Prodotto Disponibilità Costo e rispettando le seguenti regole di composizione delle benzine:

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1 1.1 Pianificazione degli investimenti. Una banca deve investire C milioni di Euro, e dispone di due tipi di investimento: (a) con interesse annuo del 15%; (b) con interesse annuo del 25%. Almeno 1 di C deve essere in (a) perché meno rischioso. La quantità investita in (b) non deve superare il doppio di quella in (a). Formulare un modello di P.M. per determinare le quantità da investire al fine di massimizzare il guadagno e risolverlo graficamente. 1.2 Miscelazione di benzine. Una raffineria produce due tipi di benzina, mescolando tre prodotti base: Prodotto Disponibilità Costo e rispettando le seguenti regole di composizione delle benzine: Prod. 1 Prod. 2 Prod. 3 Ricavo Benzina A 30% 0% Benzina B 50% 10% -.5 Formulare un modello di P.M. al fine di massimizzare il guadagno netto complessivo (differenza fra ricavo e costo). 1.3 Assegnamento di lavorazioni. Ci sono n lavorazioni da eseguire su m macchine identiche. Sia p j il tempo di processamento della j-esima lavorazione per j = 1,... n. Le lavorazioni non possono essere interrotte ( no preemption ). Ogni macchina può effettuare una sola lavorazione alla volta. Formulare un modello di P.M. per assegnare le lavorazioni alle macchine in modo da minimizzare il tempo totale di processamento. Esempio: n = 5, m = 2, p = (90, 50, 30, 0, 10). 1. Noleggio di computer. Un azienda decide di noleggiare un certo numero di computer per coprire il suo fabbisogno durante un periodo di punta di alcuni mesi: Fabbisogno mensile: Mese Gen Feb Mar Apr Quantità Costo di affitto in Euro in funzione della durata: Durata 1 mese 2 mesi 3 mesi Costo Documento preparato da Leo Liberti 1

2 Formulare in termini matematici il problema di determinare una politica di affitto che minimizzi il costo complessivo. Soluzioni 1.1 Pianificazione degli investimenti. Sia x i la quantità investita nell investimento di tipo i (per i = 1, 2). Formulazione del problema: max 0.15x x 2 s.v. x 1 + x 2 C x 1 1C x 2 2x 1 x 1, x 2 0. Per risolvere il problema graficamente, è necessario tracciare sul quadrante positivo del piano Euclideo le rette corrispondenti ai vincoli: (a) x 2 x 1 + C, (b) x 1 C, (c) x 2 2x 1. x 2 C (a) (b) (c) x f PSfrag replacements Regione ammissibile C C x 1 f = 0 Le rette individuano la regione ammissibile in figura. Per capire quale punto sia quello che massimizza la funzione obiettivo, tracciamo la retta corrispondente alla funzione obiettivo f = 0, e osserviamo che l intersezione con il poliedro ammissibile che massimizza f si verifica nel punto x definito come intersezione tra la retta (a) e la retta (c). A questo punto calcoliamo x risolvendo il sistema { x2 = x 1 + C che implica x = ( C 3, 2C 3 x 2 = 2x 1, ) e un valore ottimale della funzione obiettivo f = 13C 60. Documento preparato da Leo Liberti 2

3 1.2 Miscelazione di benzine. Si considerino inizialmente le seguenti variabili di decisione: y A, y B = quantità di benzina rispettivamente di tipo A e B prodotte; x ij = quantità di prodotto i (per i {1, 2, 3}) nella benzina j (per j {A, B}). Il ricavo totale è dato da 5.5y A +.5y B, il costo del prodotto 1 utilizzato per preparare i due tipi di benzina è 3 j {A,B} x 1j, quello del prodotto 2 è 6 j {A,B} x 2j e quello del prodotto 3 è j {A,B} x 3j. La formulazione è la seguente: max 5.5y A +.5y B 3(x 1A + x 1B ) 6(x 2A + x 2B ) (x 3A + x 3B ) (1) s.v. x 1A + x 1B 3000 disponibilità prod. 1 (2) x 2A + x 2B 2000 disponibilità prod. 2 (3) x 3A + x 3B 000 disponibilità prod. 3 () y A = x 1A + x 2A + x 3A conservazione prodotti (5) y B = x 1B + x 2B + x 3B conservazione prodotti (6) x 1A 0.3y A caratteristica benz. A (7) x 2A 0.y A caratteristica benz. A (8) x 1B 0.5y B caratteristica benz. B (9) x 2B 0.1y B caratteristica benz. B (10) y A, y B, x 1A, x 2A, x 1B, x 2B, x 3A, x 3B 0. (11) Si noti che le variabili y A, y B possono essere eliminate dalla formulazione per mezzo delle relazioni date dai vincoli (5), (6), sostituendole nella funzione obiettivo e nei vincoli. La formulazione semplificata è: max 5.5(x 1A + x 2A + x 3A ) +.5(x 1B + x 2B + x 3B ) (12) 3(x 1A + x 1B ) 6(x 2A + x 2B ) (x 3A + x 3B ) (13) s.v. x 1A + x 1B 3000 (1) x 2A + x 2B 2000 (15) x 3A + x 3B 000 (16) x 1A 0.3(x 1A + x 2A + x 3A ) (17) x 2A 0.(x 1A + x 2A + x 3A ) (18) x 1B 0.5(x 1B + x 2B + x 3B ) (19) x 2B 0.1(x 1B + x 2B + x 3B ) (20) x 1A, x 2A, x 1B, x 2B, x 3A, x 3B 0. (21) Sebbene le formulazioni sopra siano entrambe valide, quando si eseguono calcoli numerici è da preferire la seconda, perché ha meno variabili (e il tempo di calcolo della soluzione dipende anche dal numero delle variabili nel problema). Documento preparato da Leo Liberti 3

