parallela, retta perpendicolare 0. Scrivere l equazione del fascio proprio di rette passanti per il punto P(, ). Dall equazione P m( P ) P m( ( ) ) m( ) si ha: m m. Scrivere l equazione del fascio improprio di rette parallele alla retta. Dall equazione m k si ha: k. Scrivere l equazione della retta passante per ciascuna coppia di punti: a. ( 6, ) e (, ) b. C 0, e D, Facciamo uso della formula: - 6 -
7 utore: Enrico Manfucci - 0/0/0 a. ( 6) ( 6) 6 6 ( ) b Calcolare la distanza tra il punto P(, ) e la retta r di equazione 0 Si applica la formula: d(p,r) a P a b P b c. Risolvere i seguenti problemi: ( ) ( ) a. Trovare l equazione della retta passante per il punto (0, ) e parallela alla retta di equazione 8. Uno dei metodi per risolvere il problema è questo: si trova l equazione del fascio proprio di rette passanti per e poi si sceglie la retta del fascio con coefficiente angolare uguale a : Fascio proprio per : ( ) m( 0) m m asta sostituire al coefficiente angolare m il valore ed otteniamo: che è la retta cercata. Un altro metodo è quello di trovare l equazione del fascio improprio di rette parallele a 8 e poi calcolare l equazione della retta del fascio che passa per. b. Trovare l equazione della retta passante per l origine degli assi e perpendicolare alla retta passante per i punti (, ) e (,). - -
8 utore: Enrico Manfucci - 0/0/0 Per prima cosa si calcola l equazione della retta passante per i punti e : ( ) ( ) Poiché la retta cercata è perpendicolare alla retta trovata, avrà coefficiente angolare m e poiché passa per l origine degli assi ha q 0. L equazione è dunque:
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