4 In realtà, è buona regola scrivere le formulazioni esprimendo insiemi strutturati di parametri, variabili e vincoli per mezzo di indici e quantificatori (come, ). Le formulazioni così espresse rendono molto più facile la codifica di un problema per mezzo di un linguaggio di modellazione come AMPL. Per esempio, il problema della miscelazione di benzine può essere espresso come segue. Indici. Sia i un indice sull insieme dei prodotti I = {1, 2, 3} e j uno sull insieme delle benzine J = {A, B}. Parametri. (a) i I siano: i. c i = costo unitario del prodotto i, ii. d i = disponibilità del prodotto i. (b) j J sia r j il ricavo per la benzina j. Variabili. i I, j J sia x ij la quantità di prodotto i nella benzina j. Funzione obiettivo. Vincoli. (a) i I ( j J x ij ) di ; (b) x 1A 0.3 i I x ia ; (c) x 2A 0. i I x ia ; (d) x 1B 0.5 i I x ib ; (e) x 2B 0.1 i I x ib ; (f) i I (x ij 0). min r j x ij c i x ij. j J i I i I 1.3 Assegnamento di lavorazioni. Sia x ij = 1 se la macchina i esegue la lavorazione j, e 0 altrimenti. Si noti che il tempo di completamento delle lavorazioni assegnate alla macchina i è n p jx ij per ogni i = 1,..., m. Si tratta di minimizzare la seguente funzione: max { n n } p j x 1j,..., p j x mj soggetta ai vincoli di assegnamento. Il problema può essere espresso come: n min max p j x ij (22) i=1,...,m j J m x ij = 1 per j = 1,..., n (23) i=1 x ij {0, 1} i m j n. (2) Documento preparato da Leo Liberti

5 I vincoli (23) indicano che ogni lavorazione è assegnata a una e una sola macchina. Introducendo una variabile aggiuntiva, z, che indica un limite superiore all istante di completamento di tutte le lavorazioni (considerando tutte le macchine), il problema può essere riformulato come segue: min z (25) n p j x ij z per i = 1,..., m (26) m x ij = 1 per j = 1,..., n (27) i=1 1. Noleggio di computer. Variabili di decisione: x ij {0, 1} i m j n (28) z R. (29) g 1, g 2, g 3 = numero di PC noleggiati in gennaio, rispettivamente per 1, 2 e 3 mesi f 1, f 2, f 3 = numero di PC noleggiati in febbraio, per 1, 2 e 3 mesi m 1, m 2 = numero di PC noleggiati in marzo, per 1 e 2 mesi a 1 = numero di PC noleggiati in aprile per 1 mese Funzione obiettivo: Vincoli: min z = 200 (g 1 + f 1 + m 1 + a 1 ) (g 2 + f 2 + m 2 ) + 50 (g 3 + f 3 ) g 1 + g 2 + g 3 9 (fabbisogno a gennaio) f 1 + f 2 + f 3 + g 2 + g 3 5 (fabbisogno a febbraio) m 1 + m 2 + f 2 + f 3 + g 3 7 (fabbisogno a marzo) a 1 + m 2 + f 3 9 (fabbisogno ad aprile) g i, f i, m i, a i N (vincolo di interezza) Documento preparato da Leo Liberti 5